华中科技大学大学物理5章相对论.pdf

张雁滨张雁滨 第第5章章 狭义相对论狭义相对论 一一 第一篇第一篇 力学 爱因斯坦爱因斯坦 Einstein 1 4章 牛顿力学章 牛顿力学 基础 牛顿三定律基础 牛顿三定律 20世纪物理学发展到世纪物理学发展到 微观 高速领域微观 高速领域 相对论相对论 量子力学量子力学 牛顿力学牛顿力学 不适用不适用 物理学的基本概念物理学的基本概念 产生根本性的改变产生根本性的改变 相对论相对论 狭义相对论狭义相对论 广义相对论广义相对论 1 形成新的时空概念形成新的时空概念 爱因斯坦时空观爱因斯坦时空观 狭义相对论狭义相对论 1905 时间 空间与运动的关系 时间 空间与运动的关系 广义相对论广义相对论 1915 16 时间 空间与引力的关系 时间 空间与引力的关系 一 伽利略相对性原理和伽利略变换一 伽利略相对性原理和伽利略变换 Principle of relativity Galilean transformation v c oo x yy v OP r PO r OO r OOPOOP rrr 1 伽利略坐标变换伽利略坐标变换 x x vt 或或 x x vt y y z z t t 1 位移 位移 2 速度 速度 vuu oppo 牵连牵连相对相对绝对绝对 vuu 即 即 3 加速度 加速度 牵连牵连相对相对绝对绝对 aaa vu dt d u dt d oppo 若若v 常数 则常数 则a牵连 牵连 0 相对相对绝对绝对 aa 伽利略速度相加定律伽利略速度相加定律长度测量的绝对性长度测量的绝对性 时间测量的绝对性时间测量的绝对性 3 动画动画 第五章第五章 狭义相对论狭义相对论Special Relativity 动画动画 二 爱因斯坦相对性原理和光速不变二 爱因斯坦相对性原理和光速不变 狭义相对论基本原理狭义相对论基本原理 牛顿时空观在高速运动领域不成立牛顿时空观在高速运动领域不成立 按伽利略的速度叠加按伽利略的速度叠加 c c v c与参照系无关与参照系无关 真空中的光速真空中的光速 c 2 99 108 m s 00 1 相矛盾相矛盾 两个参照系相对运动的速度两个参照系相对运动的速度 v c 且且 v 常数常数 时 时 v SS 0 8 85 10 12 0 4 10 7 5 电磁场方程组不服从伽利略变换电磁场方程组不服从伽利略变换 光速光速c在哪个参在哪个参 考系中测的考系中测的 提出问题 提出问题 伽利略变换正确 电磁规律不符合力学相对性原理伽利略变换正确 电磁规律不符合力学相对性原理 电磁学基本规律符合相对性原理 伽利略变换要修正 电磁学基本规律符合相对性原理 伽利略变换要修正 vcu 迈克尔逊迈克尔逊 莫雷实验莫雷实验 结结 论论 1 以太不存在 光的传播不需任何媒质 可在真空中以太不存在 光的传播不需任何媒质 可在真空中 传播 以太不能作绝对参照系 传播 以太不能作绝对参照系 2 地球上各方向光速相同 与地球运动状态无关 地球上各方向光速相同 与地球运动状态无关 迈克尔逊干涉仪由于可进迈克尔逊干涉仪由于可进 行精密测量 行精密测量 1907年迈克尔逊年迈克尔逊 获诺贝尔物理学奖 获诺贝尔物理学奖 迈克尔逊迈克尔逊 莫雷实验莫雷实验 1907 5b 1 一切物理规律在任何惯性系中形式相同 一切物理规律在任何惯性系中形式相同 相对性原理相对性原理 2 光在真空中的速度与发射体的运动状态无关光在真空中的速度与发射体的运动状态无关 光速不变原理光速不变原理 爱因斯坦的两个基本假设爱因斯坦的两个基本假设 1 爱因斯坦相对性原理爱因斯坦相对性原理 物理规律对所有惯性系都是一样 物理规律对所有惯性系都是一样 1905 年年 26 岁的爱因斯坦在岁的爱因斯坦在 论论 动体的电动力学动体的电动力学 一文中作了回答 一文中作了回答 伽利略变换要修正 伽利略变换要修正 6 推广到一切推广到一切 自然规律自然规律 S M A B S u S 爱因斯坦火车爱因斯坦火车 S 地面参考系地面参考系 光速不变原理的直接结果光速不变原理的直接结果 以爱因斯坦火车为例说明以爱因斯坦火车为例说明 在任何惯性系中光在真空中的速率都相等 在任何惯性系中光在真空中的速率都相等 2 光速不变原理光速不变原理 惯性系 凡是相对惯性系作匀速直线运动的参照系惯性系 凡是相对惯性系作匀速直线运动的参照系 例 太阳系 地球例 太阳系 地球 3 由光速不变原理得出的有关结论由光速不变原理得出的有关结论 7 1 同时性的相对性 同时性的相对性 relativity of simultaneity 在火车上 在火车上 A B 分别分别 放置信号接收器 中点放置信号接收器 中点M 放置光信号发生器 放置光信号发生器 对对S 系系 事件事件1 事件 事件2 同时发生 同时发生 在在S 系系 M 处闪光 光速为处闪光 光速为c 所以 所以 A B 同时接收到同时接收到 光信号光信号 S S M A B u M 处闪光处闪光 光速也为光速也为c S 系中的观察者又如何呢 系中的观察者又如何呢 A B 随随S 运动 运动 A 迎着光 应比迎着光 应比 B 早接收到光 早接收到光 对对S系 事件系 事件1 事件 事件2 不同时发生 事件不同时发生 事件1先发生 先发生 MBMA 8 在在 t t 0M 发一光信号发一光信号 事件事件1 A 接收到闪光接收到闪光 事件事件2 B 接收到闪光接收到闪光 研究的问题 研究的问题 两事件发生两事件发生 的时间间隔的时间间隔 S S 动画动画 动画动画 动画动画 动画动画 结论 结论 a 沿两惯性系相对运动方向发生的两个事件 在其中 沿两惯性系相对运动方向发生的两个事件 在其中 一个惯性系中表现同时 而在另一惯性系中观察总一个惯性系中表现同时 而在另一惯性系中观察总 是在前一惯性系运动的后方那一事件先发生 是在前一惯性系运动的后方那一事件先发生 b 对不同参照系 同样两事件之间的时间间隔是不 对不同参照系 同样两事件之间的时间间隔是不 同的 同的 即 时间测量是相对的 并且与相对运动即 时间测量是相对的 并且与相对运动 速度有关 速度有关 S 系系相对相对S系的速度越大 在系的速度越大 在S系测两系测两 事件的时间间隔就越长 事件的时间间隔就越长 相对论效应之一 同时性的相对性相对论效应之一 同时性的相对性 9 1 同时性的相对性是光速不变原理的直接结果 同时性的相对性是光速不变原理的直接结果 2 相对效应 相对效应 3 当速度远远小于 当速度远远小于 c 时 两个惯性系结果相同 时 两个惯性系结果相同 讨讨 论论 动画动画 2 时间膨胀 时间膨胀 time dilation 运动的时钟变慢 运动的时钟变慢 设设S 系中 系中 A 点点有一闪光光源 在有一闪光光源 在Y 轴放一反射镜轴放一反射镜 YY A d 在在S 系看系看 C 两事件时间间隔 两事件时间间隔 YY d CC LL X X X X 在在S系看系看 c d t 2 2 1 22 cv cd c L t 2 2 2tvdL tt 显然显然 10 动画动画 动画动画 动画动画 影片影片 动画动画 结论 结论 在在S 系同一地点发生的两个事件的时间间隔系同一地点发生的两个事件的时间间隔 在在S系测同样两事件的时间间隔总是要长一些系测同样两事件的时间间隔总是要长一些 t tt 定义 在某一参照系同一地点先后发生的两个事件之间定义 在某一参照系同一地点先后发生的两个事件之间 的时间间隔叫作的时间间隔叫作原时原时 Proper time 22 1 1 2 c v t c v c d t 显然 显然 t 为原时 为原时 原时最短原时最短 相对论效应之二 时间膨胀效应 时钟延缓 相对论效应之二 时间膨胀效应 时钟延缓 11 动画动画 运动的时钟变慢运动的时钟变慢 动画动画 考虑时间膨胀效应 考虑时间膨胀效应 99 01 105 2 1 8 2 cv t t 则则 mtvL6 52108 110399 0 78 例例1 带正电的带正电的 介子是一种不稳定的粒子 当它静止时 介子是一种不稳定的粒子 当它静止时 平均寿命平均寿命 t 2 5 10 8s 然后衰变为一个 然后衰变为一个 介子和一个介子和一个 中微子 在实验室产生一束中微子 在实验室产生一束v 0 99c的的 介子 并测得介子 并测得 它在衰变之前通过的平均距离为它在衰变之前通过的平均距离为52m 这些测量结果 这些测量结果 说明什么 说明什么 解 若不考虑相对论效应解 若不考虑相对论效应 2 5 10 8stt 它在实验室走过的距离为 它在实验室走过的距离为 mtvL4 7105 210399 0 88 洞中方一日 世上已千年 洞中方一日 世上已千年 12 1 8 10 7s 例例6 5 一宇宙飞船以一宇宙飞船以v 9 103的速率相对地面匀速飞行 的速率相对地面匀速飞行 飞船上的钟走了飞船上的钟走了5s 地面上的钟测量经过了多少时间 地面上的钟测量经过了多少时间 解 解 原时原时st5 2 1cv t t 所以 当所以 当v c 时时 与参照系无关与参照系无关tt tt 则则 13 2 8 3 103 109 1 5 s 0000000025 飞船的时间膨胀效应飞船的时间膨胀效应 实际上很难测出实际上很难测出 3 运动的尺变短 运动的尺变短 length contraction 例如 在地面测正在以速度例如 在地面测正在以速度v行驶的汽车的长度 行驶的汽车的长度 L A B x1x x yy OO 垂直运动方向不受影响 垂直运动方向不受影响 y y Z Z 在在S 系测车的长度为 系测车的长度为 L 在在S系测量 系测量 t时刻 时刻 B 经过经过x1点 点 t t 时刻 时刻 A 经过经过x1点 点 B 经过经过x2 x1 v t 点点 v L t 在在S 系看 系看 x1点走过的距离为点走过的距离为L 所用时间 所用时间 而 而 2 1cv t t 2 1cvtt 车的长度 车的长度 L v t v L 2 1cvt 2 1cv v t 原时原时车的长度 车的长度 L x2 x1 v t L 14 动画动画 动画动画 收缩因子收缩因子 动画动画 结论 结论 相对某一参照系静止的棒长度为相对某一参照系静止的棒长度为L 在另一参照系在另一参照系 看要短一些即 看要短一些即 L L 定义 定义 物体相对参照系静止时 测得物体的长度为物体相对参照系静止时 测得物体的长度为原长 原长 显然 显然 原长最长 原长最长 相对论效应之三 运动的尺度缩短效应 相对论效应之三 运动的尺度缩短效应 例例 介子寿命为介子寿命为2 5 10 8s 以以v 0 99c的速度相对实验室的速度相对实验室 直线运动 求在实验室直线运动 求在实验室 介子运动的距离 介子运动的距离 解解 实验室是实验室是S系 要测系 要测L L相对相对S是静止的是静止的 2 1 c v 实验室 实验室 S系 看 系 看 L L 实验室以速度实验室以速度v离它而去 远离的距离为离它而去 远离的距离为 L v t 2 5 0 99c 7 4m L 52 5m 15 在在 介子 介子 S 系 看 系 看 影片影片 例例 S系与系与S 系是坐标轴相互平行的两个惯性系 系是坐标轴相互平行的两个惯性系 S 系相系相 对对S系沿系沿x轴正向匀速运动 一根刚性尺静止在轴正向匀速运动 一根刚性尺静止在S 系中系中 与与x 轴成轴成30o角 今在角 今在S系中观察得该尺与系中观察得该尺与x轴成轴成45o角 角 则则S 系相对系相对S系的速度是多少 系的速度是多少 解 解 在在S系 系 x y tg 45 2 1 c v xx 在在S 系 系 x y 30tg cv 3 2 解得 解得 16 v SS x x y y 在在x方向长度缩短方向长度缩短 2 145 c v tg o 2 1 c v x y yy 例例 5m长的宇宙飞船 以长的宇宙飞船 以v 9 103m s相对地面飞行 在相对地面飞行 在 地面上测其长度为 地面上测其长度为 m c v LL999999998 4 1 2 可见 可见 L L 即 当 即 当v c又回到牛顿时空观 又回到牛顿时空观 差别很难测出 差别很难测出 解 已知原长解 已知原长 L 5m 17 原长最长原长最长 原时最短原时最短 光速不变原理得到结论光速不变原理得到结论 同时性的相对性同时性的相对性 运动的时钟变慢运动的时钟变慢 运动的尺子缩短运动的尺子缩短 00 t t 2 1 cv t t 2 1 cv LL 显然这些结论显然这些结论 与牛顿时空及伽利与牛顿时空及伽利 略变换相矛盾 略变换相矛盾 爱因斯坦时空观爱因斯坦时空观 1 爱因斯坦相对性原理爱因斯坦相对性原理 2 光速不变原理光速不变原理 18 原长一定是物体原长一定是物体相对某参照系静止时相对某参照系静止时两端的空间间隔 两端的空间间隔 原时一定是在某坐标系中原时一定是在某坐标系中同一地点同一地点发生的两个事发生的两个事 件的时间间隔 件的时间间隔 注意 注意 观念上的变革观念上的变革 牛顿力学牛顿力学 速度与参考系有关速度与参考系有关 伽利略变换伽利略变换 时间标度时间标度 长度标度长度标度 质量的测量质量的测量 与与 参参 考考 系系 无无 关关 狭义相对狭义相对 论力学论力学 长度 时间测量长度 时间测量 的相对性的相对性 光速不变光速不变 光速不变与伽利略变换矛盾光速不变与伽利略变换矛盾 19 狭义相对论狭义相对论 洛仑兹变换洛仑兹变换 x o oox S 系中系中 P点发生的事件在两系中的时点发生的事件在两系中的时 空坐标分别为 空坐标分别为 t z y x t z y x 2 2 1 c v xvtx t v c v xx 2 2 1 2 2 1 c v vtx x 消去消去x 可得可得洛仑兹变换洛仑兹变换 2 2 2 1 c v x c v t t P o o y x x y v S S 2 ooox x S 系中系中 x x 设设S 系相对系相对S系沿系沿x轴以速度轴以速度 v 运动运动 t t 0 时时 o o 重合重合 且在此发出闪光 且在此发出闪光 三 三 洛仑兹变换洛仑兹变换Lorentz transformation 1 坐标变换坐标变换 一种推导方法一种推导方法 vtx x x c v t t 2 yy zz vtxx yy zz tt 当当 v c 时时 伽利略变换伽利略变换 令令 c v 2 1 1 vtx dt d dt xd vuu 绝绝相相牵牵 相对论因子相对论因子 放大放大 讨论讨论 2 2 2 1 1 cv c v xt t cv vtx x 则有 则有 正正 变变 换换 3 显然显然 v c 时 洛仑兹变换时 洛仑兹变换 伽利略变换 伽利略变换 1 zz yy 0 1 伽利略变换只是洛仑兹变换伽利略变换只是洛仑兹变换 的一个近似 的一个近似 3 c是一切实物运动速度的极限 是一切实物运动速度的极限 如 如 0 t 2 1 c v x x 则必须 则必须 v x 1 则则 t2 t1 A先 先 B后 后 6 同时发生同时发生 b 若在 若在S 系中 系中 A B 同地发生同地发生 但不同时但不同时 即 即 x 2 x 1 t 2 t 1 在在S系看系看 2 2 12 11cv t cv tt t 原时最短原时最短 t 运动时钟变慢运动时钟变慢 c 在 在S 系中 若系中 若t 2 t 1 则则A 事件先于事件先于B 事件发生事件发生 对对 不同的不同的 x 2 x 1 经过坐标变换后 在经过坐标变换后 在S系可得 系可得 t2 t1 0 A先于先于B 0 A与与B同时发生同时发生 0 A比比B后发生后发生 例例 d 自然界的 因果律 在相对论中不会颠倒 自然界的 因果律 在相对论中不会颠倒 从从事件事件A事件事件B 传递一种 传递一种 作用作用 或 或 信号信号 传递的时间 传递的时间 t t2 t1 距离 距离 x x2 x1 传递的速度 传递的速度 u x t t 7 2 12 2 12 1cv xx c v tt t 例 一高速列车例 一高速列车v 0 6c 沿平直轨道运动 车上 沿平直轨道运动 车上A B两两 人相距人相距L 10m B在车前 在车前 A在车后 当列车通过一站台在车后 当列车通过一站台 时突然发生枪战事件 站台上的人看到时突然发生枪战事件 站台上的人看到A先向先向B开枪 过开枪 过 12 5ns B才向才向A开枪 站台上的人作证 枪战是开枪 站台上的人作证 枪战是A挑起 挑起 若你是乘客若你是乘客 看见的情况如何 看见的情况如何 2 2 1cv x c v t t s x c v cvtt 8 2 2 101 AB 注注 为什么不直接用 为什么不直接用 2 2 1cv x c v t t 解 站台解 站台S系 车系 车S 系系 已知已知 t 12 5ns x 10m 0 10m 8 车上车上 S 系系 看看 B 先先A后后 2 12 2 12 1cv xx c v tt t 动画动画 2 2 1 c v x c v t t 换在另一系中来看 换在另一系中来看 结论 因果律在惯性系是绝对的结论 因果律在惯性系是绝对的 2 2 1 1 c v u c v t t 即 即 9 1 2 c v u 2 2 1 1 c v t x c v t 信号的速度 信号的速度 u x t c 2 2 1 1 c v u c v t 例 北京和武汉相距例 北京和武汉相距1000km 在某时刻同时从两地各 在某时刻同时从两地各 开出一列火车 现有一飞船沿北京到武汉的方向在高开出一列火车 现有一飞船沿北京到武汉的方向在高 空掠过 速率恒为空掠过 速率恒为u 9km s 求宇航员测得的两列火车 求宇航员测得的两列火车 开出时刻的间隔 哪一列先开 开出时刻的间隔 哪一列先开 解 取坐标系如图所示解 取坐标系如图所示 x1 t1x2 t2 北京北京武汉武汉 S x S x 对对S系 系 mxxx 6 12 10 0 12 ttt 2 2 1 c v x c v t t u s ttt 7 283 6163 12 10 1031091 10109109 对对S 系系 飞船飞船 从武汉发车的时刻比从北京早从武汉发车的时刻比从北京早10 7秒 秒 10 四 洛仑兹速度变换四 洛仑兹速度变换 S系系 dtdzu dtdyu dtdxu z y x t dzdu t dydu t dxdu z y x S 系系 2 1cv vtx x 2 1 c v vdtdx t d xd 2 1cv vu u x x 根据 根据 得 得 dt t d dt xd t d dt dt xd t d xd ux dt dx c v v dt dx 2 1 x x u c v vu 2 1 11 cvu dt t d x 2 1 x c v t t vtxx 2 2 1cvu vu u x x x dt t d dt dy t d dt dt yd t d yd uy 同理 同理 2 2 1 1 cv cvu u u x y y 2 2 1 1 cv cvu u u x z z dt t d dt dz t d zd uz 洛 仑 兹 速 度 变 换 洛 仑 兹 速 度 变 换 注 注 yy u dt dy t d yd u 讨论 讨论 1 若 若v c 则 则 vuu xx yy uu zz uu vuu 伽利略速度变换伽利略速度变换 2 若一束光沿 若一束光沿S 系的系的x 轴传播轴传播ux cuy 0 uz 0 在在S 系看系看 c c v vc u c v vu u x x x 11 2 0 yy uu 0 zz uu 12 u x cu y 0 u z 0 即即 u c 从从S 系变换系变换S系的速度系的速度 2 2 1 1 cv u c v u u x z z 2 2 1 1 cv u c v u u x y y x x x u c v vu u 2 1 x x x u c v vu u 2 1 2 2 1 1 cv u c v u u x y y 2 2 1 1 cv u c v u u x z z 13 带撇的量与不带撇的量互换 带撇的量与不带撇的量互换 v 换成换成 v 得速度的逆变换得速度的逆变换 1 确定两个作相对运动的惯性参照系 确定两个作相对运动的惯性参照系 2 确定所讨论的两个事件 确定所讨论的两个事件 3 表示两个事件分别在两个参照系中的时空坐 表示两个事件分别在两个参照系中的时空坐 标或其时空间隔 标或其时空间隔 4 用洛仑兹变换讨论 用洛仑兹变换讨论 原时 在某坐标系中同一地点发生的两个事件的原时 在某坐标系中同一地点发生的两个事件的 时间间隔 时间间隔 14 在狭义相对论中讨论运动学问题的思路如下在狭义相对论中讨论运动学问题的思路如下 注意概念注意概念 原长 物体相对某参照系静止时两端的空间间隔 原长 物体相对某参照系静止时两端的空间间隔 x1 t1x2 t2 12 S x S x 例 在例 在S系中两个事件同时发生在系中两个事件同时发生在x轴上 其间隔距离轴上 其间隔距离 是是1m 在在S 系中观察这两个事件之间的空间距离是系中观察这两个事件之间的空间距离是2m 求在求在S 系中这两个事件的时间间隔 系中这两个事件的时间间隔 解 确定坐标系如图解 确定坐标系如图 确定所讨论的两个事件确定所讨论的两个事件 对对S系 系 mxxx1 12 0 12 ttt 对对S 系 系 mxxx2 12 求求 t 2 2 1 c v x c v t t 2 1 c v tvx x 22 1 c v c v t 2 1 1 2 c v 2 3c v s c t 9 10775 3 15 0 9c 例例 在地面测到两个飞船分别以在地面测到两个飞船分别以0 9c和和 0 9c的速度向相的速度向相 反方向飞行反方向飞行 求其中一飞船看另一飞船的速度是多少 求其中一飞船看另一飞船的速度是多少 甲甲乙乙 x y x y 0 0 9c解 设解 设S系静止在乙飞船上系静止在乙飞船上 S 系静止在地面上系静止在地面上 S 系系 地地 相对相对S系系 乙船乙船 的速度 的速度 v 0 9c 甲船相对甲船相对S 系系 地地 的速度 的速度 u x 0 9c 甲船相对甲船相对S系 乙船 的速度 系 乙船 的速度 x x x u c v vu u 2 1 c 相对论结论 相对论结论 v c m为虚数为虚数无意义无意义 u 0 m m0 2 0 1 1 cu mm 5 2 u c 则则m m0 牛顿力学 牛顿力学 例 例 u 104m s 102 0 0 10 2 1 c u m mm 但是 当电子但是 当电子u 0 98c时 时 m 5 03m0 c 物体的速率极限物体的速率极限 注 注 1 u v 同种粒子同种粒子u不同 则质量不同不同 则质量不同 u m 2 相对论动量 相对论动量 u cu m umP 2 0 1 匀速运动匀速运动 m 常量 常量 变速运动变速运动 m m v m t 3 相对论动能相对论动能 牛顿定律 牛顿定律 vm dt d dt Pd F 动能定理 动能定理 Ek F S 或或 rdFEk 若物体从静止状态 到速度增加到若物体从静止状态 到速度增加到v 则 则 rd dt vmd rdFE v k 0 dmvmdvdmvmvdvvmdv 222 2 1 2 0 1cv m m mvdvdmvdmc 22 v dmc 0 22 0 2 cmmc v cv m vmP 2 0 1 6 22 0 222 cm vc m 0222 222 vdvmdmmvdmmc 两边取微分两边取微分 两边取平方两边取平方 v vmdv 0 讨论 讨论 1 若 若v c 2 0 1 1 cv mm 2 2 1 2 2 1 1 1 c v c v 1 1 1 2 2 0 2 0 2 cv cmcmmcEk 22 0 2 1 c v cm 2 2 1 mv 2 从 从 2 0 2 2 0 2 0 2 1 cm cv cm cmmcEk 得 得 2 2 2 22 1 Ecm cm cv ko o 在外力在外力F作功增大时 作功增大时 v增大 无论增大 无论Ek增到多大增到多大 v 2m0 9 2 mcE 2 00 cmE 爱因斯坦 爱因斯坦 就一个粒子来说 若由于自身内部过程使它的能量就一个粒子来说 若由于自身内部过程使它的能量 减少了 那么它的静止质量也将相应地减少 减少了 那么它的静止质量也将相应地减少 例 在核反应中 反应前例 在核反应中 反应前 m01Ek1 反应后反应后 m02Ek2 反应前后能量守恒反应前后能量守恒 则 则 EK2 m02c2 Ek1 m01c2 即 即 Ek2 Ek1 m01 m02 c2 0201 mmm 质量亏损质量亏损 12kkk EEE 释放的能量释放的能量 2 0c mE 通常记作 通常记作 10 例例 在一种核聚变反应中 在一种核聚变反应中 nHeHH 1 0 4 2 3 1 2 1 已知各原子核的静止质量 氘已知各原子核的静止质量 氘 mD 3 3437 10 27kg 氚氚 mT 5 00 10 27kg 氦 氦 mHe 6 64 10 27kg 中子中子 mn 1 67 10 27kg 求这一反应释放的能量 求这一反应释放的能量 解 反应前后质量的改变为解 反应前后质量的改变为 相应释放的能量相应释放的能量 kg mmmmm nHeTD 27 0 1003110 J cmE 1216272 0 1079921091003110 1kg这种核燃料所释放的能量为这种核燃料所释放的能量为 1 TD kg J mm E 14 27 12 10353 1034868 107992 11 讨讨 论论 5 相对论的能量与动量的关系相对论的能量与动量的关系 从从 E mc2 P mv 及及 2 0 1 c v m m 可得 可得 E2 P2c2 m02c4 E m0c2 Pc 代入能量与动量的关系则有 代入能量与动量的关系则有 展开展开 Ek2 2Ekm0c2 P2c2 当当v c时时 1 1 1 2 2 0 cv cmEk 2Ekm0c2 P2c2 2 0 2 2 1 2 mv m P Ek m0c2 12 由由 Ek mc2 m0c2 对动能为对动能为Ek的粒子 的粒子 E Ek m0c2 Ek m0c2 2 P2c2 m02c4 略去无限小的略去无限小的Ek2 回到牛顿回到牛顿 13双生子双生子佯谬佯谬 动画动画 设地球与一星球相距设地球与一星球相距8光年光年 飞船以飞船以v 4c 5 的的 速度从地球速度从地球 星星球球 当飞船对准地球的时刻当飞船对准地球的时刻 地球地球 上的钟与飞船上的钟均对准上的钟与飞船上的钟均对准 且且 t t 0 去星球所花的时间去星球所花的时间 1 地上观察者看钟 地上观察者看钟 S系系 1 地球上的钟 地球上的钟 8光年光年 地地 星球星球 S S y c c v x t10 54 8 y cv x c v t t6 1 2 2 结论 飞船上的人年轻 结论 飞船上的人年轻 2 飞船的钟 飞船的钟 14 地球看飞船的钟地球看飞船的钟 飞船的