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1 第二节标准正交基standardorthogonalbasis 第四章欧氏空间 标准正交基 正交矩阵 施密特 Schmidt 正交化方法 2 1 标准正交基standardorthogonalbasis 定义4 6一组两两正交的非零向量组称为正交向量组 由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组 3 定理4 2 正交向量组是线性无关的 证设 1 2 m是正交向量组 并有一组数使k1 1 k2 2 km m 用 i i 1 2 m 对上式的两边做内积 得 k1 k2 km 因 i 所以 0 故ki 0 i 1 2 m 于是向量组 1 2 m线性无关 因 1 2 m两两正交 所以 故ki 0 i 1 2 m 4 定义4 7设 1 2 m是欧氏空间V的一个基 如果 1 2 m两两正交 则称 1 2 m是V的 一个正交基 则称 1 2 m是V的一个标准正交基 如果 1 2 m又都是单位向量 说明 1 自然基e1 e2 en是Rn标准正交基 2 欧氏空间V的一个基 1 2 m是标准正交基 的充要条件是 验证向量组 为R4的一个基 5 3 向量空间V的任意向量 在V中的一个标准正交基 1 2 m下的坐标为 ki i 1 2 m 有 ki ki i 1 2 m 因为 6 二 正交矩阵orthogonalmatrix Rn中的一个标准正交基所构成的矩阵有什么特点呢 观察 R4中的标准正交向量组 构成的矩阵A ATA E 正交矩阵 定义4 8如果n阶实方阵A满足ATA E 则称A为正交矩阵 7 2 A的行列式为 1或 1 正交矩阵的性质 1 A的行 列 向量组都是单位向量且两两正交 从而A的行 列 向量组是n维向量空间Rn的标准正交基 3 A可逆 且A 1 AT 4 A 1及AT也是正交矩阵 8 2 2 1 令 1 1 3 3 1 2 三 施密特 Schmidt 正交化方法 1 将线性无关的向量组 1 2 r正交化 那么 给出向量空间V的任意一个基 1 2 m 是否可由它得到V的一个标准正交基呢 9 r r 1 2 r 1 2 将 1 2 r单位化 令 1 2 r 10 例1已知R3中的一组基为 求R3的一个与基 1 2 3等价的标准正交基 解 利用施密特正交化方法先将 1 2 3正交化 令 1 1 1 1 1 T 2 2 1 3 3 1 2 11 1 2 3为与 1 2 3等价的正交向量组 再将 1 2 3单位化 便得与 1 2 3等价标准正交基为 12 向量的内积 向量的长度 向量的夹角 标准正交基 正交矩阵 2 施密特正交化方法 3 正交矩阵的性质 1 四 本节课小结 13 练习习题4 21 试用施密特正交化法把下列向量组正交单位化 1 1 1 1 1
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