[本周教学目标]正确理解利用导数判断函数的单调性的原....doc

本周教学目标正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握用求导数判定函数单调性的方法；理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法，提高应用知识解决实际问题的能力。本周教学重点利用导数判断函数单调性；函数极值与最值的区别与联系。本周教学难点利用导数判断函数单调性时有关字母讨论的问题；有关函数最值的实际应用问题的学习。本周教学过程一导数与函数的单调性一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x)在这个区间上为增函数：如果在这个区间内0解得：x2或x1。故函数f(x)的单调递增区间是(-，1)，(2，+)。例2.求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值。解： =3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)令 =0解得：x1=-1，x2=3。由于x0；-1x3时， 3时 0。f(x)极大值=f(-1)=10；f(x)极小值=f(3)=-22。例3.(2004湖南12)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)=0，则不等式f(x)g(x)0的解集是( )(A)(-3，0)(3，+) (B)(-3,0)(0，3)(C)(-，-3)(3，+) (D)(-，-3)(0,3)分析：令F(x)=f(x)g(x)，则F(x)为奇函数，且F(3)=f(-3)=0由于x0，所以F(x)为(-，0)上的单调递增函数，由对称性，F(x)在(0，+)上也单调递增，故选D。例4.(2004浙江11)设 是函数f(x)的导函数，y= 的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是( )分析：观察y= 的图象，当x(0，2)时， 0，f(x)单调递增，故选C。例5.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值。(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。解：(1) =3ax2+2bx-3，依题意，f(1)=f(-1)=0，即 解得a=1，b=0f(x)=x3-3x, f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)令 =0，得x=-1,x=1。若x(-，-1)(1，+)，则 0，故f(x)在(-，-1)上是增函数，f(x)在(1，+)上增函数。若x(-1,1)，则 0，故f(x)在(-1,1)上是减函数。所以，f(-1)=2是极大值；f(1)=-2是极小值。(2)曲线方程为y=x3-3x，点A(0，16)不在曲线上。设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足 .因 注意到点A(0,16)在切线上，有 化简得 所以，切点为M(-2，-2)，切线方程为9x-y+16=0。例6.已知aR，求函数f(x)=x2eax的单调区间。解： =2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax。()当a=0时，若x0，则 0，则 0所以当a=0时，函数f(x)在区间(-，0)内为减函数，在区间(0，+)内为增函数。()当a0时，由2x+ax20，解得 由2x+ax20时，函数f(x)在区间 内为增函数，在区间 内为减函数，在区间(0，+)内为增函数；()当a0，解得 由2x+ax20，解得 所以当a0，求函数 解： 当a0，x0时，令 0，则 (1)当=4-4a1时，f(x)在(0，+)上单调递增；(2)当=4-4a=0即a=1时，f(x)在(0，+)上单调递增；(3)当=4-4a0即0a1时，解得 故 上单调递增，在 上单调递减。例8.如图，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形的最大面积。解：设B(x,0)(0x2)，列出关系式：S矩形ABCD(x)=(4-2x)(4x-x2)S(x)=(4-2x)(4x-x2)=6x2-24x+16令S(x)=0，得 x1(0,2) 例9.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx()求函数f(x)的最大值；()设0ab，证明 解：()函数f(x)的定义域为(-1，+) 令f(x)=0，解得x=0当-1x0，当x0时，f(x)0 又f(0)=0故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值为0。()证法一： 由()结论知ln(1+x)-x-1，且x0)，由题设 所以 又 综上 证法二：g(x)=xlnx，g(x)=lnx+1设 则 当0xa时，F(x)a时，F(x)0，因此F(x)在(a，+)上为增函数。从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)。因此F (a)=0，ba，所以F(b)0，即 设G(x)=F(x)-(x-a)ln2，则 当x0时，G(x)a。所以G(b)b0)的长轴为AB，以AB为底边作椭圆的内接等腰梯形ABCD，求此等腰梯形面积的最大值。11.已知函数 ，求f(x)的极大值与极小值。参考答案：1-4：D C A A 5.(-，-2)与(0，+)6. 7.a=-3，b=-24，f(-2)为极大值，f(4)极小值8.