云南中考数学《专项三：压轴题》精教学案类型⑤　相似三角形存在问题探究.docVIP

类型相似三角形存在性问题探究,备考攻略)1求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论2或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小3若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解1不会判断已知三角形的形状，认清已知与未知信息2对应边分类错误或者出现漏解3对动点问题缺乏化“动”为“静”的思想意识1二次函数综合题考查分析推理能力，分类讨论思想的应用，数形结合思想的应用，从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力2已知有一个角相等的情形： 先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来(一母示)，然后把两个目标三角形(题中要相似的那两个三角形)中相等的那个已知角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比例(要注意是否有两种情况)，列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点. 3函数的综合应用涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式，以及待定系数法的应用，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标表示为设定的未知数的表达式后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了1根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度2待定系数法求解相关函数的解析式3相似三角形中，注意寻找不变的量和相等的量(角和线段)4当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解5根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想6注意利用好二次函数的对称性7利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法,典题精讲)已知有一个角相等的情形【例1】(2017怀化中考)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx5与x轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与ABC相似，求点D的坐标；(3)如图，CEx轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；(4)若点k为抛物线的顶点，点M(4，m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标,图) ,图) ,备用图)【解析】(1)根据待定系数法直接求抛物线解析式；(2)分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；(3)先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；(4)利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标【答案】解：(1)点A(1，0)，B(5，0)在抛物线yax2bx5上，抛物线的解析式为yx24x5；图(2)如图，令x0，则y5，C(0，5)，OCOB，OBCOCB45，AB6，BC5，要使以B，C，D为顶点的三角形与ABC相似，则有或，当时，CDAB6，D(0，1)当时，CD，D，即D的坐标为(0，1)或；(3)设H(t，t24t5)，CEx轴，点E的纵坐标为5，E在抛物线上，x24x55，x0(舍)或x4，E(4，5)，CE4，B(5，0)，C(0，5)，直线BC的解析式为yx5，F(t，t5)，HFt5(t24t5)，CEx轴，HFy轴，CEHF，S四边形CHEFCEHF2，图当t时，四边形CHEF的面积最大为；(4)如图，K为抛物线的顶点，K(2，9)，K关于y轴的对称点K(2，9)，M(4，m)在抛物线上，M(4，5)，点M关于x轴的对称点M(4，5)，直线KM的解析式为yx，P，Q.已知有两个角相等的情形【例2】 (2017宁波中考)如图，抛物线yx2xc与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点C在抛物线上，直线AC与y轴交于点D.(1)求c的值及直线AC的解析式；(2)点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连接PQ与直线AC交于点M，连接MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点求证：APMAON；设点M的横坐标为m，求AN的长(用含m的代数式表示)【解析】(1)把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值，令y0可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数解析式；(2)在RtAOB和RtAOD中可求得OABOAD，在RtOPQ中可求得MPMO，可求得MPOMOPAON，则可证得APMAON；过M作MEx轴于点E，用m可表示出AE和AP，进一步可表示出AM，利用APMAON可表示出AN.【答案】解：(1)把点C代入抛物线解析式，得9c，解得c3，抛物线解析式为yx2x3，令y0可得x2x30，解得x14，x23，A(4，0)，设直线AC的解析式为ykxb(k0)，把A(4，0)，C代入，得解得直线AC的解析式为yx3；(2)在yx2x3中，令x0，则y3，B(0，3)，A(4，0)，OA4，OB3，在RtAOB中，tanOAB，在yx3中，令x0，则y3，D(0，3)，OD3，在RtAOD中，tanOAD，OABOAD，在RtPOQ中，M为PQ的中点，OMMPQM，MOPMPO，又MOPAON，MPOAON，APMAON；如图，过点M作MEx轴于点E，则OEEP，点M的横坐标为m，AEm4，AP2m4，在RtOAD中，OA4，OD3，AD5，cosEAMcosOAD，AMAE，APMAON，即，AN.1如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线yx2交于B，C两点(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNx轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)顶点坐标为(1，1)，设抛物线解析式为ya(x1)21，抛物线经过原点O(0，0)，0a(01)21，解得a1，抛物线解析式为y(x1)21，即yx22x，联立抛物线和直线解析式可得解得或B(2，0)，C(1，3)；(2)如图，分别过A，C两点作x轴的垂线，分别交x轴于点D，E两点，则ADODBD1，BEOBOE213，EC3，ABOCBO45，即ABC90，ABC是直角三角形；(3)存在，设N(x，0)，则M(x，x22x)，ON|x|，MN|x22x|，在RtABD和RtCEB中，AB，BC3，MNx轴于点N，ABCMNO90，当ABC和MNO相似时有或，当时，则有，即|x|x2|x|，当x0时，点M，O，N不能构成三角形，x0，|x2|，即x2，解得x或x，此时N点坐标为或；当时，则有，即|x|x2|3|x|，|x2|3，即x23，解得x5或x1，此时N点坐标为(1，0)或(5，0)，综上所述，点N的坐标为或或(1，0)或(5，0)2(2017海南中考)抛物线yax2bx3经过点A(1，0)和点B(5，0)(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线yx3相交于C，D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M，N.连接PC，PD，如图，在点P运动过程中，PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；连接PB，过点C作CQPM，垂足为点Q，如图，是否存在点P，使得CNQ与PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由图图解：(1)抛物线yax2bx3经过点A(1，0)和点B(5，0)，解得该抛物线对应的函数解析式为yx2x3；(2)点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，可设P(1t5)，直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M，N，M(t，0)，N，PNt3，图联立直线CD与抛物线解析式可得解得或C(0，3)，D，分别过点C，D作直线PN的垂线，垂足分别为点E，F，如图，则CEt，DF7t，SPCDSPCNSPDNPNCEPNDFPN，0，当t时，PCD的面积有最大