概率论与数理统计(海南大学)习题三详解.pdf

习题三 习题三 1 已知二维随机变量 X Y的分布函数为 1 0 0 0 xyx y eeexy F x y 其他 求关于X和关于Y的边缘分布函数 X Fx和 Y Fy 解 1 lim lim 100 0 其他 xyxy y X y eeexy FxF xF x y 10 0 其他 x ex 2 lim lim 100 0 其他 xyxy x Y x eeexy FyFyF x y 10 0 其他 y ey 2 将两封信随机地放入编号为 1 2 3 4 的 4 个邮筒内 以随机变量 i X 1 2 3 4i 表示第i个邮筒内信的数目 求 12 XX的分布律 解 12 41 00 164 P xx 12 2 21 01 164 P xx 12 41 10 164 P xx 1 2 12 1 11 444 C P xx 1212 11 0220 4416 P xxP xx 121212 1221220 P xxP xxP xx 3 设事件A B满足 1 4 P A 1 2 P B A 1 2 P A B 令 1 0 A X A 发生 不发生 1 0 B Y B 发生 不发生 求 1 X Y的分布律 2 P XY 解 1 11 42 P AP B AP A B 11 84 P ABP B 001 1 5 8 P XYP ABP AB P AP BP AB 1 01 8 P XYP ABP BP AB 1 10 8 P XYP ABP AP AB 1 11 8 P XYP AB 故 X Y得分布律为 2 0011 513 884 P XYP XYP XY 4 将两个不同的球任意放入编号为 1 2 3 的三个盒中 假设每球放入各盒都是等可 能的 以随机变量X表示空盒的个数 以随机变量Y便是有球盒的最小编号 求 1 X Y 的分布律 2 关于X的边缘分布律 3 关于Y的边缘分布律 解 1 X的可能的值有 1 2 Y的可能的值为 1 2 3 由于每个球有 3 种放法 故样本点总数为 9 2 3 5 设随机变量X在 1 2 3 4 四个数字中等可能地取值 随机变量Y在1X 中等 可能地随机取一整数值 1 求 X Y的分布律 2 关于X的边缘分布律 3 关于Y的 边缘分布律 解 由 11 111 44 P XY 1213140 P XYP XYP XY 111 2122 428 P XYP XY 23240 P XYP XY 111 313233 4312 P XYP XYP XY 340 P XY 4142 P XYP XY 43 P XY 111 44 4416 P XY 故 X Y的分布律及X Y各自的边缘分布律为 1 2 3 6 已知随机变量 X Y的概率密度为 01 01 0 kxyxy f x y 其他 求 1 常数k 2 X Y的联合分布函数 F X Y 解 1 1 f x y dxdy 11 00 1 dxkxydy 4 k 2 xy F x yf s t dsdt i 当0 x或0y时 1 2 00 4 x F x ystdsdtx iv 当1 x且01 y时 1 2 00 4 y F x ystdsdty v 当1 x或1 y时 1 F x y 故 X Y得分布函数为 22 2 2 000 01 01 011 1 01 111 或 xy x yxy F x yxxy yxy xy 7 已知随机变量 X Y的概率密度为 1 6 02 24 8 0 xyxy f x y 其他 求 1 1 3 P XY 2 3 2 P X 3 4 P XY 解 1 31 20 3 21 0 2 3 2 1 136 8 11 6 82 1113 828 x x P XYdyxy dx y xxdy y dy 2 42 3 2 2 315 6 2832 P xdyxy dx 3 在 0 f x y的区域 02 04 Rxy上后直线4 xy 如图右图 并记 02 44 G x P XYPX YG f x y dxdy dxxy dy 8 已知二维随机变量 X Y的概率密度为 8 01 0 xyxy f x y 其他 求 1 求关于X的边缘概率密度 2 求关于Y的边缘概率密度 解 1 当0 x时 0 X fx 当01 x时 1 2 841 X x fxxydyxx 2 4101 0 其他 X xxx fx 2 当0y时 0 Y fy 当01 y时 3 0 84 y Y fyxydxy 3 401 0 其他 Y yy fy 9 已 知 二 维 随 机 变 量 X Y的 概 率 密 度 为 22 2 1 1sinsin 2 xy f x yexy x y 求 1 求关于X的边缘概率密度 2 求关于Y的边缘概率密度 解 1 sinsin 22 222 2 222 1 1 2 111 222 p ppp xy X xyx fxf x y dyexy dy eedye 2 同理 2 2 1 2p y Y fyf x y dxe 10 已知二维随机变量 X Y在以原点为圆心 R为半径的圆上服从均分分布 求 X Y 的概率密度 解 半径为R的圆的面积为 2 pR 故 X Y得概率密度为 xyR f x yRp 222 2 1 0其他 11 已知二维随机变量 X Y在区域 02 01 Dx yxy 上的均匀分布 求 1 求关于X的边缘概率密度 2 求关于Y的边缘概率密度 3 31 22 P XY 4 2 P YX 解 X Y在D上服从均匀分布 1 02 01 2 0 其他 xy f x y 1 又 1 0 1 02 2 0 1 02 2 0 其他 其他 X X fxf x y dy dyx fx x 2 2 0 1 01 2 0 101 0 其他 其他 Y Y fyf x y dx dxy fy y 3 P XYP XP Y 3131313 2222428 4 如下图 2 2 1 2 11 0 1 1 1 2 12 1 33 x P YXPX YG PX YG dxdy 12 已知二维随机变量 X Y的分布律为 Y X 1 2 3 1 0 1 0 3 0 2 2 0 2 0 05 0 15 求 1 1X 条件下 Y的条件分布律 2 1Y 条件下 X的条件分布律 3 2Y 条件 下 X的条件分布律 解 1 1111213 P XPXYP XYP XY 0 10 30 20 6 在1 X条件下 Y的条件分布律为 2 同理可得 10 3 P Y 在1 Y的条件下 X的条件分布律为 3 同理可得 20 35 P Y 在2 Y条件下 X的条件分布律为 13 将某一医药公司 9 月份和 8 月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为 X Y的 分布律为 Y X 51 52 53 54 55 51 0 06 0 05 0 05 0 01 0 01 52 0 07 0 05 0 01 0 01 0 01 53 0 05 0 10 0 10 0 05 0 05 54 0 05 0 02 0 01 0 01 0 03 55 0 05 0 06 0 05 0 01 0 03 1 求关于X的边缘概率密度 2 求关于Y的边缘概率密度 3 当 8 月份的订单数位 51 时 求 9 月份订单数的条件分布律 解 1 X Y关于X的边缘分布律为 55 51 51 52 53 54 55 j P XiP Xi Yji 可得X的边缘分布律为 2 同理可得Y的边缘分布律为 3 51 51 51 P Xi Y P Xi Y P Y 所求分布律为 14 设随机变量 X Y在区域D上服从均匀分布 其中D为x轴 y轴和直线22yx 所围成的三角形区域 求 1 X Y fx y 2 Y X fy x 解 X Y在D上服从均匀分布 1 0 其他 x yD f x y 2 2 0 220101 0 0 其他 其他 x X xxdyx fxf x y dy 2 2 0 2 02 02 2 00 其他其他 y Y y y dxy fyf x y dx 1 X Y Y f x y fx y fy 当02 y时 2 01 22 0 其他 X Y y x yfx y 2 Y X X f x y fy x fx 当01 x时 1 02 1 22 0 其他 Y X yx fy xx 15 设 X Y是二维离散型随机变量 X和Y的边缘分布律如下 X 1 0 1 Y 0 1 p 1 4 1 2 1 4 p 1 2 1 2 判断X和Y是否相互独立 解 1 0000 4 P XYP XP Y X和Y不独立 16 在一个箱子中装有 12 只开关 其中 2 只是次品 在其中取两次 每次任取一只 考虑两种试验 1 放回抽烟 2 不放回抽样 定义随机变量X Y如下 0 1 X 若第一次取出的是正品 若第一次取出的是次品 0 1 Y 若第二次取出的是正品 若第二次取出的是次品 分别就 1 2 两种情况 求关于X的边缘概率密度 关于Y的边缘概率密度和判断X 和Y是否相互独立 解 1 放回抽样时 第一次第二次取到正品 或次品 的概率相同 且两次所 得的结果相互独立 即有 51 0011 66 P XP YP XP Y 于是有 25 0000 36 P XYP XP Y 5 0101 36 P XYP XP Y 5 1010 36 P XYP XP Y 1 1111 36 P XYP XP Y 故所求分布律为 显然 X和Y相互独立 2 不放回抽样时 由乘法公式 0 1 P Xi YjP Yj Xii j 知 X Y的分布律为 由题意知 X Y的分布律分别为 45 0000 66 P XYP XP Y X和Y不相互独立 17 已知随机变量和相互独立且服从同一种分布 其分布律为 X 0 1 2 p 0 4 0 3 0 3 求二维随机变量 X Y的分布律 解 18 已知二维随机变量 X Y的概率密度为 2 1 01 02 3 0 xxyxy f x y 其他 求 1 求关于X的边缘概率密度 2 求关于Y的边缘概率密度 3 判断X和Y是否相 互独立 解 1 当01 x时 有 2 22 0 2 2 33 X xy fxf x y dyxdyxx 2 2 201 3 0 其他 X xx fx 2 当02 y时 有 1 2 0 111 336 Y fyf x y dxxxy dxy 11 02 36 0 其他 Y yy fy 3 XY f x yfxfy X和Y不相互独立 19 已知二维随机变量 X Y的概率密度为 2 0 1 01 0 cxyxy f x y 其他 1 求关于X的边缘概率密度 2 求关于Y的边缘概率密度 3 判断X和Y是否相互独 立 解 1 f x y dxdy 11 2 00 1 dxcxy dy 6 c 1 1 2 0 201601 0 0 其他 其他 X xxxy dyx fxf x y dy 2 1 22 0 601301 0 0 其他 其他 Y xy dxyyy fyf x y dx 3 XY f x yfxfy X和Y相互独立 20 已知二维随机变量 X Y的概率密度为 2 3 01 02 0 cxxyxy f x y 其他 判断X和Y是否相互独立 解 1 f x y dxdy 12 2 00 31 dxcxxy dy 1 3 c 又 2 22 0 11 3016201 33 00 其他其他 X xxy dyxxxx fxf x y dy 1 2 0 11 302102 332 00 其他其他 Y y xxy dxyy fyf x y dx 显然 XY f x yfxfy X和Y不相互独立 21 设随机变量X Y相互独立 X服从 0 0 2 上的均匀分布 Y服从参数为5的指数分 布 求 1 X Y的概率密度 f x y 2 10 1 1 PXY 解 X服从 0 0 2上的均匀分布 5 00 2 0 其他 y Y ey fy 1 X和Y相互独立 5 2500 20 0 其他 y XY exy f xfxfy 2 1 55 0 11 1011101151 22 y PXYPXP Yedye 22 已知二维随机变量 X Y的分布律为 Y X 0 1 0 110 310 1 310 310 求 1 XY的分布律 2 min ZX Y 的分布律 解 1 XY可能的取值为 0 和 1 且 3 111 10 P XYP XY 7 011 10 P XYP XY 2 Z可能的取值为 0 和 1 7 0000110 10 P ZP XYP XYP XY 3 111 10 P ZP XY 23 设两个相互独立的随机变量X与Y的分布律为 X 1 3 Y 2 4 p 0 3 0 7 p 0 6 0 4 求随机变量ZXY 的分布律 解 ZXY可能的取值为 3 5 7 其中 33121203 06018 P ZP XYP XYP XP Y 551432 P ZP XYP XYP XY 1432 P XP YP XP Y 0 30 40 70 60 54 7734 P ZP XYP XP Y 0 70 40 28 24 设随机变量X与Y相互独立 且 0 1 XU 0 1 YU 求ZXY 的概 率密度 解 0 1 XU 1 01 0 其他 X x fx 同理可得 1 01 0 其他 Y y fy 又 X和Y相互独立 1 01 01 0 其他 XY xy f x yfxfy 要求 ZXY的密度函数 可先求Z的分布函数 再求导可得Z 的密度函数 1 Z的分布函数 ddd Z FP ZP XY d d xy f x y dxdy 1 当0d 时 0dd Z FP XY 2 当01d 时 2 1 2 ddd Z FP XY 3 当12d 时 2 1 12 2 ddd Z FP XY 4 当2d 时 1d Z F 综上 ZXY的分布函数为 2 2 00 1 01 2 1 1212 2 12 d dd d dd d Z F 2 利用性质 dd ZZ fF 得 ZXY的密度函数为 01 212 0 dd ddd 其他 Z f 25 设随机变量 X Y的概率密度为 3 01 0 0 xxyx f x y 其他 求ZXY 的概率密度解 ZXY的分布函数为 d d Z xy Ff x y dxdy 1 当0d 时 0d Z F 2 当01d 时 1 00 333 d dd d xx Z x D Fxdxdydxxdydxxdy 1 2 0 33 d d d x dxx dx 33 33 22 ddd 3 31 22 dd 如下图所示 3 当1d 时 11 2 000 331d x Z Fdxxdyx dx 综上所述 得 3 00 31 01 22 11 d dddd d Z F 由 d d Z Z dF f d 得 ZXY的概率密度为 2 3 101 2 0 dd d 其他 Z f 26 设随机变量 X Y的概率密度为 8 0 01 0 xyxyy f x y 其他 求ZXY 的概率密度 解 由公式得 1 0 11dd d Z ffydyfydy yyyy 且仅当 001 xyy时 f x y取非零值 故 当01d时 0d Z f 故 ZXY的概率密度为 401 0 ddd d x时 i X fx才有非零值 故上述积分仅当0 y xyx Y xeyx edx y fy y 2 0 0 00 y y eyxx dx y y 3 1 0 3 00 y y ey y 2 3 dd ZXY ffx fx dx 3 0 1 0 3 00 d d dd d xx xex edx 32234 0 1 330 3 00 d d dddd d exxxxdx 53 1 0 5 00 dd d e 28 设随机变量 12 n XXX 相互独立 且服从0 1 分布 即分布律为 i X 0 1 概率 1 p p 其中1 2 in 证明随机变量 12n XXXX 服从参数为n p的二项分布 B n p 证明 X可取 0 1 2 n 且 12 n P XkP XXX中有k个取1 nk个取