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2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第二试第二试 A 一 本题满分一 本题满分 20 分 分 已知二次函数 2 0 yxbxcc 的图象与x轴的交点分别为 A B 与y轴的 交点为 C 设 ABC 的外接圆的圆心为点 P 1 证明 P 与y轴的另一个交点为定点 2 如果 AB恰好为 P 的直径且2 ABC S 求b和c的值 解解 1 易求得点C的坐标为 0 c 设 1 A 0 x 2 B 0 x 则 12 xxb 12 x xc 设 P 与y轴的另一个交点为 D 由于 AB CD 是 P 的两条相交弦 它们的交点为点 O 所以 OA OB OC OD 则 12 1 x xcOA OB OD OCcc 因为0c 所以点C在y轴的负半轴上 从而点 D 在y轴的正半轴上 所以点 D 为定点 它的坐标为 0 1 2 因为 AB CD 如果 AB恰好为 P 的直径 则 C D 关于点 O 对称 所以点C的坐标为 0 1 即1c 又 222 121212 4 44ABxxxxx xbcb 所以 2 11 4 12 22 ABC SAB OCb 解得2 3b 二 本题满分二 本题满分 25 分 分 设 CD 是直角三角形 ABC 的斜边 AD 上的高 1 I 2 I分别是 ADC BDC 的内心 AC 3 BC 4 求 1 I 2 I 解解 作 1 IE AB于 E 2 IF AB于 F 在直角三角形 ABC 中 AC 3 BC 4 22 AB AC BC5 又 CD AB 由射影定理可得 2 AC9 AD AB5 故 16 BD AB AD 5 22 12 CD ACAD 5 因为 1 IE 为直角三角形 ACD 的内切圆的半径 所以 1 I E 13 AD CD AC 25 连接 D 1 I D 2 I 则 D 1 I D 2 I分别是 ADC 和 BDC 的平分线 所以 1 IDC 1 IDA 2 IDC 2 IDB 45 故 1 ID 2 I 90 所以 1 ID 2 ID 1 1 1 3 I E3 2 5 DI sinADIsin455 F E I1 I2 D B A C 同理 可求得 2 4 I F 5 2 4 2 DI 5 所以 1 I 2 I 22 12 DIDI2 三 本题满分三 本题满分 25 分 分 已知 a b c为正数 满足如下两个条件 32abc 1 4 bcacababc bccaab 证明 以 abc为三边长可构成一个直角三角形 证法证法 1 1 将 两式相乘 得 8 bcacababc abc bccaab 即 222222 8 bcacababc bccaab 即 222222 440 bcacababc bccaab 即 222222 0 bcacababc bccaab 即 0 bca bcacab cababc abc bccaab 即 0 bca a bcab cabc abc abc 即 222 2 0 bca ababc abc 即 22 0 bca cab abc 即 0 bca cab cab abc 所以0bca 或0cab 或0cab 即bac 或cab 或cba 因此 以 abc为三边长可构成一个直角三角形 证法证法 2 2 结合 式 由 式可得 3223223221 4 abc bccaab 变形 得 222 1 10242 4 abcabc 又由 式得 2 1024abc 即 222 10242 abcabbcca 代入 式 得 1 10242 10242 4 abbccaabc 即16 4096abcabbcca 3 16 16 16 16 256 16abcabcabbccaabc 3 4096256 32 160 所以16a 或16b 或16c 结合 式可得bac 或cab 或cba 因此 以 abc为三边长可构成一个直角三角形 第二试第二试 B 一 本题满分一 本题满分 20 分 题目和解答与 分 题目和解答与 A 卷第一题相同 卷第一题相同 二 二 本题满分 本题满分 25 分 分 已知 ABC 中 ACB 90 AB边上的高线 CH 与 ABC 的两条内角平分线 AM BN 分别交于 P Q 两点 PM QN 的中 点分别为 E F 求证 EF AB 解解 因为 BN 是 ABC 的平分线 所以ABNCBN 又因为 CH AB 所以 CQNBQH90ABN90CBNCNB 因此CQNC 又 F 是 QN 的中点 所以 CF QN 所以CFB90CHB 因此 C F H B四点共圆 又FBH FBC 所以 FC FH 故点 F 在 CH 的中垂线上 同理可证 点 E 在 CH 的中垂线上 因此 EF CH 又 AB CH 所以 EF AB 第二试第二试 C 三 本三 本题满分题满分 25 分 分 已知 a b c为正数 满足如下两个条件 32abc 1 4 bcacababc bccaab 是否存在以 abc为三边长的三角形 如果存在 求出三角形的最大内角 解法解法 1 1 将 两式相乘 得 8 bcacababc abc bccaab 即 222222 8 bcacababc bccaab 即 222222 440 bcacababc bccaab 即 222222 0 bcacababc bccaab 即 0 bca bcacab cababc abc bccaab F Q E P H N M A C B 即 0 bca a bcab cabc abc abc 即 222 2 0 bca ababc abc 即 22 0 bca cab abc 即 0 bca cab cab abc 所以0bca 或0cab 或0cab 即bac 或cab 或cba 因此 以 abc为三边长可构成一个直角三角形 它的最大内角为 90 解法解法 2 2 结合 式 由 式可得 3223223221 4 abc bccaab 变形 得 222 1 10242 4 abcabc 又由 式得 2 1024abc 即 222 10242 abcabbcca 代入 式 得 1 10242 10242 4 abbccaabc 即16