1999-数三真题、标准答案及解析.pdf

1 1999 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析经济数学三试题详解及评析 一 填空题填空题 1 设 f x有一个原函数 sin x x 则 2 xfx dx 答答 4 1 详解详解 由题设 f x有一个原函数 sin x x 则 2 sincossin xxxx f x xx 从而 222 2 xfx dxxdf xxf xf x dx sinsin4 cos1 22 xx x xx 2 1 1 1 2 n i n 答答 4 详解详解 考虑幂级数 1 1 11 n i S xnxx 因为 1 00 11 1 xx nn ii x S x dxnxdxx dx x 所以 2 1 11 1 1 x S xx x x 故 1 1 11 4 22 n i nS 2 3 设 101 020 101 A 而2n 为整数 则 1 2 nn AA 答答 O 详解详解 因为 2 101101202 0200200402 101101202 AA 故有 122 2 2 nnn O AAAAA 4 在天平上重复称量一重维a的物品 假设各次称量结果相互独立且服从正态分布 2 0 0 2N 若以 n X表示n称量结果的算术平均值 则为使 0 10 95 nP Xan 的 最小值应不小于自然数 答答 16 详解详解 由于 2 1 10 2 n ni i XXN a nn 于是 2 0 2 0 0 2 n Xa uN n n 又因为 1 960 95 P u 故要求 0 1210 95 0 2 22 n n Xann P XaP n 即0 975 2 n 于是令1 96 2 n 解得16 n 5 设随机变量 1 2 2 ij Xi jn n L独立同分布 2 ij E X 则行列式 3 11121 21222 11 n n nnnn XXX XXX Y XXX L L MMM L 的数学期望 E Y 答答 0 详解详解 根据行列式的定义 有 1 2 12 1 2 12 1 n n n r j jj jjnj j jj YXXX L L L 由于随机变量 1 2 2 ij Xi jn n L独立同分布 因此有 1 2 12 1 2 1 2 12 1 2 12 12 11121 21222 12 1 1 222 222 0 222 n n n n n n r j jj jjnj j jj r j jj jjnj j jj n n nnnn E YE XXX E XE XE X E XE XE X E XE XE X E XE XE X L L L L L L LL LL MMMMMM LL 二 选择题二 选择题 1 设 xf是连续奇函数 xF是 xf的原函数 则 A 当 xf是奇函数时 xF必为偶函数 B 当 xf是偶函数时 xF必为奇函数 C 当 xf是周期函数时 xF必为周期函数 D 当 xf是单调增函数时 xF必为单调增函数 答答 应选 A 详解详解 f x的原函数 F x可以表示为 0 x F xf t dtC 于是 00 xx Fxf t dtCutfu duC 当 f x为奇函数 即 fuf u 从而有 4 00 xx Fxf t dtCf t dtCF x 即 F x为偶函数 故 A 为正确选项 至于 B C D 可分别举反例如下 2 f xx 是偶函数 但其原函数 3 1 1 3 F xx 不是奇函数 可排除 B 2 cosf xx 是周期函数 但其原函数 11 sin2 24 F xxx 不是周期函数 可排除 C f xx 在区间 内是单调增函数 但其原函数 2 1 2 F xx 在区间 内非单调增加函数 可排除 D 2 设 yxf连 续 且 D dudvvufxyyxf 其 中D是 由 1 0 2 xxyy所围区域 则 yxf等于 A xy B xy2 C 8 1 xy D 1 xy 答答 C 详解详解 1 令 D f u v dudvA 则 f x yxyA 将 f x yxyA 代入 式得 D uvA dudvA 即 D xyA dxdyA 2 11 2 000 x dxxydyAx dxA 11 123 AA 解得 1 8 A 故 1 8 f x yxy 详解详解 2 等式 D f x yxyf u v dudv 两边取在区域D上的二重积分得 5 DDDD f x y dxdyxydxdyxydxdyf u v dudvA 2 11 2 000 x DD f x y dxdydxxydxdyx dxf x y dxdy 11 123 DD f x y dxdyf x y dxdy 由上式解得 1 8 D f x y dxdy 则 1 8 f x yxy 3 设向量 可由向量组 12 m L 线形表示 但不能有向量组 121 m L 线性表示 记向量组 121 m L 则 A m 不能由 线性表示 也不能由 线性表示 B m 不能由 线性表示 但可由 线性表示 C m 可由 线性表示 也可由 线性表示 D m 可由 线性表示 但不能由 线性表示 答答 B 详解详解 由题设 存在 12 m k kkL使得 1122 mm kkk L 且 0 m k 否则与 不能由向量组 121 m L 线性表示矛盾 从而有 11 11 1 m mm mmm kk kkk L 即 m 可由向量组 121 m L 线性表示 又根据 不能由向量组 121 m L 线性表示知 m 一定不能由 12 m L 线性表 6 示 否则将 m 用 121 m L 线性表示后代入 式 即可推出矛盾 因此正确选项为 B 4 设 A B为n阶矩阵 且与AB相似 E为n阶单位矩阵 则 AB 与 有相同的特征值和特征向量EAEB AB C与AB都相似于一个对角矩阵 D对于任意常数 t t 与EAEB相似 答答 D 详解详解 A首先贝排除 因它意味着A B 与AB相似 与AB有相同的特征值 但不一定有相同的特征向量 故 B 不成立 与AB不一定可以对角化 更谈不上都相似于一个对角矩阵 排除 C 剩下 D 为正确答案 因为与AB相似 所以存在n阶可逆矩阵 P使得 1 P APB 进而有 1 tt PEA PEB可见t 与EAEB相似 5 设随机变量 101 1 2 111 424 i Xi 且满足 12 01 P X X 则 12 P XX 等 于 11 0 1 42 ABCD 答答 A 详解详解 首先 列出二维随机变量 12 XX的联合分布律及其边缘分布中的部分数值 1 X 2 X 1 0 1 p i 1 a b c 1 4 0 d h f 1 2 7 1 g e k 1 4 p j 1 4 1 2 1 4 1 由于 12 01 P X X 故 12 00 P X X 因此0 acgk 根据边缘分布的性质 11111 0 44442 bhdfebh 可见有 12121212 1 10 01 10 P XXP XXP XXP XX 因此正确选项为 A 三三 本题满分 6 分 曲线 x y 1 的切线与x轴和y轴围成一个图形 记切点的横坐标为a 试求切线 方程和这个图形的面积 当切点沿曲线趋于无穷远时 该面积的变化趋势如何 详解详解 由 1 y x 得 3 2 1 2 yx 则切点 1 P a a 处的切线方程为 3 11 2 yxa a a 切线与x轴和y轴的交点分别为 3 0 A a和 3 0 2 B a 8 于是 三角形AOB的面积为 139 3 242 Saa a 当切点沿x轴方向趋于无穷远时 有lim a S 当切点沿y轴方向趋于无穷远时 有 0 lim0 a S 四四 本题满分 7 分 计算二重积分 D ydxdy其中 D 是由2 0 2 yyx以及曲线 2 2yyx 所围 成的平面区域 详解详解 1 如图所示 2 02 22 Dx yyxyy 则 2 2222 2 0200 22 y y D ydxdyydydxydyyyy dy 2 2 0 41 1 yydy 令1sin yt 则 2 22 2 0 2 1 1 1 sin cosyydyttdt 22 22 22 coscossin 2 tdtttdt 于是 9 4 2 D ydxdy 详解详解 2 区域D和 1 D如图所示 有 11 DD DD ydxdyydxdyydxdy 易知 1 02 20 4 D D ydxdydxydy 而在极坐标系下 有 1 02sin 2 Drr 于是 1 2sin 4 0 22 8 sinsin 3 D ydxdydrrdrd 2 2 2 81 cos 322 d 故 4 2 D ydxdy 详解详解 3 由心形公式 D D ydxdy y S 知 D D ydxdyy S 其中y为D的心形y坐标 由D的图形不难看出1y D S为积分域D的面积 该面积应为正方形减去半 圆 4 2 D S 则 4 2 D ydxdy 五五 本题满分 6 分 设生产某种产品必须投入两种元素 1 x和 2 x分别为两元素要投入量 Q为产出量 若 10 生产函数为 21 2xxQ 其中 为正常数 且1 假设两种元素的价格分别为 1 p 和 2 p 试问 当产量为 12 时 两元素各投入多少可以使得投入总费用最小 详解详解 根据题设 在产出量满足 12 122x x 的条件下 求总费用 1 122 Cp xp x 的最小值 为此构造拉格朗日函数 121 12212 122 F x xp xp xx x 令 1 112 1 1 212 2 12 20 1 2 2 1220 3 F pxx x F px x x F x x 由第 1 2 个方程 得 212 12 121 pxp xx pxp 将 1 x代入第 3 个方程 得 12 21 21 6 6 pp xx pp 因驻点唯一 且实际问题存在最小值 故当 12 21 21 6 6 pp xx pp 时 投入 费用最小 六六 本题满分 6 分 设有微分方程 2 yyx 其中 2 1 0 1 x x x 试求出 内的连续函数 yy x 使之在 1 和 1 内都满足所给方程 且 满足条件 00 y 详解详解 当1x 22 yy 其通解为 11 22 222 111 221 dxdx xxx yeedxCeedxCC e 由 00 y 得 1 1 C 所以 2 11 x yex 时 20 yy 其通解为 2 2 22 dx x yC eC e 由 222 2 11 limlim11 xx xx C eee 得 22 2 1C ee 即 2 2 1 Ce 所以 22 1 1 x yeex 于是若补充定义 2 11 ye 则得在 内的连续函数 2 22 1 1 1 1 x x ex y x eex 满足题中要求的全部条件 七七 本题满分 6 分 设函数 f x连续 且 2 0 1 2arctan 2 x tfxt dtx 已知 11 f 求 2 1 f x dx 的值 详解详解 作变量代换2 uxt 则2 txu dtdu 于是 22 02 222 xxxx xxx tfxt dtxu f u duxf u duuf u du 因此原函数变换为 22 2 1 2arctan 2 xx xx xf u duuf u dux 上式两边对x求导 得 2 4 2 2222222 1 x x f u duxfxf xxfxxf x x 即 12 2 4 2 1 x x x f u duxf x x 令1x 得 2 1 13 21 22 f u du 于是 2 1 3 4 f x dx 八八 本题满分 7 分 设函数 f x在区间 0 1上连续 在 0 1内可导 且 1 010 1 2 fff 试证 1 存在 1 1 2 使 f 2 对于任意实数 必存在 0 使得 1 ff 详解详解 1 令 xf xx 则 x 在闭区间 1 1 2 上连续 且 11 0 22 110 时 矩阵B为正定矩阵 详解详解 因为 T TTT B E A AE A A B 可见B为n阶实对称矩阵 又对于任意的实n维向量x 有 14 T TTTTTT x Bx E A A x x xx A Axx xAxAx 当0 x有 0 0 T T x xAxAx 因此 当0 时 对任意的0 x有 0 T TT x Bx x xAxAx 即B维正定矩阵 十一十一 本题满分 9 分 假设二维随机变量 X Y在矩形 02 01Gx yxy 上服从均匀分布 记 0 0 2 1 1 2 XYXY UV XYXY 1 求 U 和 V 的联合分布 2 求 U 和 V 的的相关系数 r 详解详解 如图所示 因 X Y在矩形区域 G 上服从均匀分布 所以 11 2 42 P XYP XY 1 2 4 P YXY 1 1 0 22 4 P UVP XY XYP YXY 111 1 11 442 P UV 3 由以上可见 UV和U V的分布为 010101 111311 224422 UVUV 于是 33111 416242 E UD UE VD VE UV 故有 1 8 Cov U VE UVE UE V 因此 1 3 Cov U V r D UD V 十二十二 本题满分 7 分 设 129 XX