纯态与混合态.pdf

第1 5 卷第2 期 2 0 0 1 年3 月 常熟高专学报 J o u r n a lo fC h a n g s h uC o l l e g e V 0 1 1 5N o 2 M a r 2 0 0 1 纯态与混合态 凌瑞良 常熟高等专科学校物理系 江苏常熟2 1 5 5 0 0 摘要 讨论和介绍了纯态与混合态的区别和联系 关键词 纯态 混合态 几率密度 测量 密度矩阵 中图分类号 0 4 1 3 1文献标识码 A文章编号 1 0 0 8 2 7 9 4 2 0 0 1 0 2 0 0 2 7 0 3 纯态与混合态是高等量子力学中经常碰到的两个概念 它们都被用来描述微观系统状态 至于什么时 候用纯态描述 什么时候用混合态描述 两者主要的区别和联系在哪里 这些问题迄今为止还未有人作过 系统的论述和介绍 鉴于纯态和混合态两概念的重要性 作者试图在本文中分别从两者的定义 微观系统的 几率密度 测量的性质和密度矩阵四个方面就两者的区别与联系作一些论述和介绍 希望对读者有所帮助 l从纯态与混合态的定义看两者的区别与联系 在量子力学中 微观系统的状态是由波函数曲 芦 i 来描写的 它在希耳伯特空间中由单一的态矢量 又称右矢 l 函 所表示 这样的态称为纯态 另外 有时由于统计物理的原因或者是量子力学本身的原因 我们对某一系统状态的了解是不完全的 无法用一个单独的态矢量去描述该系统 即系统并不处于一个确定的态中 我们唯一知道的只能是该系统处 在l 1 l5 f 1 2 一些态上的非负几率是后l 尼2 这时我们就说该系统处于混合态 根据以上定义 可以证明 由同样的波函数可以组成纯态和混合态 例如 若知道每个态为I 妒 l 妒 I 儿 则其线性叠加态I 驴 c I 九 描写的仍是一个纯态 另一方面 根据混合态定义可知 如果知道系统处于I 驴 态的几率为后 处于I 驴 态的几率为后 则存在一个混合态 它将随机地处于 不同的量子态 具体应由二系列量 I 驴1 I 2 I 后l J l 2 后 来描写 由此可见 混合态可以看作是纯态按特定比例的集合 而纯态仅是混合态的特殊情形 2 J 若描写混合 态的彪i 系列中只有一项为1 其他项均为零 则该混合态就是纯态 显然 对于处于混合态的系统来说 我们 所知道的信息要少一些 但仍能知道其中的若干情况 2从微观系统的几率密度看纯态与混合态的区别与联系 设 l 2 为n 个纯态 说明 为了跟普通量子力学对照 本节所述态矢量均不采用狄拉克符号 如 前所述 它们的线性组合驴 c 也是纯态 现在我们考察 戈点处微观系统 粒子的几率密度 收稿日期 2 0 0 0 一0 4 1 7 作者简介 凌瑞良 1 9 4 7 一 男 理论物理学教授 万方数据 2 8 常熟高专学报 2 0 0 1 年 在纯态情况下 根据波函数的统计解释 微观粒子出现在z 处的几率密度为 埘 算 l 驴 芦 I2 Ic I 2 l 芦 l2 c c 芦 巧 芦 而在混合态情况下 微观粒子出现在x 处的几率密度为 叫 石 后 I 巧 芦 l 2 可见在纯态中 埘 戈 表式中存在交叉项 实为各态之间的干涉 而在混合态中 埘 石 表式中就不存在这种 相互干涉 3从测量性质看纯态与混合态的区别与联系 就物理量的测量而言 纯态对应的是一个完全测量 所谓完全测量就是在纯态中可以测得肯定的结果 从数学上讲 就意味着纯态总是某种算符的一个本征函数 假设I 妒1 和I 2 是两个正交归一的态 即 驴lI 1 驴2I 驴2 1 1I 2 o 1 例如I 驴1 和f 驴2 可以是同一可观察量口的两个属于不同的本征值6 l 和6 2 的本征态 如果物理系统处于l 驴 那么 测量指定的可观察量A 所得各种结果的几率可以计算出来 例如 若 u 是公的归一化的本征矢 属于非简并本征值o 则在系统处于态l 时 测量A 得到o 的几率 扬 o 为 舅 口 I I I 2 2 对于态 妒z 我们可以定义一个类似的量彩 口 甥 口 I u I 妒2 I 2 3 现在考虑一个归一化的态l 它是I 妒1 和I 驴2 的线性叠加 即 I 妒 A 1I 1 A 2I 妒2 A l2 lA22 1 4 根据前述纯态与混合态的定义 可知 I 咖 和l 驴 是两个纯态 由 4 式线性叠加构成的l 态亦是纯态 千万可不能认为 4 式中那样的态是两个纯态I 驴1 和I 2 各自以权重IA 1 2 及IA 22 参与构成的混合态 如果是这样 就会导致不正确的物理预言 对于处在 4 式所表示的态I 西 中的系统 假设我们要计算测量可观察量A 得到本征值口 的几率 够 则根据量子力学的假定 这个几率的正确公式为 够 口 l l 驴 l 2 5 因此 够 o 就是几率幅 I 驴 的模平方 根据 2 3 4 式 可得 互歹 o IA 12 互巧 口 IA 22 甥 口 2 R e A 1 A 2 u 5 1 1 u 2 6 如果把态 妒 看作态l i 和态J 妒2 各以权重lA 1 2 和IA 22 参与构成的混合态 那么 此时的够 a 就 应该等于上面已经得到的霸 口n 和埸 n 的加权总和 即 够 o IA l2 幺 o IA 22 互夏 口 7 很明显 7 式与 6 式是不同的 可见 将 4 式表示的态看作混合态是错误的 4从密度矩阵看纯态与混合态的区别与联系 高等量子力学中 利用密度算符分概念能把纯态和混合态两种情况下求力学量平均值的公式统一表 出 然而 利用密度算符又能把纯态和混合态明确而具体的加以区别 极易证明 对于纯态而言 密度算符p 具有p 2 p 唧2 1 的特性 对于混合态而言 密度算符p 的特 性却是p 2 l 各 n I 含2 我们利用此本征矢分别构造纯态和混合态 纯态是Iz I 告 I 一 粤 混合态是 l 一 寻 对纯态 密度算符p lz zl I J 一 譬 I 譬 一I 扎 l 丢小 一l 等小 l 寻 1 一I 丢 若取 s 表象 I 一 则分相应的密度矩阵为 划 锹二H b 豺 对混合态 有p I 丢 I I 一 一I 在上述给定s 表象下 p 相应的密度矩阵为 托 于是 对于纯态有 p 2 丧 乞等 瞻弩 丢b弩 p 删2 邓 1 对于混合态有 肛铽瓢 扰 唧2 詈 进一步计算可得 在纯态情况下 最 n 一丢 n 等矗 s n o 在混合态情况下 n 一丢 最 n o s n o 可曰 纯杰和混合态的性质确是不一样的 参考文献 1 徐在新 高等量子力学 M 上海 华东师范大学出版社 1 9 9 4 2 哈兴林 高等量子力学 M 北京 高等教育出版社 1 9 9 9 P u r eS t a t ea n dM i x e dS t a t e L I N GR u i l i a l l g D e p a n m e n to fp h y s i c s c h a n g s h uc o l l e g e C h a n g s h u2 1 5 5 0 0 c h i n a A b s 旬m c t D j s t i n c t i o na n dr e l a t j o n s h i p0 fp u r es t a t ea n dm i x e ds t a t ea r ed i s c u s s e d K e yw o r d s p u r es t a t e m i x e ds t a t e p r o b a b i l i t yd e n s i t y m e a s u r e m e n t d e n s i t ym a t r i x 万方数据 纯态与混合态纯态与混合态