高等数学和线性代数公式、定理和性质归纳.doc

高等数学和线性代数公式、定理、性质归纳高等数学常见公式归纳导数常见公式：积分常见公式：三角函数的有理式积分公式：一些初等函数： 两个重要极限公式：常见三角函数公式：诱导公式： 函数角Asincostgctg-sincos-tg-ctg90-cossinctgtg90+cos-sin-ctg-tg180-sin-cos-tg-ctg180+-sin-costgctg270-cos-sinctgtg270+-cossin-ctg-tg360-sincos-tg-ctg360+sincostgctg和差角公式： 和差化积公式：倍角公式：半角公式：正弦定理： 余弦定理： 反三角函数性质：高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用：曲率：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：空间解析几何和向量代数：多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：柱面坐标和球面坐标：曲线积分：曲面积分：高斯公式：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：三角级数：傅立叶级数：周期为的周期函数的傅立叶级数：微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根二阶常系数非齐次线性微分方程线性代数公式、定理和性质基本知识行列式克莱姆法则 注意 分母都为原方程组的系数行列式.注意：在利用克莱姆法则解方程组时，系数行列式不能等于零。另外，方程组中方程的个数与未知数的个数必须相等。二阶与三阶行列式的计算-对角线法则 在一个排列i1isitin中, 如果仅将它的两个数码is与it对调, 其它数码不变, 得到另一个排列, 这样的变换, 称为一个对换.定理 任一排列经过一次对换后改变奇偶性.定理 n个数码(n1)共有n!个n级排列, 其中奇偶排列各占一半.上三角行列式同理可得下三角行列式对角行列式同上另外行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等，即DT=D性质2 交换行列式的两行(列),行列式的值变号.推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零.性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式,推论如果行列式有两行(列)的对应元素成比例, 则行列式的值等于零.性质4若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和.注意: 只能拆一行或一列.性质5把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数k后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变余子式与代数余子式余子式M代数余子式A行列式展开定理 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和, 即推论: 若行列式某行(列)的元素全为零,则行列式的值为零.定理 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零范德蒙 (Vandermonde)行列式矩阵注意: 不同阶数的零矩阵是不相等的当对角矩阵的主对角上的元都相同时，称为数量矩阵说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.矩阵加法的运算规律：数乘矩阵的运算规律加法和数乘合称为矩阵的线性运算.矩阵乘法的运算规律：注意：交换律不成立矩阵乘法不满足消去律A的方幂若称A、B可交换，前提A、B为同阶方阵规律一般由于没有交换律转置矩阵的运算性质： 推广，则A称为对称阵 .，则A称为反对称阵 .反对称阵的对角元全为零方阵的行列式 特别的 逆矩阵 （1) 只有方阵才可能可逆;(2) 逆阵若存在, 则必唯一.伴随矩阵 性质 逆矩阵的运算性质注意A，B可逆，A+B不一定可逆，即使可逆，一般可逆阵A若对称(反对称)，则 也对称(反对称).对称反对称设为同阶方阵，。若可逆，则。对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立。伴随矩阵的有关性质: （1）若 （2）（3）（4）（5） （6）其中A,B均为n阶方阵,k为数分块矩阵的运算规则 略 矩阵的初等变换 略 见书矩阵的秩零矩阵的秩规定为0。矩阵秩的性质：(1) 若A为矩阵，则 ；(2) ；()；(3) 若A有一个r阶子式不为零，则 ；若A的所有阶子式全为零，则；4) 对于n阶方阵A而言，有 当r(A)=min(m, n)时，称矩阵A为满秩矩阵，可逆矩阵也称为满秩矩阵。(5) 设为可逆阵,则 ,.注意：初等变换不改变矩阵的秩。 阶梯形矩阵的秩等于其中非零行的个数。矩阵秩的计算方法：用初等行变换把矩阵化为阶梯形，则该阶梯形矩阵中的非零行数就是所求矩阵的秩。方程组有解的充分必要条件是实际上r即为系数矩阵A的秩, ,若,则 若,则 ,线性方程组解的判定定理线性方程组有解的充分必要条件是在有解的情况下，当时有唯一解；当时有无穷多解；这时自由未知量个数为.若,则只有零解，若,则有非零解.若,则必有非零解,因为此时必有向量的线性运算满足以下八条运算律：(1) a+b=b+a (2) a+(b+g)=(a+b)+g(3) a+=a (4) a+(-a)= (5) (k+l)a=ka+la (6) k(a+b)=ka+kb(7) (kl)a=k(la)(8) 1a=a其中a, b, g 都是n维向量, k, l 为实数.除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：定理1在情况下,向量组线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量能被其余向量线性表示。推论在情况下,向量组线性无关的充分必要条件是其中没有哪一个向量能被其余向量线性表示。注 两个向量线性相关(无关)当且仅当它们成比例(不成比例)定理(线性无关)的充分必要条件是齐次线性方程组有(无)非零解,其中.这又取决于或定理3若向量组线性无关,而线性相关,则能由线性表出,且表法唯一。线性相关性的性质(1) 如果向量组有一个部分组线性相关，则该向量组线性相关。.(2) 如果一个向量组线性无关, 则其任一部分组，线性无关.部分相关整体相关 整体无关部分无关线性相关的向量组添加若干向量仍线性相关;线性无关的向量组去掉若干向量仍线性无关.(2) 若向量组线性无关,则每个向量各添一个分量后的向量组仍线性无关.(3) 向量组的个数如果多于维数, 则必线性相关。(4) 若向量组可由向量组线性表出，且，则向量组必线性相关.推论 若向量组线性无关,且可由向量组线性表出，则.(5) 两个线性无关且彼此等价的向量组，必含有相同个数的向量.向量组的秩 一个向量组的一个部分组称为一个极大(线性)无关组,如果它满足:(1)是线性无关的,(2)再任意添一个向量(如果还有的话)所得向量组线性相关.一个线性无关的向量组, 它的极大无关组就是它本身.任何一个向量组, 只要它含有非零向量, 就一定有极大无关组.定理 一个向量组的任一极大无关组与该向量组本身等价.若向量组线性无关,且可由向量组线性表出，则.推论若P,Q为可逆矩阵,则有线性方程组解的结构 见课件特征值与特征向量的性质 性质1(1) 设是矩阵A的属于特征值的特征向量，则对任意常数，也是A的属于的特征向量；(2) 若都是A的属于特征值的特征向量，则也是A的属于的特征向量性质2属于不同特征值的特征向量线性无关。只证两个特征向量的情况.推广 属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关。 性质3矩阵A与它的转置有相同的特征值。注意 尽管A和的特征值相同，但一般它们的特征向量是不同的。性质4设是矩阵A的特征值，是相应的特征向量，则(1) 是的特征值（k是任意常数）；(2) 是的特征值（m是正整数）；(3) 当A可逆时,且是的特征值.且仍然是矩阵、的相应于特征值、的特征向量。（4） )当 A可逆时,是 的特征值性质5称为A的迹，记为.推论 方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零.矩阵的迹的性质相似矩阵的性质定理 相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同.推论1 相似矩阵的行列式相等；推论2 相似矩阵的迹相等；推论3 若矩阵A与