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天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 第七章第七章 线性变换线性变换 小结 复习小结 复习 线性变换是线性代数的中心内容之一 它对于研究线性空间的整体结构以及 向量之间的内存联系起着重要作用 线性变换的概念是解析几何中的坐标变换 数学分析中的某些变量的替换等的抽象和推广 它的理论和方法 特别是与之相 适应的矩阵理论和方法 在解析几何 微分方程等许多其它应用学科 都有极为广 泛的应用 本章的中心问题中心问题是研究线性变换的矩阵表示 在方法上则充分利用了线性变 换与矩阵的对应和相互转换 一 线性变换及其运算一 线性变换及其运算 1 基本概念基本概念 线性变换 可逆线性变换与逆变换 线性变换的值域与核 秩与零 度 线性变换的和与差 乘积和数量乘法 幂和多项式 2 基本结论基本结论 1 线性变换保持零向量 线性组合与线性关系不变 线性变换把负向量变 为象的负向量 把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 2 线性变换的和 差 积 数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变 换 3 线性变换的基本运算规律 略 4 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一 个线性空间 5 线性空间V的线性变换 的象与核是V的子空间 若 dim V 则 Im n 由V的一组基的象生成 而 的秩 的零度 且n 是双射 是 单射 Ker 0 二 线性变换与矩阵 二 线性变换与矩阵 1 基本概念 基本概念 线性变换在基下的矩阵 相似矩阵 2 基本结论 基本结论 1 若 n 21 L是线性空间V的一个基 V n 21 L 则存在唯 一 VL 使得 ni ii 2 1 L 2 在取定n维线性空间V的一个基之后 将V的每一线性变换与它在这个 1 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 基下的矩阵相对应 则这个对应使得线性变换的和 乘积 数量乘积的矩阵分别 对应于矩阵的和 乘积 数量乘积 可逆线性变换与可逆矩阵对应 且逆变换对 应逆矩阵 3 同一线性变换关于不同基的矩阵是相似的 反之 若两个矩阵相似 则它 们可看作是同一线性变换关于两个基的矩阵 4 若在线性空间V的一个基 n 21 L下 线性变换 对应的矩阵为A 向量 的坐标为 则 21n xxxL 的秩 秩 A 的坐标 nn x x x A y y y MM 2 1 2 1 三 特征值与特征向量 三 特征值与特征向量 1 基本概念基本概念 线性变换 或矩阵 的特征值与特征向量 特征多项式与最小多 项式 特征子空间 2 基本结论 基本结论 1 线性变换与相应矩阵的特征值 特征向量及特征子空间的关系 略 2 属于不同特征值的特征向量是线性无关的 3 相似矩阵有相同的特征多项式 反之不然 4 定理 设线性变换CaylayHamilton 在某个基下的矩阵为 A AEf 则 0 Aff 0 5 矩阵A或线性变换 的最小多项式 四 对角化问题 四 对角化问题 1 基本概念 基本概念 不变子空间 标准形 Jordan 2 基本结论基本结论 设 是数域P上维向量空间V的一个线性变换 则 n 1 的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵 有个线性无关的特征向量 n V可以分解为个一维不变子空间的直和 n 的所有不同的特征子空间的维数之和等于 n 2 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 因而 当 有个不同特征值时 n 必在某个基下的矩阵是对角形式 2 在某组基下的矩阵是为对角形 V可以分解为 一子空间的直 和 在某组基下的矩阵为对角形 的最小多项式 即 在任一基下矩阵 的最小多项式 是P上互素的一次因式的乘积 3 设A为n阶矩阵 则A必与一个标准形矩阵相似 且在不计若当 块的排列次序的意义下 这个标准形是唯一的 而 Jordan JordanA与对角矩阵相似 A的最小多项式无重根 于是 当A的特征多项式无重根时 A必与一个对 角矩阵相似 五 欧氏空间的线性变换五 欧氏空间的线性变换 1 正交变换 1 欧氏空间V的线性变换 是正交变换 保持向量的长度不变 保持向量的内积不变 把标准正交基仍变为标准正交基 关于标准正交基的矩阵是正交矩阵 2 正交矩阵的性质 正交矩阵为可逆矩阵 其逆仍为正交矩阵 正交矩阵的行列式为 1 或 1 正交矩阵的伴随矩阵是正交矩阵 2 对称变换 1 假如欧氏空间V的线性变换 满足 V 那么 叫做对称变换 2 维欧氏空间V的线性变换是对称变换n 在V的标准正交基下的矩阵 是对称矩阵 3 设 是欧氏空间V的对称变换 若W是 的不变子空间 则也是 W 的 不变子空间 4 实对称矩阵的特征值都是实数 相应地有对称变换的特征值都是实数 5 设A是实对称矩阵 则属于A的不同特征值的特征向量是正交的 3 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 6 任一个阶实对称矩阵nA都可以正交对角化 即存在正交矩阵U 使得 是对角形式 相应地有对于欧氏空间V的任一个对称变换AUUAUU 1 存 在V的标准正交基 在这个标准正交基下的矩阵是对角形式 矩阵的三大关系矩阵的三大关系 等价等价 相似相似 合同合同 对象 对象 m n 矩阵 n 阶方阵 n 阶实对称矩阵 来源 来源 A 可经初等行变换 得到 B 一个线性变换在不同 基下的矩阵 二次型经非退化线性变换 后 新旧矩阵之间的关系 刻划 刻划 存在 P Q 可逆 使得 B P A Q 存在 P 可逆 使得 B P P 1 A P 存在 P 可逆 使得 B P P T A P 共同点 共同点 都满足反身性 对称性和传递性 都保持矩阵的秩不变 最简最简 形式 形式 nm r E 00 0 有 n 个线性无关的特 征向量时相似于对角 形矩阵 0 pr p E E 性质 性质 秩相同 有相同的特征多项 式 有相同的特征值 有相同的秩与正惯性指数 等价类等价类 个数 个数 r 1 r min m n 无限多个 2 1 2 1 nn 解题方法与范例分析解题方法与范例分析 1 线性变换在某基下的矩阵线性变换在某基下的矩阵 例例 1 武汉大学 97 以 n R x 表示所有次数不超过 n 的实系数多项式构成 4 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 的实向量空间 其向量加法是多项式加法 数乘运算是实数乘多项式 以D x 表示求导多项式的求导算子 则 D 为 n R x 上的线性变换 1 试证 2 1 n x xxL是 n R x 的一组基 2 求在上述基下 D 的矩阵 3 试证 时D不能对角化 即1n n R x 没有基使D的相应矩阵为对角矩阵 证明 1 因为 n R x 中任一元素可表成 10 n n f xa xa xa L 2 1 n f xx xx L 又若 01 0 n n aa xa x L 则0 i a 故 2 1 n x xxL线 性无关 从而为基 2 21 1 0 1 2 nn Dx xxxnx LL 2 0100 0020 0000 1 000 0000 n x xx n L L L L MMM L L A 3 当时 可证1n 0 n A 但 1 0 n A 故 n x为 A 之最小多项式 它有 重根 故 A 不能对角化 从而 D 不能对角化 例例 2 设V是实数域 R 上的三维线性空间 321 是V的一组基 又设在 线性变换下 VVT 321321211 TTaT 试求T的逆变换 1 T在基 321 下的矩阵 答案 因为 100 110 111 321 AT 所以 123 11 110 011 001 TA 例 3 例 3 在数域上的维线性空间V中 设有线性变换Fn 与向量 满足 0 1 n 但是 0 n 5 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 1 证明向量组 2 n 1 L线性无关 2 证明存在一组基 使 在此组基下的矩阵是 0 10 10 0 10 N O O O 3 证明存在一组基 使 在此组基下的矩阵是 N 其中 N 是的转置矩阵 N 证明 1 设 则用 21 0121 0 n n kkkk L 2 n 1 L作用 并 应用得 0 n 231 0122 2341 0123 1 0 0 0 0 n n n n n kkkk kkkk k L L L 由 可依次得 即0 1 n 0121 0 n kkkk L 2 n 1 L线性无关 2 由 1 知道 2 n 1 L线性无关 故可以充当V的一组基 并且 2121 0 nn LL 21 0 10 10 0 10 n L O O O 从而在基 2 n 1 L下 的矩阵是 N 3 由 1 向量组线性无关 故向量组 12 n L 1 n L 也线 性无关 可以充当V的一组基 而 N 0 2122121 LLL nnnnnn 故 在基 1 n L 下的矩阵是 N 2 值域与核 6 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 例例 4 设 秩 FMA n rA 对于 令 n F A 是线性变换 那么 dimIm dim Ker 答案 r n r 例例 5 令 是数域P上线性空间V的一个线性变换 且满足 证明 2 1 1 0 V 2 0 1 VV 证明 1 设 的特征值为 则由 2 可得特征值满足 2 即 的 特征值为1或 0 任取V 易得 0 故 1 0 又对 于任意的 1 0 有 故得 1 2 对 于 任 意 的V 1 0V 即 有 1 0VV 又若 0 1 V I 则存在V 使得 且 0 2 故 所以 0 0 1 V I 1 0VV 例例 6 武汉大学 02 98 设 f 是向量空间 V 的线性变换 且 2 ff 证明 其中ImVfKe rf 0KerfV f Im fVV f 证 明 因 为 2 ff 所 以 ffI0 那 么 对 于 任 意 的V ImfffKerf 又对于任意的Im fKerf 有V 使得 f 且 0f 即 但 2 0f 2 ff 故0 即 Im0fKerf 从而 ImVfKe rf 例 7 例 7 设 n 维线性空间 V 中的线性变换 满足等式 2 2E 7 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 1 2 VV 2 VV 2 证明 1 VVV 证明 因为线性变换 满足等式 2 2E 所以有 2 2E 0 从而 满足 2 EE0 所以有 12 2 VKerE VKerE 那么对于任 意的V 有 3 2 3 其中 112 3 2 3V 2 12 VVV 从而有V 2 又对于任意的 1 VV 有 2 所以有0 从而有 12 VVV 3 特征值 特征多项式与特征子空间 特征值 特征多项式与特征子空间 例例 8 V是维线性空间 n k 21 L是线性变换 的特征子空间的一组 基 将它扩充为V的一组基 0 V nkk 11 LL 1 求 在此组基下的矩阵 2 证明 0 dim V 0 的代数重数 即 0 作为特征多项式的根的重数 证明 1 由 k 21 L是线性变换 的特征子空间的一组基 得 0 V ii 0 则ki 2 1L 在此组基下的矩阵为 0 2 0 k EA A A 1 2 由题意知 设kV 0 dim 0 的代数重数为 而 0 n 20 2 10 0 AE AE AE AE k 故有结论 0 nk 例例 9 武汉大学 97 设 A 为n n 复矩阵 证明 1 若 1 为 A 的特征根 则有可逆矩阵 P 使得 1121 2221 2 0 0 n n nn bb bb P AP bb L L MMMM L n 2 对n归纳证明 有可逆矩阵T 使得 8 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 1121 221 0 00 n n n cc c TAT L L MOOM L 证明 1 设 在之单位基向量组 n c 12n L下的矩阵为A 因 1 为A的特 征根 从而也是 的特征根 设 1 为 之属于 1 的特征向量 将其扩充为之 一个基 n c 12n L则 12 1121 222 2 0 0 n n n nnn bb bb B bb L L L MMMM L 故 可逆P s t 1 P APB 2 n 1时 显然 设n 1时成立 对于n时 P s t 1 P APB 令 则 222 1 2 n nn bb B bb n L MMM L 1 B为 n 1 级方阵 由归纳假设 可逆阵 s t 1 T 2232 1 11 1 0 00 n n cc TBT L OM MOOM L 令 则 1 10 0 TP T 1121 221 0 00 n n n cc c TAT L L MOOM L 由数学归纳法原理得证 例例 10 设A与B是阶实对称矩阵 nA有个互异的特征值 证明nBAAB 当 且仅当A的特征向量都是B的特征向量 证明 A有n个互异的特征值 则A可以相似对角化 则存在可逆矩阵P使得 21 1 n diagAPP L 设 21n XXXPL 则对于任意的i iii XAX 由BAAB 则 iiiiii BXXBBAXABX 即也是 i BXA的属于特征值 i 的特 征向量 但是 故存在实数1dim i V i 使得 iii XBX 即也是 i XB的特征向量 若A的特征向量都是B的特征向量 不妨设 iii XAX iii XBX 令 21n XXXPL 则 2121nn PdiagBPPdiagAP LL 故从而 1 21 1 21 PPdiagBPPdiagA nn LL 1 2211 1 21 1 21 PPdiagPPdiagPPdiagAB nnnn LLL 1 2211 1 21 1 21 PPdiagPPdiagPPdiagBA nnnn LLL 9 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 得BAAB 例例 11 假设 0 n nn s ARRank ArEAgg 0 J u J 证明 r s 举一个四阶方阵的例子使得r s成立 证明 因为A的秩为r 所以A的Jordan标准型为 1 1 0 0 t t u J J J J J O O O 其中为特征值是0 阶数大于1的Jordan块 都是特征值不等 于0的Jordan块 设的阶数为 1 t J L 1 t J L i J 1 2 i n iu L 则 1 1 2 i ni L t 设J中0的个数为k 则J的秩为n k t 又 1 1 1 1 t t u n nt nt nu EJ EAEJ EJ EJ EJ O O O 1 t j j kn n s gg 所以 只有当t 0时等式才成立 1 t j j snknnktr 令 则 r 3 s 0 01 01 01 0 A 10 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 4 不变子空间 不变子空间 例例 12 武汉大学 99 设 是复向量空间V的线性变换 1 k L是 的 特征根 它们互不相同 是属于特征根 i v i 的特征向量 这里 设W 是V的 1 i Lk 不变子空间 wW 如果有全不为0的复数使得 证明所有 1 k ccL 1 1kk wcvc v L 1 i vw ik L 证明 是 1 k vvQL 之分别属于互不相同的特征根 1 k L的特征向量 故 线性无关且 1 k v L vk 1 2 ii i vv i L 又 1 1kk wcvc v L 1 1 1 kkk wcvcvW L 又 11 1 11kk wcvcvW L 故两者之差 22121 kkk cvcvW L 2212 21 kkkk cvcvW L 22212 21 kkkk cvcvW L 故 33132312 kkkk cvcvW L 同理可得 44142434123 kkkkk cvcv L也属 于 W 最 后 可 得 11 kkkkk cvW L k vW W 由 此 可 得 111121 kkkkk cv L 11k vWvW L 例例 13 武汉大学 99 设 是有限维向量空间V的可逆的线性变换 设 W是V中 不变的子空间 证明W在线性变换 1 之下也不变 证明 因为 是有限维向量空间V的可逆的线性变换 而W是V中 不 变的子空间 那么 为双射且 WW 为有限维的 它将基变为基 dim dimWW 故必有 WW 因 为 对 于 任 意 的W 所 以 存 在W 使 得 从 而 有 即W是 11 W 1 的不变子空间 11 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 例例 14 设 是有限维线性空间V的线性变换 W是V的子空间 W 表示 由W中向量的象组成的子空间 ker表示 的核子空间 证明 WWWdimkerdimdim 证 明 设 rWmW kerdim dim 任 取W ker的 一 组 基 r 21 L 将 其 扩 充 为W的 一 组 基 mrr 121 LL 因 为 ker 21 r L 所以0 21 r L 从而 mrmrr LLW 1121 LLL 设0 2211 mmrrrr lll L 则0 2211 mmrrrr lll L 于 是Wlll mmrrrr ker 2211 L 从而 rrmmrrrr lllll LL 112211 由 mrr 121 LL 线性无关知 0 1 mr llL 故 mr 1 L 线性无关 rmW dim 故 WWWdimkerdimdim 例 15 例 15 设 是线性空间V的线性变换 21 是 的两个特征根 是 21 V V 的分别属于 1 和 2 的特征子空间 并设W是 的不变子空间 如果 21 W 其中 221 V 1 V 则W 2 1 证明 由已知条件得W 21 而W是 的不变子空间 所以有 W 21 但是 22211121 故有 W 2211 另一方面 从W 21 可得W 212 即 W 2212 得 W 22122211 即W 121 但0 21 故W 1 于是W 1212 12 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 5 矩阵的相似标准性矩阵的相似标准性 例例 16 设为实数 011 n a aa L ij n n Bb 其中 1 1 1 2 3 0 j ij ain bijj L 其余 n 求证 1 若 为B的一个特征值 则 2 1 T n L 1 为B的特征向 量 2 若B有n个不同的特征值 12 n L 求一可逆矩阵P 使得 1 12 n P BPdiag L 证明 易知 0121 0100 0010 0001 n B aaaa L L MMMM L L 从而 1 11 nn Bn0 fxxEBxaxa xa L为B的特征多项式 1 若 为B的一个特征值 则有 1 11 nn n aa 0 a L 从而有 22 11 11 nn B MM 即 2 1 1 n M 为B的特征向量 2 若B有n个不同的特征值 12 n L 令 12 222 1212 111 12 111 n n nnn n P n L L L MMMM L L 则P为可逆矩阵 且由 1 可 知它使得 1 2 1212 nn n B LL O 故有 1 12 n P BPdiag L 13 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 例 17 例 17 设n维线性空间V中的线性变换 有n个互异特征值 线性变换 与 可交换的充要条件是 可写成 2 n E 1 L的线性组合 证明 充分性显然 下证必要性 因为 有n个互异特征值 12 n L 所以存在一组基 12 n L 使得 在此基下的矩阵为D 12 n diag L 设 在此基下的矩 阵为B 因为 所以BDDB 那么 必有B等于 12 n diag l llL 此 结论为课本 p199 T5 令 1 011 n n f xaa xax L 则关于未知量 011 n a aa L的线性方程组 1 01 11 11 1 011 n n n nnn aaal aaal L LLL L n 有唯一解 因为系数行列式为由两两互异的数 011 n a aa L 12 n L 决定 Vandermone行列式 它不等于0 从而由Cramer法则 线性方程组有唯一解 那么有 Bf D 从而有 f 例例 18 设A为n阶可逆矩阵 求证A相似于对角阵的充要条件是相似于 对角阵 1 A 证明 设A相似于对角阵D 则存在可逆矩阵T 使得 两边取 逆得 所以有相似于对角阵 1 TATD 111 TA TD 1 A 反之 同理可证 例例 19 设A为 3 阶方阵 已知032 EAEAEA 其中E为 3 阶单位矩 阵 则 4 EA设阶方阵nA的个特征值为 矩阵n1 2 1 0 nLB 与A相似 则行列式BE 答案 6 n 例例 20 在 3 R 中 对某向量0 定义变换 1 证明 是 3 R 上一个线性变换 2 求的特征值 并说明它能否对角化 14 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 证明 1 证明保持加法和数乘即可 任给和 3 21 R R k 有 21 21 2121 21 k kk k 2 由定义知 而 2 2 xx 无重因式 故 的最小多项式无重因 式 从而可以相似对角化 例 21 例 21 设A为阶矩阵 证明 n0 m A 当且仅当A的特征根全为 0 证明 设 且0 m A 为A之特征值 为A之属于 之特征向量 则 A 0 mm A m A 的特征根0 m 故0 反之 设是 1 P APJ A的标准形 则Jordan 1 21 s J J APJPJ J O 0 10 1 10 i J O O O 设的 阶 数 为 那 么 i J i m0 i m i J 若 取 1 max i i s m m 则 从而 1 2 0 m m m m s J J J J O 1 0 mm APJ P 例例 22 已知3阶方阵A的三个特征值为 2 2 1 令 3 BAE 求B的 特征值 解 因为存在可逆矩阵P 使得 所以有 1 2 2 1 P AP 15 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 3 13 3 217 219 112 P BP 从而B的特征值为 7 9 2 例例23 已 知 且 x10 100 002 A 100 00 002 yBB A 则 x y 解 因为B A 所以A可以对角化 且2 y 1为其全部特征根 从而 33 11113 11 EAx xx 0 故x 0 那么 2 111 1 EA 2 故y 1 例例 24 证明任一n级复矩阵A均可分解为AMN 其中N为幂零矩阵 M相似于对角阵 且 MNNM 证明 因为任一n级复矩阵A均相似于某个 Jordan 标准型 1211 0000 000 0 00 000 n JdiagMN O O LO O O O O O O 其 中 处 的 元 素 为1或 者0 所 以 存 在 可 逆 矩 阵P使 得 111 11 AP JPP M PP N PMN 显然M相似于 1 M 0 n N 因为 1 1111 1 MNP M N P NMP N M P 所以 要证MNNM 只需要证明 1111 M NN M 又对于任意 Jordan 块 22 0 110 11 0 11 r JM OOO OO 0 N 16 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 有 2222 0 0 0 0 M NN O O M 对于一般的 Jordan 标准型 同理可证结论成立 6 正交变换 对称变换正交变换 对称变换 例例25 设 和 是n维欧式空间V中的两个线性变换 对于任意的 V 都有 证明 的核 的值域的正交补 证明 对于任意的Ker 及任意的Im 则存在 V 使得 0 0 所以 Im ImKer 反之 对于任意的 Im 则对于任意的 Im 0 又对于任 意的由 的任意性可得 0 即 Ker 故有 0 0V ImKer 例例 26 设 A B 为 3 2 和 2 3 阶实矩阵 且 822 254 245 AB 求证 1 2 rank Arank B 2 90 09 BA 证 明 1 因 为rank AB 2 min rank A rank B 所 以 rank A rank B 2 2 因为 2 9EAB 所以AB的特征值为 9 9 0 那么根据课 本第四章习题 EABEBA 可得 2 9EBA 3 从而 BA 的特 征值为 9 9 因为 AB 实对称矩阵 可以对角化 设 12 XXX分别是属于特征值 0 9 9 的特征向量 则 12323 0 9 9AB XXXXX 那么 23 0 9 92rankXX 所 17 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 以 23 rank AB XX 2 从而 23 2rank BXBX 即 2 3 BXBX线性无关 又 因为 所以 12323 0 9 9BAB XXXXX 32 BXBX是 BA 的特征向量 从而 BA 也可以对角化 那么存在可逆矩阵 P 使得 1 90 9 09 BAPPE 例例 27 上海大学 设 为欧氏空间V上的线性变换 且 2 E 1 求证 是V上的正交变换 是V上的对称变换 2 设 12 VVVV 求证且 是直和 1 VVV 2 证明 1 Q是正交变换 V 有 从而 又有 2 E Q是V上的对称变换 V 有 有 2 即 是V上的正交变换 2 2 0EEE QV 有 1 KerEV 2 KerEV 故 12 22 VV 又 1 VV2 I 则 且 0 故 12 0VV I 从而为直和 1 VVV 2 例 28 例 28 1 设A是正定阵 C是实对称矩阵 证明 存在可逆矩阵P使得 同时为对角形 TT P AP P CP 2 A正定 B和AB实对称 证明 AB正定的充要条件是B的特征值全大于 0 证明 1 因为A正定 所以存在可逆矩阵Q使得Q AQ E 又Q CQ实对 称 所以存在正交矩阵T s t T Q CQT 12 n diag L T Q AQT E 令P QT即满足要求 2 因为A正定 所以存在可逆矩阵P使得A P P 所以AB P PB 而 与B合同 与AB相似 且PBP 实对称 从而有 1 PABPPBP AB正定当且仅当AB的特征值都大于零 当且仅当PBP 的特征值都大于零 当且仅当B的特征值都大于零 因为合同矩阵有相同的正定性 18 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 例例 29 设 是 n维欧式空间V中的两个线性变换 若对于任意 V 都 有 证明 1 对于任意的 V 有 2 V 与V 同构 3 存在V上正交变换 使得 证明 1 对于任意的 V 所以有 从而得到 2 2 故有 2 令 VV 2 若 1 则 12 0 由 0 12121212 可得 即有 12