不等式讲义(课堂).doc

线性规划1 目标函数的形式（可考虑求出所有的交点坐标，再代入目标函数进行比较）；（可看成动点与定点的斜率）； （可看成动点与定点之间距离的平方）2可行域的面积问题【例】若实数满足不等式组，则的最小值为（ ） A B C D【例】若实数满足条件，则的最大值为（ A ）A B C D1若实数、满足，求的最小值变式：若将该题中的目标函数改为，求的范围2实数满足不等式组，则的取值范围是（ ）A B CD. 3已知不等式组表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围是（ ） A B C D4不等式组所表示的平面区域的面积等于 .5不等式组所表示的平面区域的面积等于 6已知不等式组所表示的平面区域的面积为，则的值为_A B C或 D不等式研究不等式的出发点是实数的大小关系，对于任何两个实数和，有以下事实：；，符号“”读作“等价于”，即可以互相推出，因此要比较两个实数的大小，只要考察它们的差与的大小关系。不等式的基本性质：（1）若，则；若，则（对称性）（2）若且，则（传递性）（3）若，则（加法法则） 推论1：不等式中的任一项都可以把它的符号变成相反的符号，从不等式的一边移到另一边推论2：若且，则（4）若且，则；若且，则（乘法法则）推论1：若且，则推论2：若，则且 且不等式的以上基本性质是我们解不等式和证明不等式的理论依据大小比较与不等关系【例】（1）比较大小，在下面题中的每个横线上填上“”、 “”、 “”三者之一： ，则； ，则； ，则 （2）（2009海淀二模）若，则（ ） A B C D （3）（2011浙江）若为实数，则“”是“或”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件板块一：均值不等式及其应用以下基本不等式可以作为定理使用，它们主要用来证明不等式和解决一些最值问题（1）设，则，当且仅当时等号成立；（2）设，则，当且仅当时等号成立；（3）设，则，当且仅当时等号成立1利用均值不等式证明不等式【例1】已知为正数，求证：【例2】（1）已知，且，求证：（2）已知，且，求证：【例3】（1）已知，求证：（2）已知，求证：2利用均值不等式解决最值问题均值不等式的变式：；均值定理：（1）若，且（定值），则当且仅当时取到最小值（2）若，且（定值），则当且仅当时取到最大值定理内容可以概括成：两个正数的积为定值时，和有最小值；两个正数的和为定值时，积有最大值说明：运用均值不等式解决最值问题时，要做到“一正二定三相等四同时”【例】求函数的值域【例】（1）求的最小值； （2）若，求的最小值【例】（1）若，则的最小值是_；（2）若，则的最小值是_（3）若，则的最大值是_【例】（1）若，且，则的最小值是_ （2）若，且，则的最小值是_（3）若，且，则的最小值是_【例】已知，且，则的最小值是_【例】（1）已知，且，则的最大值是_（3）已知，且，则的最大值是_（4）已知，则的最大值是_【例】（1）设，则（ ） A有最大值 B有最小值 C有最大值 D有最小值 （2）（10重庆）已知，则的最小值是_ （3）设，则的最大值是_【拓】（10四川文）设，则的最小值是（ ） A B C D练习【例】（1）下列命题正确的是（ ） A的最小值为 B的最小值为 C的最小值为 D的最大值为 （2）已知，则函数的最大值是_ （3）函数的最小值是_ （4）设，则函数的最小值为_【例】当时，函数的最小值为_ A B C D 【例】已知，则的最大值为_【例】（1）已知，且，则的最小值为_ （2）已知，且，则的最小值为_【例】（1）已知，且，则的最小值为_ （2）已知，若是与的等比中项，则的最小值为（ ） A B C D （3）若是的三个内角，则的最小值为_ （4）设，则（ ） A有最大值 B有最小值 C有最大值 D有最小值【例】（2010浙江）若正实数满足，则的最小值是_【例】已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ） A B C D【例】若，则的最小值为（ ）A B C D【拓】已知，求的最大值【例】（1）（2009重庆）已知，则的最小值是（ ） A B C D （2）设都是正数，且，设，则当_，_ 时，有最大值为_ （3）已知，则的最小值是_【例】（2010四川理）设，则的最小值是（ ） A B C D板块二：柯西不等式与排序不等式（选学）1 一般形式的柯西不等式：若，则当且仅当或时等号成立（为常数，）柯西不等式：设是实数，则，当且仅当时等号成立【例】（1）设，求证： （2）设，且，求证：【例】已知，求证：【例】已知，且，求的最小值【拓】已知实数满足，且，求实数的最值【例】求函数的最大值2 排序不等式设，是两组实数，是的任一排列，称为这两组实数的顺序积之和（顺序和），称为这两组实数的反序积之和（反序和），称为这两组实数的乱序积之和（乱序和），则有，即反序和乱序和顺序和，当且仅当或时等号成立【例】（1）已知为正数，求证： （2）已知为正数，求证：【例】设为正数，求的最小值板块三：不等式的证明1比较法：比较法证明不等式主要有两种形式，一种是作差比较法，另一种是作商比较法【例1】已知，求证：【例2】已知，求证：【例3】已知，求证：【例4】已知，求证：【例5】已知，求证：2综合法：从已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理推导结论的证明方法就是综合法【例1】（1）已知，且不全相等，求证：（2）已知，且，求证：【例2】已知，求证：3分析法：从需要证明的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，一直找到已知条件或明显成立的不等式，这种证明方法叫做分析法【例1】若，求证：【例2】已知，且，求证：4不等式证明的常用技巧（1）构造函数法：根据不等式的特征，构造适当的函数，然后利用函数的性质来证明不等式【例1】求证：【例2】（1）求证：已知，求证： （2）已知，求证：（2）判别式法：用判别式法证明不等式有两种常见的形式：一是由已知条件推出判别式不等式；二是由判别式的正负符号推出不等式。【例1】已知，且， ，求证： 【例2】已知，求证：【例3】已知实数满足且，则（3）放缩法：放缩法的基本原理是不等式的传递性，为证明，可以先将放大到，即，若能证得，则有成立，在放缩过程中关健要掌握放缩的度【例1】证明：【例2】设，则与的大小关系是_【例3】设是三角形的三边，求证：板块四：不等式解法 【例1】解下列一元二次不等式 （1）； （2）； （3）【例2】解关于的不等式【例3】解关于的不等式【例】若，则关于的不等式的解集是_【例】（1）不等式的解集是_ （2）解关于的不等式 （3）关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是_板块五：不等式在实际问题中的应用举例【例】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为，如果池底每的造价为元，池壁每的造价为元，问怎样设计水池能使总造价