金融工程 第12章 信用风险和信用衍生工具.doc

第十二章 信用风险和信用衍生工具到目前为止，我们所专注的产品全部是有保障的现金流。我们假定这些现金流、息票、支付和偿还价值来自一个完全可信赖的来源或以某种承保的方式使得收入是确定的。由于交易所的承保方式，以及另一部分原因是要求存入保证金的缘故，在交易所购买的期权通常被认为是无违约风险的。 在实务中，许多债券并没有这样的保障。也许它们是某一家公司为了扩张而发行的借款借据。在这种情况下, 发行公司可能在付清所有现金流之前就宣布破产。另外，它们也可能是政府为了支付非常规的债务发行的债券。场外市场(OTC)交易的期权可能具有显著的交易对方风险。 在存在违约风险的情况下，如何对金融资产进行估值是本章的重点。估值的方法可以分为两类：一类是围绕着发行公司(或国家)的价值问题展开的建模；另一类是围绕违约风险的建模。稍后我们还将讨论像标准普尔和穆迪等信用评级公司提供的服务。这些信用评级为人们提供了一种对公司相对资信的公开评估。本章还将介绍在业界广泛使用的信用度量术和崩盘度量术。之后我们将讨论考虑违约风险后的衍生工具定价问题、信用衍生工具及其定价问题。第一节 围绕公司价值的建模这种建模方法越来越引起人们的兴趣，因为它们显然比较接近现实。缺点是这类模型的求解通常较复杂，而且在测度它们的参数上存在一定的困难。在这里我们先介绍这类模型中最流行的一个，其参数较容易度量，然后再介绍一个相似的模型。 一、公司价值为随机变量的模型运用公司价值对风险进行定价经常从选择公司价值的模型开始。（稍后我们将看到另一种方法）。将公司价值视为是随机的，以便我们能为因违约风险造成的债券价格随机性进行建模。隐藏在对公司估值思路背后的原形来自于Black、Scholes 和 Merton 的期权定价方法。下面我们采用的是 Longstaff 与 Schwartz 的模型。 我们暂时假定发行债券的公司具有价值A,而且A是随机的并服从随机微分方程：. 这个A将是我们的自变量之一。违约通过破产的概念来加以建模。我们将假定一旦公司的价值低于某一临界水平时公司将宣布破产。 让我们考虑最简单的例子:该公司在时间 T 有一笔债务 D 要归还（这是一种无息票债券）。但在此期间如果公司破产了，该债务将无法偿还。为了使事情在开始时尽可能简单, 假定利率是固定已知的。 （一）确定利率的情况对该公司发行的这种风险债务我们怎样才能给出一个公平的价格? 正如我们经常采用的做法，我们将运用对冲的办法。但是，如果该公司的股票不能交易，那么与该公司的债务相关联的风险是不可能轻易地被对冲的。但鉴于定价目的，我们仍可假定这种风险是可以对冲的。由于债券价值V是公司价值A和时间的函数，运用伊腾引理（6.10）我们有： 由于A和V含有相同的风险源，我们只要用一单位多头V加单位空头A，就可以构成瞬态无风险组合：.由此我们有：由于风险源相互抵消，在短时间dt内只能获得无风险报酬，即：。这样我们就可得到V遵循的偏微分方程：这个方程的最终条件是，表示到期时的债务支付。由于当发行公司的价值达到 时公司将违约，故我们有边界条件。另外，由于利率已知，因此公司债券价值小于等于D的现值，这是另一个边界条件。这样就完成了模型的建立。在这里“破产”的债务没有任何收回是不切合实际的假设，而且它明显将影响到边界条件。暂时我们还无需为这一问题担忧。实际中它显然在是很重要的, 而且在模型中将债务收回率考虑在内也并不是太困难的事。 （二）随机利率的情况我们可以在上面的问题中引入一个利率模型使该模型变得更接近现实。总之，要不是存在着信用风险，我们又可以回到较简单的无风险债务定价问题上。我们并不打算在此纠缠于应选择怎样的利率模型问题上，而只是将其表示为： . 我们还仍然假定： . 在两个随机漫步之间存在着一个相关关系。现在假定债务的价值 V 是一个三个变量的函数，则我们有 V(A, r, t)。为了得到 V 应满足的方程，我们将一单位风险债券多头，加上单位价格为P(r,t)的无风险零息票债券空头和单位的空头A组成对冲组合:.根据伊藤引理，我们可以得到：选择，来消除 dr 项和dA，这样在短时间dt内只能获得无风险报酬，即：。这样我们就可得到V遵循的偏微分方程：这个方程的最终条件为， 表示到期时的债务支付。由于当发行公司的价值达到 时公司违约，我们有边界条件。另外，由于利率已知，因此公司债券价值小于等于D的现值，这是另一个边界条件。在公司价值和利率之间的相关关系为零时的这种特殊情况下，上述偏微分方程的解可写作如下形式： . （12.1）其中P(r,t;T)是与债务有相同到期期限的无风零息票债券。H(A,t)满足: 其边界条件为：。 所有的违约建模问题都变成关于 H 的问题。对这个模型的主要批评是它的变量和参数很难测度。然而，作为一种现象模型它则是有用的，也许可用来估计同一家企业的不同债务类型的相对价值, 或用来估计具有相同信用等级的不同企业债务的相对价值。 二、用可测的参数和变量建模 现在我们介绍一个用易于测度的量作为输入的模型。我们在这里将专注于利率为确定时的债务定价；因为只要在模型中增加复杂性和运算时间就可以很容易将其扩展成随机利率的模型。我们将对一个经营程序非常简单的公司的债务进行定价: 它出售自己的产品, 支付成本并将所有的利润存入银行。在这个模型中的关键量是公司的收入。这些收入被认为是公司从产品销售中获得的总收入。利润就是经营总收入扣除成本。假定公司的年总收入 E 是随机的 当然，我们不需要选择一个对数模型，但传统做法是从对数模型开始。： 。我们假定公司的年固定成本为 E* 。可变成本为 kE 。利润E - E* - kE = (1 - k)E - E* 存入银行赚取一个固定利率 r 。如果我们用 C 表示在银行账户中的现金，那么有： . 这个表达式表示的是公司的累积收入加上银行存款利息。求微分得到 C 应满足的随机微分方程: . 我们选择了对企业的收入建模，而不是对公司的价值建模，因为测度前者要容易得多，也许只需查看一下公司的账簿就行了。我们将看到这么做的结果是公司的价值变成了该模型的一个输出。任何时候公司经营状况的好坏将由它的收入和银行账户上的余额决定，也就是由 E 和 C 决定。公司股东当然希望(1- k)EE*，然而，即使不是这样（如在交易开始时），公司收入的增长也可能最终使公司盈利。假如公司有欠债 D 必须在时间 T 偿还。我们作一种简化假设：如果公司在时间 T 时银行账户上有 D ，那么它将会偿付债务。如果它在银行账户中的钱少于 D ，它将用银行账户中的所有款项来还款, 如果它在银行账户上的余额为负数就什么也不偿还。这使得偿还为： max(min(C, D), 0) (12.2) 如果我们将部分偿还或债务重组结合到模型中去将使该模型更复杂。 债务的价值是关于E, C 和 t 的一个函数。将量 V(E, C, t) 看作是(12.2)式中的期望值的现值。仍然通过伊藤引理和无套利定价法，我们可以求出dV遵循的偏微分方程：，其最终条件为V(E, C, T) = max(min(C, D), 0)。实际上，我们可以证明当 C 和 E 都很大时债务价值逼近无风险零息票债券的价值。将这一结论运用在对风险债务的定价上是非常有用: 借款的价值只是简单的 V(E，C，t)。而且，它只需经过简单的修改就能适应更复杂的公司。例如一种可能是公司一旦出现赤字就立刻关闭公司。这可用下列边界条件来加以建模： V(E, 0, t) = 0。通过改变最终条件和边界条件用上述模型来为公司估计以及考察不同商业策略对公司价值的影响就是一件非常容易的事情。举例来说, 假设我们将公司的价值取为在未来时间 在银行的预期现金的现值。 这样一种有限时间期限的假设是我们在估计潜在增长率快于利率的无限现金流之和的现值的时候通常采用的一种做法。 为了说明这种方法具有的灵活性，我们考虑对有限责任公司债务的估价和对无限责任的合伙公司债务的估价这两种不同问题时将采用的不同边界条件。 （一）有限责任公司 如果公司没有负债，当时间 T0 公司在银行中具有一个负的金额时，则 V(E,C,T0) = max(C, 0)。 （二）合伙企业 如果企业所有者对公司的负债负有无限偿还责任，则当CT）收到的本金为D，则从本章第二节的（12.3）可知，这种二个债券之间完全确定的关系是假设违约风险固定不变的结果，显然破坏了对交换期权的定价。对该合约定价的微妙之处就在于违约风险是随机的。通常对于信用衍生证券，像在这个例子中假设违约风险是不变的常数是不恰当的。因此对于第二层水平上的细化，较好的假设是利率由远期利率给定，而违约风险q则满足某个随机微分方程。这种方法将比前述方法对我们的合约更有意义。 在利率是常数的情况下，我们从本章第二节的分析可以得到风险债券价值遵循的偏微分方程是： (12.12) 同时 现在我们的交换期权回报的价值f(p,t)等于：。括号内的第一项是一个常数，因此这个问题看起来完全就像是一个零息票债券看跌期权的问题。当然，仍然存在着选择和的函数问题，但实务中经常采用的选择是便于我们得到明确解的函数。下一层水平的细化是假设利率和风险率两者都是随机的。从（12.9）可知V满足方程： (12.15) 然而，无风险债券是独立于违约风险的，所以我们有 F(r,t), 它与 q无关。风险债券则确实依赖于违约风险，因此是一个三个变量的函数 首先，我们运用下面式子求解基本标的债券： 然后,求解交换期权f(r,q,t)，它同样满足(12.15)式。同时，由于这个交换期权是一个二阶合约，因此其价格可能对模型相当敏感。 二、信用评级变动的支付 比简单的违约支付更敏感的是根据信用等级变化支付的衍生证券。我们将介绍对两种不同类型的这类合约的定价。在第一个例子中，如果合约到期时信用评级为某一信用等级时将存在一笔支付。在第二个例子中，到期前无论任何时候只要某一信用等级变成现实就将存在支付。假如一个债券发行者现在的信用评级是AAA级，而合约规定如果在某一确定日期发行者的信用评级降为AA级，则合约的持有人将获得一笔固定金额的支付。显然，要对该合约定价我们需要一个明确考虑信用等级变化的模型（参阅附录12.A）。让我们假设利率是不变的。用来解的方程为其中V表示对应于各种信用风险状态的债券价值的列向量，N表示常数矩阵，I表示单位矩阵。合约中如果信用等级是 AA就必须支付的规定必须被结合在边界条件中。由于除非发行者被评级为AA级,否则不存在支付，故边界条件是简单的 其中 是除了相应的信用等级为 AA 的元素是D外，其他元素为零的一个行向量。 在任何时刻信用等级被降为 AA 级都将触发支付的合约更具吸引力，但它的定价并没有因此就变得困难许多。 如果将这个合约看成类似于一个“敲入”障碍期权，显然这将有助于对其进行定价。在敲入障碍期权中，支付是由基本标的变量达到某一给定水平而触发的。我们的信用衍生证券也具有类似的情况，其中信用等级水平扮演