高等数学——函数与极限.doc

高等数学高等数学 教案教案 第一章 函数与极限 第一章 函数与极限 18 课时 课时 第一节 映射与函数第一节 映射与函数 教学目的与要求 教学目的与要求 理解函数的概念 掌握函数的初等函数的性质及其图形 并会建立 简单应用问题中的函数关系式 教学重点 难点 教学重点 难点 理解复合函数及分段函数 反函数及隐函数的概念 基本初等函 数的性质及其图形 一 集合一 集合 1 集合概念集合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法 用 A B C D 表示集合 用 a b c d 表示集合中的元素 1 321 aaaA 2 PxxA的性质 元素与集合的关系 Aa Aa 一个集合 若它只含有有限个元素 则称为有限集 不是有限集的集合称为无限集 常见的数集 N Z Q R N 元素与集合的关系 A B 是两个集合 如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素 则称 A 是 B 的子集 记作BA 如果集合 A 与集合 B 互为子集 则称 A 与 B 相等 记作BA 若作BA 且BA 则称 A 是 B 的真子集 全集 I AiI I 1 2 3 空集 A 2 集合的运算集合的运算 并集BA Ax xBABx 或 交集BA Ax xBABx 且 差集 BA BxAxxBA 且 补集 余集 C A I A 集合的并 交 余运算满足下列法则 交换律 ABBA ABBA 结合律 CBACBA CBACBA 分配律 CBCACBA CBCACBA 对偶律 ccc BABA ccc BABA 笛卡儿积 A B ByAxyx 且 3 区间和邻域 区间和邻域 1 有限区间 开区间 ba 闭区间 ba 半开半闭区间 baba 2 无限区间 a a a a 3 邻域 axaxaU 注 a 邻域的中心 邻域的半径 去心邻域记为 aU 二 映射二 映射 映射概念 定义 设 X Y 是两个非空集合 如果存在一个法则 f 使得对 X 中的每一个元素 x 按法则f 在 Y 中有唯一确定的元素y与之对应 则称f为从 X 到 Y 的映射 记作 YXf 其中y称为元素x的像 并记作 xf 即 xfy 注意 每个 X 有唯一的像 每个 Y 的原像不唯一 三 函数三 函数 1 函数的概念函数的概念 定义 设数集RD 则称映射 RDf 为定义在 D 上的函数 记为 Dxxfy 注 函数相等 定义域 对应法则相等 2 函数的几种特性函数的几种特性 1 函数的有界性 上界 下界 有界 无界 有界的充要条件 既有上界又有下界 2 函数的单调性 单增 单减 在 x1 x2点比较函数值 1 xf 与 2 xf 的大小 注 与区间有关 3 函数的奇偶性 定义域对称 xf 与 xf 关系决定 图形特点 关于原点 Y 轴对称 4 函数的周期性 定义域中成立 xflxf 3 函数与复合函数函数与复合函数 1 反函数 函数 DfDf 是单射 则有逆映射 xyf 1 称此映射 1 f 为 f 函数的反函数 函数与反函数的图像关 xy 于对称 2 复合函数 函数 ygu 定义域为 D1 函数 xfy 在 D 上有定义 且 1 DDf 则 xfgxfgu 为复合函数 3 分段函数 分段函数的统一表达式 结论 对于分段函数 f x 1 2 f xxa fxxa 若初等数函 f1 x 和 f2 x 满足 f1 a f2 a 则 f x f1 x a f1 x a f1 a 1 2 2 xa 1 2 2 xa 4 初等函数 初等函数 1 幂函数 a xy 2 指数函数 x ay 3 对数函数 logxy a 4 三角函数 cot tan cos sin xyxyxyxy 5 反三角函数 arcsin xy arccos xy cot arctan xarcyxy 以上五种函数为基本初等函数 6 双曲函数 2 xx ee shx 2 xx ee chx xx xx ee ee chx shx thx 注 双曲函数的单调性 奇偶性 双曲函数公式 shyshxchychxyxch shyshxchychxyxch shychxchyshxyxsh shychxchyshxyxsh 7 反双曲函数 arthxy archxy arshxy 例 1 已知分段函数 2 2 10 1 0 2 01 xx f xx xx 1 求其定义域并作图 2 求函数值 11 22 0 fff 例 2求由所给函数复合的函数 并求各复合函数的定义域 y 10u u 1 x2 y arctanu2 u tanv v a2 x2 例 3求函数的反函数及反函数的定义域 y x2 0 x 2 21 01 2 2 12 xx y xx 作业 见课后各章节练习 第二节 数列的极限第二节 数列的极限 教学目的与要求 教学目的与要求 理解极限的概念 性质 教学重点 难点 教学重点 难点 极限的概念的理解及应用 一 数列一 数列 数列就是由数组成的序列 1 这个序列中的每个数都编了号 2 序列中有无限多个成员 一般写成 n aaaaa 4321 缩写为 n u 例 1 数列 n 1 是这样一个数列 n x 其中 n xn 1 5 4 3 2 1 n 也可写为 5 1 4 1 3 1 2 1 1 可发现 这个数列有个趋势 数值越来越小 无限接近 0 记为 0 1 lim n n 1 限的限的 N 定义定义 axNnN n 0 则称数列 n x 的极限为a 记成 axn n lim 也可等价表述 1 0axNnN n 2 0 aOxNnN n 极限是数列中数的变化总趋势 因此与数列中某个 前几个的值没有关系 二 收敛数列的性质收敛数列的性质 定理 1 如果数列 n x 收敛 那么它的极限是唯一 定理 2 如果数列 n x 收敛 那么数列 n x 一定有界 定理 3 如果 axn x lim 且 a 0 a0 当 n N 时 0 0 nn xx 例 2证明数列的极限是 1 1 n n 例 3作出数列图形 讨论其极限值 1 1 nn n 作业 见课后各章节练习 第三节 函数的极限第三节 函数的极限 教学目的与要求 教学目的与要求 理解函数左极限与右极限的概念 以及极限存在与左 右极限之间 的关系 教学重点 难点 教学重点 难点 理解函数左极限与右极限 极限性质 一 极限的定义一 极限的定义 1 在 在 0 x 点的极限点的极限 1 0 x 可在函数的定义域内 也可不在 不涉及 f 在 0 x 有没有定义 以及函数值 0 xf 的大小 只要满足 存在某个 0 使 Dxxxx 0000 2 如果自变量x趋于 0 x 时 相应的函数值 xf 有一个总趋势 以某个实数A为极 限 则记为 Axf xx lim 0 形式定义为 Axfxxx 0 0 0 2 x 的极限的极限 设 xxfy 如果当时函数值 xf 有一个总趋势 该曲线有一条 水平渐近线 Ay 则称函数在无限远点 有极限 记为 Axf x lim 在无穷远点 的左右极限 lim xff x lim xff x 关系为 lim lim limxfAxfAxf xxx 二 函数极限的性质二 函数极限的性质 1 极限的唯一性 2 函数极限的局部有界性 3 限的局部保号性 4 函数极限与数列极限的关系 例 1 讨论函数在 x的极限 x x y 0 例 2求下面函数极限 lim n 2 21 n n 33 1 1 1 1 lim x x x 作业 见课后各章节练习 第四节 无穷小与无穷大第四节 无穷小与无穷大 教学目的与要求 教学目的与要求 掌握无穷小与无穷大概念 教学重点 难点 教学重点 难点 理解无穷小与无穷大的关系 一 无穷小定义一 无穷小定义 定义 对一个数列 n x 如果成立如下的命题 n xNnN0 则称它为无穷小量 即 0lim n x x 注 1 的意义 2 n x 可写成 0 n x 0 n x 3 上述命题可翻译成 对于任意小的正数 存在一个号码 N 使在这个号码以后 的所有的号码n 相应的 n x 与极限 0 的距离比这个给定的 还小 它是我们在直观上对于 一个数列趋于 0 的认识 定理 1 在自变量的同一变化过程 0 xx 或 x 中 函数 xf 具有极限 A 的充 分必要条件是 Axf 其中 是无穷小 二 无穷大定义二 无穷大定义 一个数列 n x 如果成立 GxNnNG n 0 那么称它为无穷大量 记成 n x xlim 特别地 如果 GxNnNG n 0 则称为正无穷大 记成 n x xlim 特别地 如果 GxNnNG n 0 则称为负无穷大 记成 n x xlim 注 无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量 三 无穷小和无穷大的关系三 无穷小和无穷大的关系 定理 2 在自变量的同一变化过程中 如果 xf 为无穷大 则 1 xf 为无穷小 反之 如果 xf 为无穷小 且 0 xf 则 1 xf 为无穷大 即非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系 当 0 n x 时 有 n xx x 1 lim0lim 0 1 limlim n xx x 注意是在自变量的同一个变化过程中 四 无穷小的性质四 无穷小的性质 设 n x 和 n y 是无穷小量于是 1 两个无穷小量的和差也是无穷小量 0 lim0lim0lim nn x n x n x yxyx 2 对于任意常数 C 数列 n xc 也是无穷小量 0 lim0lim n x n x xcx 3 n yxn 也是无穷小量 两个无穷小量的积是一个无穷小量 0 lim0lim0lim nn x n x n x yxyx 4 n x 也是无穷小量 0lim0lim 0 0 n xx n xx xx 5 无穷小与有界函数的积为无穷小 五 函数极限的四则运算五 函数极限的四则运算 1 若函数 f 和g在点 0 x 有极限 则 lim lim lim 000 xgxfxgxf xxxxxx 2 函数 f 在点 0 x 有极限 则对任何常数a成立 lim lim 00 xfaxfa xxxx 3 若函数 f 和g在点 0 x 有极限 则 lim lim lim 000 xgxfxgxf xxxxxx 4 函数 f 和g在点 0 x 有极限 并且 0 lim 0 xg xx 则 lim lim lim 0 0 0 xg xf xg xf xx xx xx 极限的四则运算成立的条件是若函数 f 和 g在点 0 x 有极限 定理 3 设函数 xgfy 是由函数 ufy 与 xgu 复合而成 xgf 在点 0 x 的某去心邻域内有定义 若 0 lim 0 uxg xx Auf uu lim 0 且存在 0 0 当 00 0 xu x 时 有 0 uxg 则 例 1下面函数在 x 趋向什么时是无穷小 又当 x 趋向什么时是无穷大 21 x sin 1 cos x x 例 2 求下面函数极限 作业 见课后各章节练习 第五节 极限存在准则第五节 极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 Aufxgf uuxx lim lim 00 9 3 lim 2 3 x x x 45 32 lim 2 1 xx x x 教学目的与要求 教学目的与要求 掌握极限存在准则 透彻理解两个重要极限 教学重点 难点 教学重点 难点 极限存在准则 两个重要极限的应用 定理 1 夹逼定理 三数列 n x n y 和 n z 如果从某个号码起成立 1 nnn zyx 并且已知 n x 和 n z 收敛 2 n x n x zax limlim 则有结论 ayn x lim 定理 2 单调有界数列一定收敛 单调增加有上界的数列一定收敛 单调减少有下界的数列一定收敛 极限 sinx x 1 0 lim x 该极限的证明 关键是证不等式 sinx x tanx 0 x 2 如图 设单位圆 O 的渐开线为 若记 TOA x 并过 作 A A 轴于 C 切 且交 A C X A A 及 轴分别于 则 Sinx TH AT x TB1 1 n 2 1 2 n 2 n 1 2 2 1n 2 n 2 1 4 1 n 则 4 n 1 n 1 1 n n 即数列 An 有上界 于是 极限 存在 并记为数 e 例 1 求下面函数极限 x x x tan lim 0 2 0 cos1 lim x x x x x x arcsin lim 0 例 2 证明 x x x 1 1 lim 有界 并求 x x x 1 1 lim 的极限 作业 见课后各章节练习 第六节 无穷小的比较第六节 无穷小的比较 教学目的与要求 教学目的与要求 理解无穷小的比较概念 教学重点 难点 教学重点 难点 熟练应用等价无穷小求极限 定义 若 为无穷小 且 1lim 0lim 0lim lim 0lim c c K 则与的关系 依次是高阶 低阶 同阶 k 阶 等价 1 若 为等价无穷小 则 2 若 1 1 且 1 1 lim 存在 则 1 1 limlim 例 1证明下面各无穷小量之间的关系 与 x x tanx sinx 与 sinx x sinxx0 0 例 2求下面函数极限 x x x 5sin 2tan lim 0 xx x x 3 sin lim 3 0 1cos 1 1 lim 3 1 2 0 x x x 作业 见课后各章节练习 第七节 函数的连续性与间断点第七节 函数的连续性与间断点 教学目的与要求 教学目的与要求 利用定义判断连续或间断点 教学重点 难点 教学重点 难点 判断函数连续 一 函数在一点的连续性一 函数在一点的连续性 函数 f 在点 0 x 连续 当且仅当该点的函数值 0 xf 左极限 0 0 xf 与右极限 0 0 xf 三者相等 0 0 000 xfxfxf 或者 当且仅当函数 f 在点 0 x 有极限且此极限等于该点的函数值 lim 0 0 xfxf xx 其形式定义如下 0 00 xfxfxxx 函数在区间 a b 连续指 区间中每一点都连续 函数在区间 a b 连续时包括端点 注 1 左右连续 在区间上连续 注意端点 2 连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线 二 间断点二 间断点 若 0 0 000 xfxfxf 中有某一个等式不成立 就间断 分为 1 第一类间断点 第一类间断点 0 0 00 xfxf 即函数在点的左右极限皆存在但不相等 曲线段上出现一个跳跃 2 第二类间断点 第二类间断点 0 x 左极限 0 0 xf 与右极限 0 0 xf 两者之中至少有一个不存在 例 1讨论函数在 x 0 处的连续性 0 1 0 x x f x x 例 2求下面函数的间断点 判断其类型 1 1 x yx 1 cos x yx 作业 见课后各章节练习 第八节 连续函数的运算与初等函数的连续性第八节 连续函数的运算与初等函数的连续性 教学目的与要求 教学目的与要求 理解连续函数的性质和初等函数的连续性 并会利用函数的连续性 求函数极限 教学重点 难点 教学重点 难点 函数连续性判定 一 连续函数的四则运算一 连续函数的四则运算 1 lim 0 0 xfxf xx 且 lim 0 0 xgxg xx lim 00 0 xgxfxgxf xx 2 lim 0 0 xfxf xx 且 lim 0 0 xgxg xx lim 00 0 xgxfxgxf xx 3 lim 0 0 xfxf xx 且 0 lim 0 0 xgxg xx lim 0 0 0 xg xf xg xf xx 二 反函数连续定理二 反函数连续定理 如果函数 f Dxxfyf 是严格单调增加 减少 且连续的 则存在它的反 函数 1 f f Dyyfx 1 也是严格单调增加 减少 并且连续 注 1 反函数的定义域就是原来的值域 2 通常惯用 X 表示自变量 Y 表示因变量 反函数也可表成 1 1 f Dxxfy 三 复合函数的连续性定理 三 复合函数的连续性定理 设函数 f 和g满足复合条件 g f D 若函数g在点 x0连续 00 uxg 又若 f 函数在点 0 u 连续 则复合函数 gf 在点 0 x 连续 注 复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换 lim lim 00 xgfxgf xxxx 从这些基本初等函数出 通过若干次四则运算以及复合 得到的种种函数统称为初等函 数 并且初等函数在其定义区间内连续 例 1求下面函数的连续区间 lnsinyx 1 1 x x y 例 2 求下面函数极限 2 arctan sin lim a x a logx xa 2 arctan sin lim a x a logx xa 作业 见课后各章节练习 第九节 闭区间上连续函数的性质第九节 闭区间上连续函数的性质 教学目的与要求 教学目的与要求 了解闭区间上连续函数的