高中数学奥林匹克竞赛知识讲座-不等式.pdf

高中数学奥林匹克竞赛知识讲座高中数学奥林匹克竞赛知识讲座 不等式 不等式 张承宇 广东深圳中学 518012 1 知识点释要知识点释要 不等式知识是数学竞赛的热门考点之一 从国际数学奥林匹克竞赛来看 到现在为止已 举行了 47 届 几乎每届都有不等式的题目 此外还有不少题涉及到不等式或极值 也正是 因为如此 在中国数学奥林匹克冬令营及国家集训队的考试中 不等式和平面几何一样 成了每届必考的内容 在这些题目中 纯不等式的题目大多数是证明题 证明不等式的方法有 很多 常用的方法有 比较法 综合法 分析法 数学归纳法 放缩法 换元法 逐步调 整法等等 此外 构造辅助函数 利用函数的值域或单调性进行证明 也是常用的方法 一 些经典不等式 例如平均值不等式 柯西不等式 排序不等式 契比雪夫不等式等等 均 是证明不等式的有力工具 在竞赛中还出现了不少几何不等式问题 这些问题除了直接使 用几何方法之外 利用变换把几何不等式转化为代数不等式或三角不等式 也是一种有效 的途径 竞赛中的极值问题大多数与不等式有关 通常也可以归结为不等式问题 2 例题分析例题分析 2 1 不等式证明的通法不等式证明的通法 例例 1 设 求证 a b cR a b cR 22 111 6 222 abc b cc aa b 2 6 证明证明 因为原式左边 2abca bccaabbc 22 2 bc caab 3 4 2 abca bccaababc 44 22 ac acacab 3 2 令 所以上式右边 bcx cay abz 222 222 yzxzxyxyzyzx xyzyz 222222 2 zxyxyz zxxy 3 222 6 222 yzzxxyxyz xyzyxzxxy 111111 222222 xyz yzzxx y 222 6 xyz yzzxxy 114114 22 xy zyzzxz x 114 2 z 6 xyxy 6 y 当且仅当xyz 即a时 等号成立 bc 评注评注 换元法常用来去分母 去根号 从而化简数式 对于条件1abc 常用代换 xyz abcx y z yzx 0 0 0 使非奇次不等式变为奇次不等式 对于三角形的 3 条边 常 作代换 使非奇次不等式变为奇次不等式 对于三角形的 3 条边 常 作代换 amn bnl clm m n l amn bnl clm m n l 例例 2 是一个循环小数 例例 2 是一个循环小数 a a k k fm表示a的小数点后第k位开始 连续位上的数字之积 证明存在正整数 m p q 对任意的 均有 s t 11 f st pq sft a 证明证明 不妨设a为纯循环小数 12 0 n aa aa 的循环节为 即如果 存 在 某 个 可 取 n 1 2 in i aai 0 k apqk 那 么 可 设 12 0 1 n in n Ga a aia作 代 换 1 i i a xin G 则 12 x x1 n x 以下证明 一定存在正整数p 对任意的 均有s 123 1 ppp xxx 鉴于 12 1 n x xx 只需对进行证明 如果sn 11 212 n x x xx xx这个乘积值均不大于 1 那么可取npn 若它 们 之 中 至 少 有 一 个 大 于1 则 不 妨 设 12 p x xx 是 其 中 的 最 大 值 有 11 1 pn xx x 11 pn xx x xx 21 1 pn xx 1 x 1 p 这是因为按p的取法可知 上述各式左边除去最初np 个因子 其余各因子这积均不大于 12 p x xx 因此一定存在正整数p 对任意的 均有s 12pp xx 1 p s x 即 12 s ppp s aG aa 从而 12 s qpp s aaaG 同理可证 一定存在正整数 对任意的t 有q 121 t qqq aaaG 即 11 st pq fsft 评注评注 这里采用的证题方法叫做磨光变换 它实质上就是逐步调整法 通常适合对个正 n 数的不等式 其中当个变量相等时 取到等号 本题在设置变换时 保持n个正数的几何平均 不变 n 2 2 不等式证明的特殊技巧不等式证明的特殊技巧 例例 3 0 0 1 2 3 ii abin n B i 1 A i 1 B i A i A 2 B 1 A n B n A n 且ab 则 1122 nn ababk 2 2 1 1 2 sec 42 n ii i nkn ab n 其中约定bb 1n 1 证明证明 如图 1 作边长为k的正n边形 易证 12 n A AA 12 2 2 tan 42 n nA AA nkn s n 边形 分别在上取点 12231 n A A A AA A 12 n B BB 使得 于是 1111212222 ABbB AaA BbB iiiiiinnn ABbB AaA Bb 32 Aa 11 nn B Aa 11 11111 n iii B A B 1 si 2 iii B ABiiii SB AA B 1 1 2 sin 2 ii n ab n 又因为 1112 1 iiin n B ABnA AA i SS 边形 所以 2 1 1 1 2 sintan 24 n ii i nnkn ab nn 2 2 即 2 2 2 1 1 2 tan 2 42 sec 1 2 42 sin 2 n ii i nkn nkn n ab n n n 评注评注 寻找寻找代数问题的几何背景往往有助于加强对问题的深深入理解 从这个证明过程 来看 这个不等式是非常弱的 那如何加强呢 例例 4 若 则 22 0 0 1 2 iiiiii ababcdi n jj ab ijn ab 1 iiii jj cd cd 当 且仅当 1 iiii jjjj abcd ijn abcd 时 等号成立 证明证明 易证以下恒等式 111111 1 2 nn ii ii nnnn ijijji iiii abababa b 1 2 2 11 2 n i i n ii iij n aaa j b 2 i 考虑到 得左边 2 0 0 iiiii ababcd 右边 111111 nnnnnn ijijij ijijij abccd d 11 1 22 2 nn ijjiijij ij aba bccd d 2222 11 1 22 2 nn j i jjiiijij ij ji a a cdcdccd d aa 22 11 1 2 nn jj ii jiji ij jjji aa aa ccdd aaaa 0 若 0 1 0 j i ji jj j i ji jj a a cc aa ijn a a dd aa 即式 式 得 iiji ijji aca c a da d 2 1 2 2 222222 ijjjii acdacd 解得 由式 1 式 2 式 3 可知 当且仅当 ijji aba b 1 iiii jjjj abcd ijn abcd 时 原不等 式等号成立 评注评注 不等式与恒等式有着密切的联系 将一个恒等式略支一些项或一些因式 就可以产生 一个不等式 几乎所有的不等式都可以用这样的方法产生 除题中涉及的2个恒等式外 还有如下2 个恒等式 2 2 2 11 nn ijii ij nii aanaa 1 11111 nnnn ijijii ij niiji a aabab 此外 阿贝尔恒等式也是许多有关和式的不等式的导出恒等式 1 1 1111 nnnk iiniikk iiki abbaabb 2 3 一些著名不等式的应用一些著名不等式的应用 例例5 设 a b c为正数且各不相等 求证 2229 abbccaabc 证明证明 因为 222 4 4 xyx MN y xtytxyt 22 abbcca 2 22 111 abbcca 2 2 11 abbcc 1 abbcca 2 a 1 1 1 9 所以 2229 abbccaabc 又因为各不相等 所以等号不可能成立 从而原不等式成立 a b c 评注评注 9 和 2 这两个常数的巧拆 给 我们提供了运用柯西不等式的条件 2 9 1 1 1 2 abcabbcca 例例 6 已知 求证 0 0 0abc 88 333 111abc abca b c 8 证明证明 不妨设 则0abc 111 bccaab 故 888555 333333333 abcabc a b cb cc aa b 55522 333333333 abcabc c aa bb ccab 2 222222 333333 abcabc acbabc 111 abc 评注评注 这里 3 次用到排序不等式 平均值不等式 赫尔德不等式 契比雪夫不等式等都是常 用的重要不等式 精题集粹精题集粹 1 若正数x满足 则 53 2xxx x的取值范围是 A 36 3x 2 B 66 23x C 6 3x D 3 2x 2 若直线1ykx 与圆相交于两点 且点关于直线 对称 则不等式组 22 40 xykxmy P Q P Q 0 xy 10 0 0 kxy kxmy y 表示的平面区域的面积是 A 2 B 1 C 1 2 D 1 4 3 已知 x y tR 记 222 4 4 xyx MN y xtytxyt 则下面 4 个命题 若3xy t 则MN 若3xy t 则MN 若3xy t 则MN 若3xyt MN 不一定恒成立 其中正确的命题有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 已知 x yR 1 1 nn xynnN 则4xy 的最大值为 5 对 所 有 正 实 数不 等 式 a b c d 1 3 2 3 15 x xxx aa abcdabcd x 恒 成 立 的 实 数 x 6 设 P 为圆 22 1xy 上一定点 点在该圆的内部或圆周上 且 Q RPQR 是边长为 2 3 的 正三角形 则 0的最小值是 2 0 QR 2 7 设 x y z a 为正数 且 a 中任意 2 个数之和大于第 3 个数 且属于区间 0 求证 2222 2cos2cosxyxyyzyz 22 2coszxzx 8 设 求证 0 1 2 i ai n 1 1111 11111 n nnn n i i HaGA 1 Q 其中 H G A Q 分别是这n个正数的调和平均数 几何平均数 算术平均数和平方平均数 参考答案参考答案 1 A 2 D 3 A 4 1 1 14 n n n n 5 15 8 6 2 3 7 证明 因为 所以从空间取一点 可作一 个三面角使得 P PABC APBBPCCPAPAx PBy PCz 如图 2 所示 由 得原不等式成立 ABBCAC 8 证明 仅证左边第一个不等式 可采用磨光变换法 首先注意 如果 那么不 等式显然成立 2 in aaa 为此假设这个不全相等 且最大值设为 最小值为 由于n i a 2 a 1 a 1 12 1 n i i nn aa a 可得 12 aHa 现在作如下的变换 把最小数用 H 来代替 把最大数用 1 a 2 a 12 121 a a H a Ha Ha a 2 易证该式大 于 0 来代替 而其余的数都不变 这样得到另一组数 12 n b b bb 3 即 12 12 1212 3 4 ii a a H bH bba in a Ha Ha a 由于 121 111 1111 aab 2 1 b 1212 1212 111 1111 a Ha Ha a aaHa a H 2 121212 22 1212 0 Ha Ha Ha aHaHa a a Ha a H 所以 121 111 1111 aabb 2 1 更进一步有 11 11 11 nn ii ii ab 如果新数组全相等 命题得证 如果新数组中的数不全相等 同上又可得到一组数 当然有 12 n b bb 12 n c cc 11 11 1 1 nn ii ii bc 特别要指出的是 只要不 相等 那么刚才换进去的