高等数学中的数形结合.doc

浅谈高等数学中的数形结合思想数学系 数学与应用数学专业04090135 李彪 指导老师 毛旭华摘要 在高等数学学习中运用数形结合，能使抽象的问题直观、简单、明了，使学习轻松有趣。文章从概念、定理的理解以及解题等方面归纳总结了数形结合思想在高等数学中的应用。关键词 数形结合；图形思维；几何直观；形象思维1. 引 言数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。根据数学的这一定义，我们可以说数学是研究“数”与“形”的科学，“数”就是抽象的数学语言，而“形”就是直观的图像语言。“数”与“形”是一对矛盾，是数学自始至终就一直存在的一对矛盾，它们各有自己的侧重面，数形结合思想的就是充分利用数与形的结合来学习，考查及研究数学一种思想，由此我们可以看出数形结合思想是重要的数学思想之一。数就是抽象的数学语言，有着逻辑，严谨的个性，一般较为抽象，难懂。而形就是图像语言，直观，形象，一般是较为简单易懂。著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉,形少数时难入微”。从这句话中，我们可以体味到数形这一对矛盾的对立双方是缺一不可的。高等数学是一门高度抽象的学科，在知识的广度和深度上，在思维能力上，都有极高的要求。数形结合思想在学习高等数学过程中解决这些问题上有着重要的作用，首先数形结合思想能培养各方面的思维能力，包括形象思维和逻辑思维。深化对数学概念的理解，提高解题速度和效率，数与形的结合增加数学的实用意义，数与形的巧妙而和谐地结合，增强解题中的求简意识，而且在学习高等数学大量的抽象复杂的数学语言之余，图形的简单而新奇的方法给学习带来了不少乐趣，可增强我们学习的自信心，促使我们更加努力学习。本文就数形结合思想在高等数学中就对概念的理解，对定理的掌握及证明，以及对解题的作用作一次探讨，谈谈高等数学中的一些数形结合思想的应用。2. 利用数形结合深化对概念的理解利用数形结合便于对概念的理解。与空间形式巧妙而和谐地结合起来，可增强解题中的求简意识，根据问题的条件与结论的内在联系，既分析数式特征，又揭示几何意义，使数量关图学数学应加强数形结合能力的培养。任何知识的产生和发展都来源于对实践的感性认识，在对数学的认识过程中，更是如此。通过数形结合提高对数学知识的认知能力。数学中的很多知识体系都与形象直观的几何图形有关。故利用数形结合直觉体验知识的发展经历，能加深对概念的认识、理解，深入理解数学知识的内涵和外延，并提高解决问题的能力和自主学习能力。2.1 数形结合对概率论中概念的理解作用维恩图能够清晰、准确生动地说明AB，AB， 等问题。在概率论中事件也可以用集合来表示，如果我们结合维恩图来理解事件之间的关系，利用维恩图来计算事件发生的概率，比用公式进行推导、计算要简单、直观的多，且不容易出错。来看一个维恩图表示的条件概率的例子。定义：设A与B是样本空间中的两事件，若P(B)0,则称P(A|B)=为“在B发生下A的条件概率”，简称条件概率。为此我们画出一个图，设样本空间中含有25个等可能的样本点，事件A含有15个样本点，事件B含有7个样本点，交事件AB含有5个样本点，如图1所示：图1这时有P(A)，P(B)，P(AB).则在事件B发生的条件下A的条件概率为P(A|B)=.此结果也可以如此考虑：事件B发生，表明事件不可能发生，因此中的18个样本点可以不予考虑，此时B中7个样本点中属于A的只有5个，所以P(A|B) .这意味着，在计算条件概率P(A|B)时样本空间缩小为B.类似地P(B|A).它也可以作如上解释。上面的公式比较复杂，如果要证明，也比较麻烦，如果死记也比较难以记住，但是如果能够结合图来理解记忆它，就一目了然，容易记得清楚、记得牢。2.2 数形结合在微积分中对概念的理解作用间断点定义：设函数在某内有定义，若在点无定义，或在点有定义而不连续，则称为函数f的间断点或不连续点。间断点的分类（我们借助函数图形来看，如图2）：图21. 可去间断点：若kA，而在点无定义，或有定义但A，则称为的可去间断点。（如图2中的点a）2. 跳跃间断点：若函数在有左、极限都存在，但，则称为函数的跳跃间断点。（如图2中的点b）3. 第二类间断点：可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。第一类间断点的特点是函数在该点的左右极限都存在。函数的所有的其他形式的间断点，即使得函数到少有一侧极限不存在的那些点，称为第二类间断点。（如图2中的点c）这里使用直观形象的函数图像来帮助对概念的理解认识，使人能一下明白概念中所蕴含的真正意义，并能容易区分出相似概念之间的细微差别，深入理解数学知识的内涵和外延，加深对概念的印象，从而大大改进我们的学习效率及能力。这种利用图形思维的方式，较好地体现出“化繁为简，化难为易”的数学思想，能弄清问题的实质，又让人轻松的能接受，使学习过程变得轻松有趣。应用数形结合的方法帮助对概念的理解认识的例子在高等数学中还有很多，如用距离的变化来描述增量间的变化并以此刻画极限概念；用切线的斜率来说明导数概念；用直角三角形与曲边三角形边的关系来刻画微分是导数的近似，等等。利用数形结合思想方法来阐述，其难度就降低许多。3. 利用数形结合思想加强对定理的理解与证明应用数形结合的方法能帮助对概念的理解认识，同样应用数形结合的方法帮助对定理的理解认识，帮助定理的证明，也有极其重要的作用。3.1 概率论中的数形结合的例子：对偶率(德莫根公式)：事件并的对立等于对立的交： ,(1) 事件交的对立等于对立的并：.(2)我们先用集合论的语言先证明(1)式：设，即，表明不属于A，也不属于B，这意味着A和B同时成立，所以与同时成立，于是，这说明 .反之，设，即同时有与，从而同时有A和B，这意味着既不属于A，也不属于B，即，也就是，这说明 .综上，可得 .同理可得(2)也成立。我们再来看一下用数形结合(使用Venn图)的方法来证明这个定理：如图3所示，正方形表示样本空间，两个圆分别表示事件A和事件B，样本空间被事件A和事件B两个集划分为1，2，3，4四块，则、 、等都能用1，2，3，4四块中的一块或几块表示出，且四块中的任一块要么属于，要么就不属于这个集，且没有第三种情况。图3通过以上的讨论，我们能很快证明这两个公式，显然表示是1块，表示的是1，4两块，表示1，2两块，则也是表第1块，这样很快就证明了(1)式，同样表示的是1，2，4三块，显然就是 (按前述与)，(2)式也同样很快就得到了证明。3.2 微积分中的数形结合思想先来看一个积分第一中值定理用到的数形理解的简化作用的例子：若在a,b上连续，则至少存在一点a,b，使得(ba). 图4积分第一中值定理的几何意义（见图4）是，若在a,b上非负连续，则在a,b上的曲边梯形的面积等于以为高，a，b为底的矩形面积。而则可理解为在a,b上所有函数值的平均值。这是通常有限个数的算术平均值的推广。通过积分第一中值定理的几何意义，我们很容易就能把握定理所表达的内涵的来龙去脉，从而使学习变得轻松愉快。再来看一个例子：（取极值的第一充分条件）设函数在点的某一邻域内可微，且0（或在处连续，但不存在.）(1) 若当经过时，由“+”变成“”，则为极大值；(2) 若当经过时，由“”变成“+”，则为极小值；(3) 若当经过的两侧不变号，则不是极值点；如图5所示，当经过A点时，的所表示的曲线的斜率由由“+”变成“”，即由“+”变成“”，从图中很容易看出A点为在A的某个领域内函数值的最大值，即函数在A点取得极大值，同理在B点取得极小值，从图中可以看出函数在除A、B两点之外的点没有第三点为极值点，同样用定理的(3) 当经过除A、B以外的点两侧不变号，则都不是极值点；用图像来理解定理简单形象直观，小学生也能看懂其中所表达的意思。图53.3 应用数形结合思想证明组合数学中的定理pq棋盘：由pq个单位正方形平成的长为p，宽为q的长方形叫做一个pq棋盘。定理1：沿pq棋盘上的线段，由顶点A到顶点B的最短路的条数为.整点：在xoy坐标平面上，横坐标与纵坐标都是整数的点。T步：由任一整点(x,y)到整点 (x+1, y+1)或(+1, y1)的有向线段叫一个T步。T路：由若干个T步组成的起点为A，终点为B的有向折线叫整点A到整点B的一条T路。T条件：如果存在由整点A(,)到整点B(,)的T路，则 ；|；+与+奇偶性相同。合称T条件。定理2：设整点A(a, )与整点B(b,)满足T条件，则由A到B的T路的条数为.证明：如图6，过A和B都作斜率为1和-1的两条直线得矩形ACBD，直线AD的方程为Y=,直线BD的方程为Y=(),于是容易求得D的横坐标为X+.图6所以线段AD上的整点数为+1+1，线段BD上的整点数为(+)+1=+1.过线段AD上的每个整点作斜率为-1的直线，过线段BD上的每个整点作斜率为1的直线，这些直线把矩形ACBD变成一个(+)()的棋盘。图7因为由A到B的最短路可看成是由p条单位横线段与q条单位纵线段作成的全排列(如图7)，所以由A到B的最短路的条数等于由p个a和q个作成的全排列数，为，于是定理1得证。显见由A到B的任一条T路就是该棋盘上由A到B的一条最短路，反之亦然。所以，由A到B的T路的条数为所以，数形结合思想在高等中对定理的证明是有很大的作用的。应用数形结合思想来帮助理解，记忆及证明高等数学中的定理的方法也是多种多种，灵活多变。从极限，单调性，导数，微分到各种积分，级数，几乎到处可以用到数形结合思想来理解证明，在高等数学定理的学习中，我们一定要好好把握数形之间的关系，利用数形结合思想这一解决问题的方便之门开导启发自己思维，切实理解各类定理的意义及作用。4. 利用数形结合思想帮助解题数形结合思想可增强解题中的求简意识。有些数学问题，仅局限于数的方面考虑，虽然能解决问题，但过程繁琐，甚至较为困难，若根据问题的条件与结论的内在联系，既分析数式特征，又揭示几何意义，使用数量与图形结合的方法来学数学，对解题的效率及速度的提高的帮助作用是显而易见的，所以我们同样应加强应用数形结合解题能力的培养，全面提高我们的各方面的能力。4.1 用数形结合求定义域例：求二元函数zarcsin(2)+定义域解arcsin(2) 的定义域：21，的定义域：40，的定义域：1且0.故所求的定义域为(如图8)：图8从这一个简单的求函数定义域的例子，我们可以看出，在高等数学中有许多的问题是要用到数形结合来解决的，下面的几个应用数形结合思想解题的难度就稍进一层。4.2 数形结合思想在解概率问题中的应用概率论是日常生活中应用得比较多的门学科，在概率论解题中同样离不开数形结合思想，下面的例题就是一个在概率论中常见的一类问题。蒲丰投针问题：平面上画有间隔为 (0)等距平行线，向平面任意投掷一枚长为 (0)，图11曲线()在(,)点处的法线方程Y=-(X-) (0),它与轴的交点的坐标(+,0)，于是(1+),由题设K，即1+这是不显含的方程，初始条件为1，0.令，于是方程变为1+dln(1+)ln+C，代入0，得C0 1，积分得ln+=(-1)+ C,代入1，得C0，故所求的曲线为 +e，即(e+e)在几何学中，常用数轴上的点与实数，切线的斜率与导数对等，等等，来实现数与形的结合，所以，应用常微分方程这个工具常用来解决这类问题，将形的问题转化为数的问题，则问题的解决就变得逻辑严谨，无懈可击。4.4 微积分中的解题应用数形结合例：设有一曲顶柱体，以双曲线抛物面为顶，以坐标为底，以平面0为侧，柱面+1为内侧，柱面+2为外侧，试求这个柱体的体积。解 由题设可知曲顶柱体在o平面上的投影，即积分域D（见图12），由D的形状可知用极坐标计算曲顶柱体的体积简便。V=曲线L1：2cos，L2：1，联立解得，.图12故 V .在微积分中，许多问题的解决是离不开图形的。一般地，解答单用分析语言表达的问题，常使人茫然不知所措，如果再结合考虑问题的几何意义，绘出几何图形，借助于图形的直观形象就会很快解决问题。4.5 数形结合思想在在图论中的应用图论是研究由点和线组成的“图形”问题的一门学科，所以可以说数形结合是图论产生的源泉，这里的一个例子是图论中一个常见的用矩阵来表示图，用代数方法来研究图的性质，逻辑严谨，这一方法也便于用计算机处理图。例：证明图与同构（见图13） 图13首先我们用常规的方法证明如下：证明：设图（V，E），（U，）.定义 g:vu,g（）,g（）,g（）,g（）,g（）,则（,）E，有（g（），g()）且（,）与（g(),g()）有相同的重数。故 图与同构。 使用这一方法来证明图的同构虽然方法看起来简单，但是在人工查找图的过程中很可能就会出现遗漏，而且会造成检查困难，这样导致了计算和验算的高成本，从而效率低下。再看一下利用数形结合思想证明利用图的关联矩阵证明。证明：图与的关联矩阵分别为：， 因为对图的关联矩阵进行或列的交换后所得到的图仍然是与原图同构的，下面对进行行列的交换： 即图与同构。把形象直观的难以直接看出规律的图形转换成逻辑严谨的数学矩阵，使证明过程有条不紊，且容易发现错误和及时改正错误，从错综复杂的事物中抽象出精确的数量关系，较之上一种方法极大地提高了解题效率，表现出数学的严谨的逻辑思维，能轻松快捷地得出证明结论。应用数形结合思想，抓住问题的本质，是一个解决问题之门的金钥匙，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，启发思路，从而达到化难为易的目的，减少计算量，使问题获得巧解，意义重大。5. 小 结“数”与“形”是一对矛盾，互为补充，互相联系，又可相互转化。数形结合包含“以数想形”和“以形助数”相结合，巧借图形数两个侧面。这就要求我们根据特点全面考察发现规律，巧妙应用数形结合使得难以求解的问题迎刃而解。数形结合有很大的灵活性、创造性，在应用过程中应多方位、多角度的去思考、探索，选用合理、恰当的途径，以求取得事半功倍的效果及化繁为简地解决问题的目的。著名数学家华罗庚说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微”。以上的一些例子，从对概念的理解到对定理的理解及证明，再到解题，我们可以清楚地看到，数形结合思想在高等数学中具有举足轻重的作用。数形结合方法灵活多样，只要可以用来解决数与形这对矛盾，并达到求简目的的方法都可拿出来参考，这样可以培养我们面对问题时的求解意识。在数形结合的过程中，“数”的代数性质与“形”的几何性质的转换应该是等价的，即对于所讨论的问题形与数所反映的数量关系应具有一致性，我们要尽量精确地构图，使“数”与“形”尽量保持一致的等价性，这样才能从根本上保证数形结合思想发挥作用。在进行几何直观的分析的同时还要进行代数抽象的探索，代数表达及其运算比起几何图形及其结构有着自身固有的优越性，能克服几何直观方法的许多局限性，“数”与“形”各有其优缺点，我们就要尽量做到删繁就简，去粗取精，从而扬长避短，尽可能地发挥它们各自的优势。最后，数形转换时尽可能构图简单合理优美，从而可使代数计算简洁、明了，这样还能给我们良好的视觉感受，增添我们的学习乐趣。致 谢：在本论文的撰写过程中，得到毛旭华老师的悉心关怀和指导，在此深表感谢。参考文献：1周春荔,张景斌.数学学科教育学M.北京:首都师范大学出版社,2001. 2王子兴.对数学活动中形象思维的思考J.数学通报,1990,(6) 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