一条著名直线.doc

一条著名直线欧拉线三角形中除了有漂亮的九点圆外，还有一条比较著名的直线。1765年欧拉在一篇论文中证明了一个重要结论：三角形的外心、重心和垂心共线。后人把这条直线叫做“欧拉线”。如图，O、G、H分别是ABC的外心、重心、垂心，求证：O、G、H三点在同一条直线上。证法一：连中线AM（则G在AM上）、OH、AH。设OH与AM交于G，于是OMAH， OGMHGA。 。再连HC、HB，作MFCH，交BH于F，作FEHA交AB于E，连EO。 MFCH，M是BC的中点， F是HB的中点。 FEHA， E是AB的中点。 OEAB。 CHAB， OECH。 OMAHEF， 四边形EFMO是平行四边形。 EF=OM。 EF=AH， OM=AH。即。则。 G是ABC的重心，因而G与G重合。 O、G、H三点共线。证法二：作ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G。 BD是直径， BAD、BCD是直角。 ADAB，DCBC。 CHAB，AHBC， DACH，DCAH。 四边形ADCH是平行四边形， AH=DC。 M是BC的中点，O是BD的中点。 OM=DC。 OM=AH。 OMAH， OMG HAG。 。 G是ABC的重心。 G与G重合。 O、G、H三点在同一条直线上。 欧拉线有多种证明方法，有兴趣的读者不妨试一试，看能找出几种证明方法。我们提出欧拉线、证明欧拉线，并不单纯是为了向读者介绍有关知识，更重要的是想通过九点圆、欧拉线这些著名的内容的介绍，让读者了解前辈数学家善于观察事物、善于发现问题，更好的学习欧拉等著名数学家观察问题的仔细和发现规律的敏锐。【附录】一、【四心共线简介】三角形的外心、垂心、重心、九点圆心四点共线。证明：如图，ABC中，AD、BE是高。过BC边的中点G和AC边的中点H，分别作BC、AC和垂线交于O，则O为外心。设O为垂心，连OO，作GD的中垂线PF交OO于P。由于GOFPDO，所以P是OO的中点。同理，AC边上的中点H与垂足E之间的中垂线也交OO于中点P。故P为九点圆圆心。设G是ABC的重心，G在AG、BH的三分之二点处。连OG，并延长交AD于Q。取AG的中点L，AO的中点L，则ALLGGO。故LL=OG=GO。同理，OG的延长线与BE的交点R也具有此性质：LL=GR。故R与Q重合。重合点R（或Q）自然是AD与BE的交点，垂心O也是这两条线的交点，所以，R（或Q）与O重合。于是，O、G、P、O共线。二、【阿贝尔简介】阿贝尔（1802年1829年）英年早逝的挪威数学家，公认的椭圆函数论的两个奠基人之一。阿贝尔生在一个大家庭里，家里有七个兄弟姊妹，父亲是挪威芬杜小乡村的穷牧师。因为他们没有钱像其他人一样请家庭教师，小学教育基本上是由父亲负责的。在13岁时，他和哥哥被送到克里斯汀尼亚市的天主教学校读书，这所学校有一些奖学金可以给无法交学费的人。他在中学的最后一年，就开始考虑当时出名的数学难题一般五次代数方程的根式解问题。在教授们的资助下，阿贝尔到奥斯陆大学学习，仅用了一年的时间就取得了必须取得的初级学位，以后，他就可以自由研究他感兴趣的问题了。读大学时他发表了对一类积分方程有开创意义的论文，可是在当时却没有受到其他数学家的重视。1824年发表一般五次代数方程根式解不可能性的证明，宣告了三百年来人们追求的一般五次代数方程的根式解是不存在的，为了使更多人知道这一结果，这论文是用法文写的，为了减少印刷费用，他把结果紧缩成只有六页的小册子。他把这本小册子寄给外国的数学家，包括当时德国著名数学家高斯。可惜文章太简洁了，没有人能看懂。而高斯收到这小册子时觉得不可能用这么短的篇幅证明这个世界著名难题，于是连拿起刀来裁开信封看内容也懒得做，就把它搁在他的其他书堆里。阿贝尔的工作在当时就这样被人忽略了。阿贝尔在椭圆函数等数学的很多领域里都有出色的贡献，享誉世界的纯粹与应用数学杂志（亦称克雷勒杂志）前三期就登了阿贝尔22篇论文，今天数学领域中用阿贝尔命名的概念、函数、定理、方程、方法、公式等至少有十多个。可惜怀才不遇，贫病交加，27岁时死于肺痨。阿贝尔1826年秋曾用毕业时的一笔奖学金作旅费，亲自到巴黎将其论文论一类极广泛的超越函数的一般性质交法国科学院，可惜