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第三章调和方程 Laplace Equations 齐 海 涛 山东大学 威海 数学与统计学院 htqisdu 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 131 73 目录 1建立方程 定解条件 2格林公式及其应用 3格林函数 4强极值原理 第二边值问题解的唯一性 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 132 73 1建立方程 定解条件 2格林公式及其应用 3格林函数 4强极值原理 第二边值问题解的唯一性 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 133 73 建立方程 定解条件 Example 1 1 设 u x1 xn f r 其中 r x2 1 x2n 是 n 维调和函数 试证明 f r c1 c2 rn 2 n 2 f r c1 c2ln 1 r n 2 其中 c1 c2为任意常数 证明 由于 r x2 1 x2n 知 u xi f r r xi f r xi r 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 133 73 建立方程 定解条件 Example 1 1 设 u x1 xn f r 其中 r x2 1 x2n 是 n 维调和函数 试证明 f r c1 c2 rn 2 n 2 f r c1 c2ln 1 r n 2 其中 c1 c2为任意常数 证明 由于 r x2 1 x2n 知 u xi f r r xi f r xi r 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 133 73 建立方程 定解条件 2u x2 i x2 i r2 f r 1 r x2 i r3 f r i 1 2 n 将上式代入调和方程得 f r n 1 r f r 0 即 f r f r n 1 r 对上式两边积分即得结论 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 134 73 建立方程 定解条件 Example 1 2 证明 拉普拉斯算子在球面坐标 r 下可以写成 u 1 r2 r r2 u r 1 r2sin sin u 1 r2sin2 2u 2 证明 方法一 球面坐标系与直角坐标系之间的变换关系为 x rsin cos y rsin sin z rcos 为计算简单 将此坐标变换分为两步 x Rcos y Rsin z z 及 R rsin z rcos 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 135 73 建立方程 定解条件 Example 1 2 证明 拉普拉斯算子在球面坐标 r 下可以写成 u 1 r2 r r2 u r 1 r2sin sin u 1 r2sin2 2u 2 证明 方法一 球面坐标系与直角坐标系之间的变换关系为 x rsin cos y rsin sin z rcos 为计算简单 将此坐标变换分为两步 x Rcos y Rsin z z 及 R rsin z rcos 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 135 73 建立方程 定解条件 由柱面坐标系下 Laplace 算子的表达式知 u 2u R2 1 R2 2u 2 1 R u R 2u z2 1 1 再由 u r u R sin u z cos u u Rrcos u z rsin 反解得 u z cos u r sin r u u R sin u r cos r u 1 2 注意到 R2 z2 r2 tan R z 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 136 73 建立方程 定解条件 故有 r z cos z sin r r R sin R cos r 1 3 由 1 2 及 1 3 知 2u z2 cos2 2u r2 sin2 r2 2u 2 sin2 r u r sin2 r2 u sin2 r 2u r 2u R2 sin2 2u r2 cos2 r2 2u 2 cos2 r u r sin2 r2 u sin2 r 2u r 将最后两式及 1 2 代入 1 1 并加以整理 即得到所需结果 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 137 73 建立方程 定解条件 方法二 采用正交曲线坐标系 q1 q2 q3 q1 q1 x y z q2 q2 x y z q3 q3 x y z 另一方面 x y z 也可表为 q1 q2 q3 的函数 x x q1 q2 q3 y y q1 q2 q3 z z q1 q2 q3 并记拉梅系数为 H1 H2 H3为 H1 x q1 2 y q1 2 z q1 2 H2 x q2 2 y q2 2 z q2 2 H3 x q3 2 y q3 2 z q3 2 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 138 73 建立方程 定解条件 则有 ds2 H2 1dq 2 1 H 2 2dq 2 2 H 2 3dq 2 3 此时 Laplace 算子在曲线坐标系中的表达式为 u 1 H1H2H3 q1 H 2H3 H1 u q1 q2 H 3H1 H2 u q2 q3 H 1H2 H3 u q3 1 4 在球面坐标系下 q1 r q2 q3 ds2 dr2 r2d 2 r2sin2 d 2 H1 1 H2 r H3 rsin 将 H1 H2 H3代入 1 4 即得球面坐标下 Laplace 算子的表达式 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 139 73 建立方程 定解条件 Example 1 3 证明 拉普拉斯算子在柱面坐标 r z 下可以写成 u 1 r r r u r 1 r2 2u 2 2u z2 证明 方法一 柱面坐标系与直角坐标系之间的变换关系为 x rcos y rsin z z 或者为 r x2 y2 1 2 arctan y x z z 从而 r x x r cos r y y r sin 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1310 73 建立方程 定解条件 Example 1 3 证明 拉普拉斯算子在柱面坐标 r z 下可以写成 u 1 r r r u r 1 r2 2u 2 2u z2 证明 方法一 柱面坐标系与直角坐标系之间的变换关系为 x rcos y rsin z z 或者为 r x2 y2 1 2 arctan y x z z 从而 r x x r cos r y y r sin 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1310 73 建立方程 定解条件 x y x2 y2 sin r y x x2 y2 cos r 由此得 u x u r cos u sin r u y u r sin u cos r 2u x2 2u r2 cos2 2 2u r sin cos r 2u 2 sin2 r2 u r sin2 r u sin2 r2 2u y2 2u r2 sin2 2 2u r sin cos r 2u 2 cos2 r2 u r cos2 r u sin2 r2 将最后两式相加 并加以整理 即得到所需结果 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1311 73 建立方程 定解条件 方法二 同上题 在柱面坐标系下 q1 r q2 q3 z 则 ds2 dr2 r2d 2 dz2 H1 1 H2 r H3 1 代入 1 4 即得柱面坐标下 Laplace 算子的表达式 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1312 73 建立方程 定解条件 Example 1 4 证明下列函数都是调和函数 1 ax by c a b c 为常数 2 x2 y2和 2xy 3 x3 3xy2和 3x2y y3 4 shnysinnx shnycosnx chnysinnx 和 chnycosnx n 为常数 5 shx chx cosy 1和 siny chx cosy 1 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1313 73 建立方程 定解条件 证明 方法一 直接求导加以验证 方法二 利用复变函数的方法加以验 证 即运用解析函数的实部和虚部均为调和函数的性质予以证明 1 ax by c 0 2 取复变量函数为 f z z2 x iy 2 3 取复变量函数为 f z z3 x iy 3 4 取复变量函数为 f1 z sh nz sh n y ix f2 z ch nz ch n y ix 5 取复变量函数为 f z th z 2 sh z 2 ch z 2 除去 x 0 且 y 2k 1 k 0 1 2 外均调和 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1314 73 建立方程 定解条件 Example 1 5 证明用极坐标表示的下列函数都是调和函数 1 lnr 和 2 rncosn 和 rnsinn n 为常数 3 rlnrcos r sin 和 rlnrsin r cos 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1315 73 建立方程 定解条件 证明 方法一 直接求导加以验证 方法二 记 z rei 利用解析函数 的实部和虚部均为调和函数的性质予以证明 1 取复变量函数为 f z lnz lnr i 2 取复变量函数为 f z zn rncosn irnsinn 3 取复变量函数为 f z zlnz r cos isin lnr i 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1316 73 建立方程 定解条件 Example 1 6 用分离变量法求解由下述调和方程的第一边值问题所描述的矩形平板 0 x a 0 y b 上的稳定温度分布 uxx uyy 0 u 0 y u a y 0 u x 0 sin x a u x b 0 解 令 u x y X x Y y 代入 uxx uyy 0 的 X 和 Y 分别满足 X X 0 X 0 X a 0 1 5 Y Y 0 1 6 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1317 73 建立方程 定解条件 Example 1 6 用分离变量法求解由下述调和方程的第一边值问题所描述的矩形平板 0 x a 0 y b 上的稳定温度分布 uxx uyy 0 u 0 y u a y 0 u x 0 sin x a u x b 0 解 令 u x y X x Y y 代入 uxx uyy 0 的 X 和 Y 分别满足 X X 0 X 0 X a 0 1 5 Y Y 0 1 6 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1317 73 建立方程 定解条件 1 5 只有 0 时有非零解 k k2 2 a2 Xk x Cksin k a x Yk y Ake ky Bke ky 故定解问题的解为 u x y k 1 Ake k ay Bke k ay sin k a x 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1318 73 建立方程 定解条件 由边界条件得 k 1 Ak Bk sin k a x sin x a k 1 Ake k ab Bke k ab sin k a x 0 解得 A1 e b a 2sh b a B1 e b a 2sh b a Ak Bk 0 k 1 综上得 u x y sh b y a sh b a sin x a 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1319 73 建立方程 定解条件 Example 1 7 在膜型扁壳渠道闸门的设计中 为了考察闸门在水压力作用下的受力情况 要 在矩形区域 0 x a 0 y b 上求解如下的非齐次调和方程的边值问题 u py q p 0常数 ux x 0 0 u x a 0 u y 0 y b 0 解 令 v x y u x y x2 a2 fy g 取 f p 2 g q 2 则 v 是 下述问题之解 v 0 vx x 0 0 v x a 0 v y 0 q 2 x 2 a2 x v y b 1 2 x 2 a2 pb q x 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1320 73 建立方程 定解条件 Example 1 7 在膜型扁壳渠道闸门的设计中 为了考察闸门在水压力作用下的受力情况 要 在矩形区域 0 x a 0 y b 上求解如下的非齐次调和方程的边值问题 u py q p 0常数 ux x 0 0 u x a 0 u y 0 y b 0 解 令 v x y u x y x2 a2 fy g 取 f p 2 g q 2 则 v 是 下述问题之解 v 0 vx x 0 0 v x a 0 v y 0 q 2 x 2 a2 x v y b 1 2 x 2 a2 pb q x 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1320 73 建立方程 定解条件 由分离变量法解得 v x y k 0 Ake 2k 1 2a y Bke 2k 1 2a y cos2k 1 2a x 2 k 0 1 k 2k 1 2a 3 sh 2k 1 2a b cos 2k 1 x 2a pb q sh 2k 1 2a y b qsh 2k 1 y 2a 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1321 73 建立方程 定解条件 Example 1 8 举例说明在二维调和方程的狄利克雷外问题中 如对解 u x y 不加在无穷远 处为有界的限制 那么定解问题的解就不是唯一的 解 考虑如下 Dirichlet 外问题 u 0 r x2 y2 1 u r 1 1 显然 u 1 u cln 1 r 1 c R 均为此外问题的解 即此定解问题的解不 唯一 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1322 73 建立方程 定解条件 Example 1 8 举例说明在二维调和方程的狄利克雷外问题中 如对解 u x y 不加在无穷远 处为有界的限制 那么定解问题的解就不是唯一的 解 考虑如下 Dirichlet 外问题 u 0 r x2 y2 1 u r 1 1 显然 u 1 u cln 1 r 1 c R 均为此外问题的解 即此定解问题的解不 唯一 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1322 73 建立方程 定解条件 Example 1 9 设 J v 1 2 v x 2 v y 2 v z 2 dxdydz 1 2 v 2 gv ds 考察变分问题 求 u V 使 J u min v V J v 其中 V C2 C1 试导出与其等价的边值问题 并证明它们的等价性 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1323 73 建立方程 定解条件 证明 此变分问题与如下定解问题等价 u 0 u n u g 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1324 73 1建立方程 定解条件 2格林公式及其应用 3格林函数 4强极值原理 第二边值问题解的唯一性 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1325 73 格林公式及其应用 Example 2 1 证明 2 7 式对于 M0在 外与 上的情形成立 证明 当 M0在 上时 作小半球 B M0 挖去 M0 M0为球心 为 半径 记 S 为半球球面 B M0 则 u 及 1 rM0M 在 内调和 利用 Green 第二公式 0 u 1 rM0M 1 rM0M u dVM S M0 u n 1 rM0M 1 rM0M u n dSM 1 rM0M u n u n 1 rM0M dSM S 1 rM0M u n u n 1 rM0M dSM 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1325 73 格林公式及其应用 Example 2 1 证明 2 7 式对于 M0在 外与 上的情形成立 证明 当 M0在 上时 作小半球 B M0 挖去 M0 M0为球心 为 半径 记 S 为半球球面 B M0 则 u 及 1 rM0M 在 内调和 利用 Green 第二公式 0 u 1 rM0M 1 rM0M u dVM S M0 u n 1 rM0M 1 rM0M u n dSM 1 rM0M u n u n 1 rM0M dSM S 1 rM0M u n u n 1 rM0M dSM 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1325 73 格林公式及其应用 S 1 rM0M u n u n 1 rM0M dSM 1 S u M n dSM 1 2 S u M dSM 1 u n M 2 2 1 2 u M 2 2 2 u n M 2 u M 2 u M0 0 故有 1 rM0M u n u n 1 rM0M dSM 2 u M0 当 M0在 外时 u 及 1 rM0M 在 内调和 由 Green 第二公式易得 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1326 73 格林公式及其应用 Example 2 2 若函数 u x y 是单位圆上的调和函数 又它在单位圆周上的数值已知为 u sin 其中 表示极角 问函数 u 在原点之值等于多少 解 由二维调和函数的平均值公式 u M0 1 2 a a uds 知 u 0 0 1 2 uds 1 2 2 0 sin d 0 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1327 73 格林公式及其应用 Example 2 2 若函数 u x y 是单位圆上的调和函数 又它在单位圆周上的数值已知为 u sin 其中 表示极角 问函数 u 在原点之值等于多少 解 由二维调和函数的平均值公式 u M0 1 2 a a uds 知 u 0 0 1 2 uds 1 2 2 0 sin d 0 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1327 73 格林公式及其应用 Example 2 3 如果用拉普拉斯方程表示平衡温度场中温度分布函数所满足的方程 试阐明使 诺伊曼内问题有解的条件 fds 0 的物理意义 解 fds 0 即表示通过边界曲面热流量的代数和为零 即处于稳定温度状 态的物体 从表面流入和流出的热量是相同的 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1328 73 格林公式及其应用 Example 2 3 如果用拉普拉斯方程表示平衡温度场中温度分布函数所满足的方程 试阐明使 诺伊曼内问题有解的条件 fds 0 的物理意义 解 fds 0 即表示通过边界曲面热流量的代数和为零 即处于稳定温度状 态的物体 从表面流入和流出的热量是相同的 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1328 73 格林公式及其应用 Example 2 4 证明 当 u M 在闭曲面 的外部调和 并且在无穷远处成立 u M O 1 rOM u r O 1 r2 OM rOM 而 M0是 外的任一点 则公式 2 6 仍成立 证明 设 M0是 外的任一点 作一以 R 为半径的球 KR 使其包含 及 M0在其内 记 KR的球面为 R 则成立 R u n 1 rM0M 1 rM0M u n dS 4 u 4 u n 0 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1329 73 格林公式及其应用 Example 2 4 证明 当 u M 在闭曲面 的外部调和 并且在无穷远处成立 u M O 1 rOM u r O 1 r2 OM rOM 而 M0是 外的任一点 则公式 2 6 仍成立 证明 设 M0是 外的任一点 作一以 R 为半径的球 KR 使其包含 及 M0在其内 记 KR的球面为 R 则成立 R u n 1 rM0M 1 rM0M u n dS 4 u 4 u n 0 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1329 73 格林公式及其应用 其中 u 和 u n 分别是函数 u 和 u n 在包含 M0的小球面 上的平均 值 令 R 注意到 u M O 1 rOM u r O 1 r2 OM 时有 lim R R u n 1 rM0M 1 rM0M u n dS 0 故当 u M 在 外部调和时亦成立 u M0 1 4 u M n 1 rM0M 1 rM0M u M n dSM 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1330 73 格林公式及其应用 Example 2 5 证明调和方程狄利克雷外问题解的稳定性 证明 设 u1 u2为 Dirichlet 外问题的解 即 ui 0 ui fi lim r ui 0 i 1 2 令 v u1 u2 则 v 满足 v 0 v f1 f2 lim r v 0 由于 lim r v 0 对任意的 0 可取充分大的 R 为半径的球 KR 使 落 在 KR内 且 v R 在 KR 中 v 应用极值原理 得在 KR 上成立 v max max f1 f2 v 0 可取充分大的 R 为半径的球 KR 使 落 在 KR内 且 v R 在 KR 中 v 应用极值原理 得在 KR 上成立 v max max f1 f2 v max f1 f2 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1331 73 格林公式及其应用 Example 2 6 对于二阶偏微分方程 n i j 1 aij 2u xi xj n i 1 bi u xi cu 0 其中 aij bi c i j 1 n 均为常数 假设矩阵 aij是正定的 即对任何 实数 i i 1 n 成立 n i j 1 aij i j n i 1 2 i 为正的常数 则称它为椭圆型方程 又设 c 0 aij M0 0 i j 记新坐标系为 yi yi x1 xn 则 Lu n i 1 aii 2u y2 i n i 1 bi u yi cu 0 由 u 在 M0达极大值知 u yi M0 0 2u y2 i M0 0 i 1 2 n 记 L1u n i 1 aii 2u y2 i n i 1 bi u yi 则 L1u M0 0 而由 L1u M0 Lu M0 cu M0 c 0 由此得矛盾 故 u 不能在 的内部达到正的最大值 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1333 73 格林公式及其应用 Example 2 7 证明第6题中讨论的椭圆型方程的第一边值问题解的唯一性与稳定性 证明 唯一性 若 u1 u2均满足 Lu n i j 1 aij 2u xi xj n i 1 bi u xi cu 0 u f 令 v u1 u2 则 Lv 0 v 0 由上题知 v 在 内部达不到正的最大和负的最小 故正的最大和负的最小 均在边界上达到 由此得 v 0 故 u1 u2 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1334 73 格林公式及其应用 Example 2 7 证明第6题中讨论的椭圆型方程的第一边值问题解的唯一性与稳定性 证明 唯一性 若 u1 u2均满足 Lu n i j 1 aij 2u xi xj n i 1 bi u xi cu 0 u f 令 v u1 u2 则 Lv 0 v 0 由上题知 v 在 内部达不到正的最大和负的最小 故正的最大和负的最小 均在边界上达到 由此得 v 0 故 u1 u2 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1334 73 格林公式及其应用 稳定性 若 u1 u2分别满足 Lui 0 ui fi i 1 2 则 v u1 u2满足 Lv 0 v f1 f2 由上题知 当 min f1 f2 0 时 成立 0 v max f1 f2 当 max f1 f2 min f1 f2 当 max f1 f2 0 且 min f1 f2 0 时 成立 min f1 f2 v max f1 f2 综上所述 当 f1 f2 时 成立 v 0 不成立极值原理 解 令 u sin c 2x sin c 2y 则 uxx uyy cu 0 取 为正方形 2 c 2 c 2 c 2 c 则 u 在边界 上的值为 0 而当 x 1 2 2 c y 1 2 2 c 时 u 1 且在 内 u 1 所以 u 的最大值在区域内部达到 从而不成立极值原理 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1336 73 格林公式及其应用 Example 2 8 举例说明对于方程 uxx uyy cu 0 c 0 不成立极值原理 解 令 u sin c 2x sin c 2y 则 uxx uyy cu 0 取 为正方形 2 c 2 c 2 c 2 c 则 u 在边界 上的值为 0 而当 x 1 2 2 c y 1 2 2 c 时 u 1 且在 内 u 1 所以 u 的最大值在区域内部达到 从而不成立极值原理 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1336 73 1建立方程 定解条件 2格林公式及其应用 3格林函数 4强极值原理 第二边值问题解的唯一性 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1337 73 格林函数 Example 3 1 证明格林函数的性质3及性质5 证明 性质 3 由于 G M M0 1 4 rM0M g M M0 M0 其中 g M M0 满足 g M M0 0 M g M M0 1 4 rM0M 显然 g 0 由极值原理知 g M M0 0 故 G M M0 0 由极值原理知 g M M0 0 故 G M M0 0 考虑 G M M0 0 K G 0 G 1 4 rM0M g M M0 0 由极值原理得 在 K 内 G 0 而 可任意小 故 G 0 在 内成 立 由此即得 0 G M M0 1 4 rM0M 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1338 73 格林函数 性质 5 方法一 求解 u 0 u 1 由解的表达式得 u M0 f G n dSM G n dSM 又由解的唯一性得 u 1 得证 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1339 73 格林函数 方法二 由于 G M M0 在 K K 为以 M0为球心 为半径的球 内调和 则 G n dS 0 G M M0 n dS G M M0 n dS n 1 4 rM0M g n dS 1 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1340 73 格林函数 Example 3 2 证明格林函数的对称性 G M1 M2 G M2 M1 证明 以 M1 M2为心 半径为 的球 K1 K2 其边界分别记为 1 2 由 Green 第二公式 K1 K2 u v v u d 1 2 u v n v u n dS 令 u G M M1 v G M M2 注意到在 K1 K2内 u v 0 且 在 上 u v 0 得 1 2 G M M1 G M M2 n G M M2 G M M1 n dS 0 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1341 73 格林函数 Example 3 2 证明格林函数的对称性 G M1 M2 G M2 M1 证明 以 M1 M2为心 半径为 的球 K1 K2 其边界分别记为 1 2 由 Green 第二公式 K1 K2 u v v u d 1 2 u v n v u n dS 令 u G M M1 v G M M2 注意到在 K1 K2内 u v 0 且 在 上 u v 0 得 1 2 G M M1 G M M2 n G M M2 G M M1 n dS 0 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1341 73 格林函数 注意到当 0 时 1 G M M1 G M M2 n dS 0 1 G M M2 G M M1 n dS G M1 M2 对 2上有类似的结果 故得 G M1 M2 G M2 M1 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1342 73 格林函数 Example 3 3 写出球的外部区域的格林函数 并由此导出对调和方程求解球的狄利克雷外问 题的泊松公式 解 采用教材 P85 图3 2 与球内 Green 函数推导完全类似可得 G M M1 1 4 1 rM1M R 1 1 rM0M 其中 M0为球外一点 M1关于球面的反演点 1 rOM1 由此得 Poisson 公式为 u 1 1 1 1 4 R K 2 1 R 2 f R R2 2 1 2R 1cos 3 2 dS 其中 cos cos cos 1 sin sin 1cos 1 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1343 73 格林函数 Example 3 3 写出球的外部区域的格林函数 并由此导出对调和方程求解球的狄利克雷外问 题的泊松公式 解 采用教材 P85 图3 2 与球内 Green 函数推导完全类似可得 G M M1 1 4 1 rM1M R 1 1 rM0M 其中 M0为球外一点 M1关于球面的反演点 1 rOM1 由此得 Poisson 公式为 u 1 1 1 1 4 R K 2 1 R 2 f R R2 2 1 2R 1cos 3 2 dS 其中 cos cos cos 1 sin sin 1cos 1 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1343 73 格林函数 Example 3 4 试用格林函数法导出调和方程第二边值问题解的表达式 解 调和方程第二边值问题记为 u 0 u n h 其中h满足 hdS 0 取G M M0 1 4 rMM0 g M M0 其中G M M0 满足 g n 1 4 rMM0 dSM g n n 1 4 rMM0 则解u可以表示为u M0 GhdSM C 注意在取定 g n之值后 不可再 令 g 0 否则问题一般会无解 参见P83习题3 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1344 73 格林函数 Example 3 4 试用格林函数法导出调和方程第二边值问题解的表达式 解 调和方程第二边值问题记为 u 0 u n h 其中h满足 hdS 0 取G M M0 1 4 rMM0 g M M0 其中G M M0 满足 g n 1 4 rMM0 dSM g n n 1 4 rMM0 则解u可以表示为u M0 GhdSM C 注意在取定 g n之值后 不可再 令 g 0 否则问题一般会无解 参见P83习题3 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1344 73 格林函数 Example 3 5 求半圆区域上狄利克雷问题的格林函数 解 记半圆区域为D 其半径为R A x0 y0 D M x y 为D内动点 A关于圆 周的反演点为A1 R 2 x0 x2 0 y 2 0 R2 y0 x2 0 y 2 0 A与A 1关于x轴的对称点为 A2 x0 y0 与 A3 R 2 x0 x2 0 y 2 0 R2 y0 x2 0 y 2 0 再记MA r MA 1 r1 MA2 r2 MA3 r3 则Green函数为G M M0 1 2 log r1r2 rr3 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1345 73 格林函数 Example 3 5 求半圆区域上狄利克雷问题的格林函数 解 记半圆区域为D 其半径为R A x0 y0 D M x y 为D内动点 A关于圆 周的反演点为A1 R 2 x0 x2 0 y 2 0 R2 y0 x2 0 y 2 0 A与A 1关于x轴的对称点为 A2 x0 y0 与 A3 R 2 x0 x2 0 y 2 0 R2 y0 x2 0 y 2 0 再记MA r MA 1 r1 MA2 r2 MA3 r3 则Green函数为G M M0 1 2 log r1r2 rr3 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1345 73 格林函数 Example 3 6 利用泊松公式求边值问题的解 uxx uyy uzz 0 x2 y2 z2 1 u R R 1 A Bcos2 R 表示球坐标 解 记 f A Bcos2 由 Poisson 公式知 此定解问题的解为 u 0 0 0 R 4 2 0 0 R2 2 0 f R2 2 0 2R 0cos 3 2 sin d d 1 4 2 0 0 1 2 0 f 1 2 0 2 0cos 3 2 sin d d 其中 cos cos cos 0 sin sin 0cos 0 由于被积函数是 的 以 2 为周期的函数 故只需计算 0 0 的值 即计算 M0落在 xoz 平面上的 情形 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1346 73 格林函数 Example 3 6 利用泊松公式求边值问题的解 uxx uyy uzz 0 x2 y2 z2 1 u R R 1 A Bcos2 R 表示球坐标 解 记 f A Bcos2 由 Poisson 公式知 此定解问题的解为 u 0 0 0 R 4 2 0 0 R2 2 0 f R2 2 0 2R 0cos 3 2 sin d d 1 4 2 0 0 1 2 0 f 1 2 0 2 0cos 3 2 sin d d 其中 cos cos cos 0 sin sin 0cos 0 由于被积函数是 的 以 2 为周期的函数 故只需计算 0 0 的值 即计算 M0落在 xoz 平面上的 情形 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1346 73 格林函数 将 y 轴固定 旋转 x 轴与 z 轴 使 z 轴通过点 M0 现在新坐标系 Ox y z 相应的极坐标为 R 下计算积分 注意到在新坐标系下 OM 的单位向量为 sin cos sin sin cos OM0的单位向量为 0 0 1 oz 轴的单位向量为 k sin 0 0 cos 0 于是 cos OM k sin 0sin cos cos 0cos 又由于单位球面的面积元素为 sin d d sin d d 从而得 u 0 0 0 1 4 0 1 2 0 I 1 2 0 2 0cos 3 2 sin d 3 7 其中 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1347 73 格林函数 I 2 0 f d 2 0 A B 2Bcos2 d 2 0 A B 2B sin 0sin cos cos cos 0 2 d 2 A Bcos2 0 B 3cos2 0 1 cos2 将 I 的表达式代入 3 7 并引入变量代换得 u 0 0 0 1 2 1 1 1 2 0 A Bcos 2 0 B 3cos2 0 1 x2 1 2 0 2 0 x 3 2 dx 经积分计算可知 1 2 1 1 1 2 0 dx 1 2 0 2 0 x 3 2 1 1 2 1 1 1 2 0 x 2dx 1 2 0 2 0 x 3 2 1 2 2 0 3 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1348 73 格林函数 最后得 u 0 0 0 u 0 0 0 A Bcos2 0 B 3 1 2 2 0 3cos 2 0 1 A B 3 2 3B 2 0 2B 2 0cos 2 0 O M x y z z x M0 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1349 73 格林函数 注 事实上 在直角坐标系下 很容易将解凑出来 令 x 0cos 0sin 0 y 0sin 0sin 0 z 0cos 0 则当 0 1 时 有 A Bcos2 A B cos2 sin 2 A B z2 x2 y2 A B z2 x2 y2 2B 2 0 1 x 2 y2 z2 1 6 从而 A B z2 x2 y2 B 3 2 0 1 0 所以由解的唯一性 得 u 0 0 0 A B z2 x2 y2 B 3 2 0 1 A B 2z2 2 0 B 3 2 0 1 A B 3 2 3B 2 0 2B 2 0cos 2 0 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1350 73 格林函数 Example 3 7 证明二维调和函数的奇点可去性定理 若 A 是调和函数 u M 的孤立奇点 在 A 点邻域中成立着 u M o ln 1 rAM 则此时可以重新定义 u M 在 M A 的值 使它在 A 点亦调和 证明 与三维调和函数的可去奇点定理类似 设 K 是一个以 A 为心 R 为半径的圆 它整个地包含在点 A 的那个邻域中 先求解 Dirichlet 问题 u1 0 圆K内 u1 u 则 w u u1满足 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1351 73 格林函数 Example 3 7 证明二维调和函数的奇点可去性定理 若 A 是调和函数 u M 的孤立奇点 在 A 点邻域中成立着 u M o ln 1 rAM 则此时可以重新定义 u M 在 M A 的值 使它在 A 点亦调和 证明 与三维调和函数的可去奇点定理类似 设 K 是一个以 A 为心 R 为半径的圆 它整个地包含在点 A 的那个邻域中 先求解 Dirichlet 问题 u1 0 圆K内 u1 u 则 w u u1满足 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1351 73 格林函数 w 0 K A w 0 w M o ln 1 rAM 3 8 若能证得 w 在圆 K 内除去 A 点均为零 这就完成了可去奇点定理的证 明 为此 作函数 w M ln 1 rAM ln 1 R 3 9 则显然有 w M 0 K A w 0 3 10 由 3 8 的第三式及 3 9 知 可取 充分小 使在以 A 为心 为半径 的圆周 上成立 w w 利用极值原理在 r R 和 r 所包围的同心圆 环 D 内成立 w w M 固定 M 令 0 即得 w M 0 而 M 可以是 K 内除 A 的任一点 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1352 73 格林函数 Example 3 8 证明 如果三维调和函数 u M 在奇点 A 处附近能表示为 N r AM 其中常数 0 1 而 N 是不为零的光滑函数 则当 M A 时它趋于无穷大的阶数必 与 1 rAM同阶 即 1 证明 由 u M N r AM 知 rAM u M r1 N 若 1 当 rAM趋于零时 上式极限 lim M A rAM u M 0 由可去奇点定理 A 为可去奇点 现 A 为不可去奇点 则必有 1 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1353 73 格林函数 Example 3 8 证明 如果三维调和函数 u M 在奇点 A 处附近能表示为 N r AM 其中常数 0 0 u y 0 f x 解 与半空间情形类似可得 G M M0 1 2 ln 1 rM0M 1 2 ln 1 rM1M 由此得 u x0 y0 y0 1 x0 x 2 y2 0 f x dx 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1355 73 格林函数 Example 3 10 试用静电源像法导出二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题的解 u uxx uyy 0 y 0 u y 0 f x 解 与半空间情形类似可得 G M M0 1 2 ln 1 rM0M 1 2 ln 1 rM1M 由此得 u x0 y0 y0 1 x0 x 2 y2 0 f x dx 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1355 73 格林函数 注意推导中要用到对二维无穷区域当 u 满足 u M O ln 1 rOM 及 u n O 1 rOM 时成立 u M0 1 2 u M n ln 1 rM0M ln 1 rM0M u M n dsM 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1356 73 格林函数 Example 3 11 设区域 整个地包含在以原点 O 为心 R 为半径的球 K 中 u r 是此 区域中的调和函数 其中 r 表示 中动点 M 的球坐标 设 r1 R2 r 则点 M1 r1 就是点 M 关于球 K 的反演点 从 M r 到 M1 r1 的变换称为逆矢径变换或反演变换 以 1表示 的反演区域 证明函数 v r1 R r1 u R2 r1 是区域 1中的调和函数 无穷远点除外 如果区域 为球面 K 以外的无界区域 则函数 v r1 在 1中除去原点 O 外是调和的 函数 v r1 称为函数 u r 的 凯尔文 Kelvin 变换 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1357 73 格林函数 证明 利用柱坐标系下 Laplace 算子的表达式 由复合函数求导法则可 得 当 r u r 0 时 必有 r1 v r1 0 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1358 73 格林函数 Example 3 12 利用凯尔文变换及奇点可去性定理把狄利克雷外问题化为狄利克雷内问题 解 求解 Dirichlet 外问题 u 0 内 u f lim r u M 0 作一半径为 R 的球 K 使其完全落在 内 将 关于球 K 反演得 内有 界区域 1 其边界为 1 由上题知 v r1 R r1 u R2 r1 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1359 73 格林函数 Example 3 12 利用凯尔文变换及奇点可去性定理把狄利克雷外问题化为狄利克雷内问题 解 求解 Dirichlet 外问题 u 0 内 u f lim r u M 0 作一半径为 R 的球 K 使其完全落在 内 将 关于球 K 反演得 内有 界区域 1 其边界为 1 由上题知 v r1 R r1 u R2 r1 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1359 73 格林函数 满足 r1 v 0 1内 v 1 f1 r1 其中 f1 r1 R r1f R2 r1 注意到 lim r1 0 r1 v lim r R u r 0 所以 r1 0 是 v 的可去奇点 故可重新定义 v 在 r1 0 的值 使 v 在 1 内调和 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1360 73 格林函数 Example 3 13 证明空间无界区域上的调和函数如在无穷远处趋于零 那么它趋于零的阶数至 少为 O 1 r 证明 由上题知 当 u r 在无界区域内调和 在无穷远处趋于零时 v r1 R r1 u R2 r1 r1 R2 r 在有界区域 1内调和 包括原点 故 v 必在 1内有界 即存在常数 A 使 v A 由 v 的定义得 当 r 时有 r Ru r A u r c r 这就证明了 u 在无穷远处趋于零的阶数至少为 O 1 r 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1361 73 格林函数 Example 3 13 证明空间无界区域上的调和函数如在无穷远处趋于零 那么它趋于零的阶数至 少为 O 1 r 证明 由上题知 当 u r 在无界区域内调和 在无穷远处趋于零时 v r1 R r1 u R2 r1 r1 R2 r 在有界区域 1内调和 包括原点 故 v 必在 1内有界 即存在常数 A 使 v A 由 v 的定义得 当 r 时有 r Ru r A u r c r 这就证明了 u 在无穷远处趋于零的阶数至少为 O 1 r 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1361 73 格林函数 Example 3 14 证明处处满足平均值公式 2 11 的连续函数一定是调和函数 证明 u 为连续函数 在 内处处满足平均值公式 以任一点 M0为球 心 为半径作球 K 使其完全落在 内 在 K 内求解 Dirichlet 问题 v 0 K 内 v u 由 Poisson 公式知存在唯一解 v v 是 K 内的调和函数 成立平均值公式 进而 u v 在 K 内亦成立平均值公式 因此 u v 成立极值原理 而由 v 的 定义知 u v 0 由此得在 K 内 u v 0 即 u 在 K 内调和 由 M0的任意性即得 u 在 内调和 齐海涛 SDU 数学物理方程2015 12 1362 73 格林函数 Example 3 14 证明处处满足平均值公式 2 11 的连续函数一定是调和函数 证明 u 为连续函数 在 内处处满足平均值公式 以任一点 M0为球 心 为半径作球 K 使其