数值积分和数值微分(2).pdf

第四章数值积分与数值微分 4 2 复合求积法 4 2 复合求积法 固定时而节点个数的长度较大当积分区间1 nba 直接使用Newton Cotes公式的余项将会较大 增加时即而如果增加节点个数1 n 公式的舍入误差又很难得到控制 为了提高公式的精度 又使算法简单易行 往往使用复合方法 分成若干个子区间即将积分区间 ba 然后在每个小区间上使用低阶Newton Cotes公式 最后将每个小区间上的积分的近似值相加 一 复合求积公式 等份分割为的积分区间将定积分nbadxxf b a nkkhaxk 1 0 L n ab h 各节点为 公式上使用在子区间CotesNewtonnkxx kk 1 1 0 1 L 节点为步长为等份分割为将 1 l h lxx kk 1 2 kkkkk x l lh x l h x l h xxL 记为121 k l l k l k l k k xxxxxL 1 k l x x Idxxf k k l i l i k l ikk xfCxx 0 1 求积公式阶的上作在CotesNewtonlxfxx kk 1 l i l i k l i xfCh 0 b a dxxf 1 0 1 n k x x k k dxxf 1 0 n k k l I 由积分的区间可加性 可得 1 00 n k l i l i k l i xfCh 复合求积公式 n I 可得复合梯形求积公式时 1 l n b a Tdxxf 1 0 1 0 1 n ki iki xfCh 1 0 1 2 1 n k kk xfxfh 2 2 1 1 n k kn bfxfaf n ab T 复合梯形公式 求积公式可得复合时Simpsonl 2 1 0 2 0 2 2 n ki i k i xfCh n b a Sdxxf 复合Simpson公式 复合抛物线公式 n b a Sdxxf 1 0 1 2 1 4 6 1 n k k k k xfxfxfh 2 4 6 1 1 1 0 2 1 bfxfxfaf n ab n k k n k k 求积公式可得复合时Cotesl 4 1 0 4 0 4 4 n ki i k i xfCh n b a Cdxxf 7 32 12 32 7 90 1 1 0 4 3 4 2 4 1 k n k kkk k xfxfxfxfxf h 7 14 32 12 32 7 90 1 1 1 0 4 3 4 2 4 1 bfxfxfxfxfaf n ab n k k n k kkk 复合Cotes公式 2 bfaf ab T 10 xx 2 1 0 xfaf h T 21 xx 2 1 h T 21 xfxf 32 xx 2 2 h T 32 xfxf 43 xx 2 3 h T 43 xfxf 12 nn xx 2 2 h T n 12 nn xfxf 1nn xx 2 1 h T n 1 bfxf n 2 h Tn af 2 1 xf 2 2 xf L 2 1n xf bf 复合梯形公式分解 2 4 6 bf ba faf ab S 10 xx 6 0 h S 4 1 2 1 0 xfxfaf 21 xx 6 1 h S 4 2 2 1 1 1 xfxfxf 1nn xx 6 1 h S n 4 2 1 1 1 bfxfxf n n 6 h Sn af 1 0 2 1 4 n k k xf 1 1 2 n k k xf bf 复合Simpson公式分解 例1 1 0 sin dx x x I计算定积分使用各种复合求积公式 解 为简单起见 依次使用8阶复合梯形公式 4阶 复合Simpson公式和2阶复合Cotes公式 可得各节点的值如右表 0 1 0 125 0 99739787 0 25 0 98961584 0 375 0 97672674 0 5 0 95885108 0 625 0 93615564 0 75 0 90885168 0 875 0 87719257 1 0 84147098 ii xfx 8 7 6 5 4 3 2 1 0 x x x x x x x x x Trapz 4 2 1 3 3 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 0 0 x x x x x x x x x Simp 2 4 3 1 2 1 1 4 1 1 1 4 3 0 2 1 0 4 1 0 0 x x x x x x x x x Cotes 复合求积 公式的程序 newtoncotes m 函数程序 func m 8 T 1 2 0 16 1 7 1 k k fxff 分别由复合Trapz Simpson Cotes公式有 94569086 0 4 S 1 2 4 0 24 1 3 1 3 0 2 1 fxfxff k k k k 94608331 0 2 C 1 7 14 32 12 32 0 7 180 1 1 1 1 0 4 3 4 2 4 1 fxfxfxfxff k k k kkk 94608307 0 8 T94569086 0 4 S 94608331 0 2 C94608307 0 原积分的精确值为 1 0 sin dx x x IL671839460830703 0 精度最高 精度次高 精度最低 比较三个 公式的结果 那么哪个复合求积公式的收敛最快呢 二 复合求积公式的余项和收敛的阶 我们知道 三个求积公式的余项分别为 TR 12 3 f ab SR 2 180 4 4 f abab CR 4 945 2 6 6 f abab 单纯的求积公式复合求积公式的每个小区间 12 2 k fh h 2180 4 4 k f hh 4945 2 6 6 k f hh 12 1 0 3 n k k f h 1 2 baCxf 设被积函数 则复合梯形公式的余项为 n TI 1 0 3 12 n k k f h max min 1 0 xf n f xf bxa n k k bxa 由于 使得由介值定理 ba 1 0 f n f n k k n TI 1 0 3 12 n k k n fnh 12 3 f nh 即有 12 2 n TR fh ab n TI 2 h TI n 1 0 3 12 n k k f h 又由 1 0 12 1 n k k hf 1 0 12 1 n k kk xf b a dxxf 12 1 12 1 afbf n h0 复合梯形公式的余项为足够大时因此当 n n TI 12 2 afbf h 12 1 2 afbfh 1 0 4 4 5 2180 n k k f h 2 4 baCxf 若被积函数 n SI 公式的余项为复合足够大时则Simpsonn 2180 4 4 f hab 2180 4 4 afbf h 1 0 6 6 7 4945 2 n k k f h 公式的余项同样可得复合若CotesbaCxf 3 6 n CI 4945 2 6 6 f hab 4945 2 5 5 6 6 afbf h 4945 2 5 5 6 afbf h 2180 1 4 afbf h n TI 12 1 2 afbfh n SI 2180 1 4 afbf h n CI 4945 2 5 5 6 afbf h 比较三种复合公式的的余项 的速度依次更快趋于定积分即ICST nnn 阶无穷小量 的分别是642h 为此介绍收敛阶的概念 2 ho 4 ho 6 ho 定义1 满足使其余项及若存在对于复合求积公式 nn IIcpI 00 c h II p n h 0 lim 阶收敛的是则称复合求积公式pIn p n hII 阶收敛的概念也等价于显然 p 不难知道 复合梯形 Simpson Cotes公式的收敛阶分别为 2阶 4阶和6阶 通常情况下 定积分的结果只要满足所要求的精度即可 精度越高越大分割的小区间数而积分区间 n Inba 运算量也很大太大但 n 但精度可能又达不到运算量虽较小太小 n 取多大值合理呢 那么n 三 复合求积公式步长的自动选取 复合梯形公式的余项为 n TI 12 2 afbf h 个时小区间数量增加到即将步长缩小一倍nhh2 2 1 1 n TI 2 12 2 1 afbf h 2 12 1 2 afbf h n n TI TI 2 4 1 因此有 nn TITI 2 44 3 1 22nnn TTTI 即 为的近似值的截断误差约作为因此IT n2 3 1 22nnn TTTI 为的近似值的截断误差约作为IS n2 15 1 22nnn SSSI 为的近似值的截断误差约作为IC n2 63 1 22nnn CCCI 依此类推 若预先给定的误差限为 有因此对一般的复合积分 n I 1 22nnn II p II pII nn 2 只要 n II 2 就有 的近似值即为满足要求的II n2 步长自动选取的步骤 11 1 1Iabhn计算 取 取不同的值 不同的方法 p 1 2 1 2 12212 II p Ihhn 和计算 取步长折半 否则停止计算若 2 II 1 2 1 4 2 24424 II p Ihhn 和计算 取步长折半 否则停止计算若 4 II 依此类推 k II 2 kssskif 6 24120 2 9 h ksssI 15 12 10IIabsd EPSdif 11 否则 5 21 1gotonnnIIkk hI 2 12 输出 停机 13 四 程序实例 程序名 Autosimpson m 命令格式 autosimpson fun a b eps 例2 用自适应Simpson公式计算下列定积分 并比较 1 0 2 dxeI x Li42 m 解 m n 8 trapz n 20 trapz n 50 trapz n 100 trapz n 4 simpson n 20 simpson n 4 cotes autosimp1e 4 autosimp1e 6 autosimp 1e 10 z 0 745865614845695 0 746670836939873 0 746799607189351 0 74681800146797 0 746826120527467 0 746824136005348 0 746824133229615 0 746826120527467 0