《矩阵论》研究生教学课件

矩阵理论参考教材：1、矩阵论，许立炜，赵礼峰编著，科学出版社，2011。2、矩阵分析（第3版），史荣昌，魏丰编著，北京理工大学出版社，2013。3、矩阵分析，RogerA.Horn等，机械工业出版社，2014。4、矩阵论，程云鹏，张凯院等，西北工业大学出版社，2012。5、矩阵论，张凯院，徐仲等，科学出版社，2013学时：32学时考试成绩：平时成绩+期末成绩第一节线性空间的概念一线性空间的定义与例子定义

设是一个非空的集合，是一个数域，在集合中定义两种代数运算,一种是加法运算,用来表示;另一种是数乘运算,用来表示,并且这两种运算满足下列八条运算律：（1）加法交换律（2）加法结合律

（3）零元素在中存在一个元素，使得对于任意的都有（4）负元素对于中的任意元素都存在一个元素使得

则称是的负元素.

（5）数1

（6）（7）（8）称这样的集合为数域上的线性空间。例1

全体实函数集合构成实数域上的线性空间。例2

复数域上的全体型矩阵构成的集合为上的线性空间。

例3

实数域上全体次数小于或等于的多项式集合构成实数域上的线性空间.例4

全体正的实数在下面的加法与数乘的定义下构成实数域上的线性空间：

例5

表示实数域上的全体无限序列组成的的集合。即在中定义加法与数乘：则为实数域上的一个线性空间。二线性空间的基本概念及其性质定义

线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩.基本性质：（1）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关部分无关；部分相关整体相关；（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；（5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩；（6）等价的向量组秩相同。例1

实数域上的线性空间中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的实数。例2

实数域上的线性空间中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的实数。例3

实数域上的线性空间中，函数组也是线性无关的。例4

实数域上的线性空间空间中，函数组与函数组都是线性相关的函数组。第二节线性空间的基底，维数与坐标变换定义设为数域上的一个线性空间。如果在中存在个线性无关的向量使得中的任意一个向量都可以由线性表出:则称为的一个基底；为向量在基底下的坐标。此时我们称为一个维线性空间，记为例1

实数域上的线性空间中向量组与向量组

都是的基。是3维线性空间。例2

实数域上的线性空间中的向量组与向量组都是的基。是4维线性空间。例3

实数域上的线性空间中的向量组

与向量组都是的基底。的维数为注意：

通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义,线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。例4

在4维线性空间中，向量组

与向量组是其两组基，求向量在这两组基下的坐标。解：设向量在第一组基下的坐标为于是可得解得同样可解出在第二组基下的坐标为由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。基变换与坐标变换设（旧的）与（新的）是维线性空间的两组基底，它们之间的关系为

将上式矩阵化可以得到下面的关系式：称阶方阵是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可以写成定理：过渡矩阵是可逆的。任取，设在两组基下的坐标分别为

与，那么我们有：称上式为坐标变换公式。例1

在4维线性空间中，向量组与向量组为其两组基，求从基到基的过渡矩阵，并求向量在这两组基下的坐标。解：容易计算出下面的矩阵表达式向量第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得在第二组基下的坐标为

第三节

线性空间的子空间定义设为数域上的一个维线性空间，为的一个非空子集合，如果对于任意的以及任意的都有那么我们称为的一个子空间。例1

对于任意一个有限维线性空间，它必有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间以及线性空间本身.例2

设，那么线性方程组的全部解为维线性空间的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。例3

设为维线性空间中的一组向量，那么非空子集合

构成线性空间的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称为该子空间的生成元。的基底即为向量组

的维数即为向量组

的秩。例4

实数域上的线性空间中全体上三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成的子空间，子空间的交与和两个子空间的交:

两个子空间的和:子空间交与和的性质

:1.若和都是的子空间,则和也是的子空间.2.3.4.两个子空间的直和:如果中的任一向量只能唯一表示为子空间的一个向量与子空间的一个向量的和,则称为与的直和.

矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量

定义设是数域上的线性空间的一个线性变换，如果对于数域中任一元素，中都存在一个非零向量，使得

那么称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量。现在设是数域上的维线性空间，中取定一组基，设线性变换在这组基下的矩阵是，向量在这组基下的坐标是，。那么我们有

由此可得定理：

是的特征值是的特征值.

是的属于的特征向量是的属于的特征向量.

因此，只要将的全部特征值求出来，它们就是线性变换的全部特征值；只要将矩阵的属于的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是的属于的全部特征向量。例1

设是数域上的3维线性空间，是上的一个线性变换，在的一个基下的矩阵是求的全部特征值与特征向量。解：的特征多项式为所以的特征值是（二重）与。对于特征值，解齐次线性方程组得到一个基础解系：从而的属于的极大线性无关特征向量组是于是属于3的全部特征向量是

这里为数域中不全为零的数对。对于特征值，解齐次线性方程组得到一个基础解系：

从而的属于的极大线性无关特征向量组是于是的属于的全部特征向量这里为数域中任意非零数。

矩阵的相似与相似对角化相似矩阵的性质：相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。矩阵的特征值与特征向量的性质：（1）阶矩阵的属于特征值的全部特征向量再添上零向量，可以组成的一个子空间，称之为矩阵的属于特征值的特征子空间，记为，不难看出正是特征方程组的解空间。（2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。（3）设是的个互不同的特征值，的几何重数为，是对应于的个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量仍然是线性无关的。（4）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。（5）一个特征向量不能属于不同的特征值。矩阵（线性变换）的相似对角化定义

数域上的维线性空间的一个线性变换称为可以对角化的，如果中存在一个基底，使得在这个基底下的矩阵为对角矩阵。我们在中取定一个基底，设线性变换在这个基下的矩阵为，那么可以得到下面的定理定理：可以对角化可以对角化。定理：阶矩阵可以对角化的充分必要条件是

有个线性无关的特征向量。定理：阶矩阵可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。例1

判断矩阵是否可以对角化？解：先求出的特征值于是的特征值为（二重）由于是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑于是从而不可以相似对角矩阵。例2

设是数域上的3维线性空间，是上的一个线性变换，在的一个基下的矩阵是判断是否可以对角化？解：根据前面例题的讨论可知有3个线性无关的特征向量:因此可以对角化，在这组基下的矩阵是由基到基的过渡矩阵是于是有1.4线性变换定义：设V是数域K上的线性空间，T:V→V为V上的映射，则称T为线性空间V上的一个变换或算子。若变换满足：对任意的k,l∈K和α,β∈V，有则称T为线性变换或线性算子。线性变换的基本性质：（1）T(0)=0；（2）T(-x)=-T(x)；（3）线性相关的向量组的象仍然是线性相关的。线性变换的例子例1：R2空间上的如下变换为线性变换（该变换还是正交变换）。例2：设Pn为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运算：δ(f(t))=f’(t)

为Pn到Pn的线性变换。例3：V为平方可积复函数构成的空间，则傅里叶变换：

为V上的线性变换。线性变换的性质性质1

设T

是V的线性变换，则性质2

线性变换保持线性组合与线性关系式不变。性质3

线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。注意：线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的

向量组。性变换。证明：例3

设是线性空间V的一组向量，T是V的一个线线性变换的运算一、线性变换的加法和数量乘法定义1

设，B∈L(V)，对A与B

的和

A+B

定义为：结论1

对∀A，B∈L(V)，有A+B∈L(V)。线性变换的加法满足以下运算规律：(1)

A

+(B+C)=(A+B)+C(2)A+B=B+A定义2

设A∈L(V)，k∈P，对k与A

的数量乘积

kA

定义为：结论2

对∀A∈L(V)，k∈P有kA∈L(V)。线性变换的数量乘法满足以下运算规律：(1)(kl)A=k(lA)(2)(k+l)A=kA+lA(3)k(A+B)=kA

+kB(4)1A=A结论3

设V是数域P上的线性空间，L(V)对以上定义的加法和数量乘法也构成数域P上的一个线性空间。定义3

设A,B∈L(V)，对A

与B

的乘积

AB

定义为：结论4

对∀A,B∈L(V)，有AB∈L(V)。线性变换的乘法满足以下运算规律：(1)A(

B+C

)=AB+AC(2)(B

+C)A

=BA

+CA(3)A(BC)=(AB)C(4)k(

AB)=(kA

)B=A

(kB)注意：线性变换的乘积不满足交换律。例1

在R2中，设A(x,y)=(y,x)，B(x,y)=(0,x)，则A,B是R2中的线性变换，求A+B，AB，BA，3A-2B。二、线性变换乘法1.5线性变换的矩阵表示以下讨论均假设线性空间为K上的有限维空间，并以上标表示维数，如Vn、Wm等。设映射T为Vn上的线性变换，为空间的基底，则可以用该基底线性表示，即

写成矩阵形式对Vn中的任意元素x，设x和Tx的基底表示如下

于是有：

得到：对Vn上的线性变换T，在基底下可以用矩阵来表示：定理：设Vn上的变换T在基底下对应的矩阵为A，则dimR(T)=rank(A)dimN(T)=n-rank(A)（由AX=0立即得到）单位变换对应单位矩阵零变换对应零矩阵逆变换对应逆矩阵两个变换的乘法对应于矩阵的乘法两个变换的加法对应于矩阵的加法设Vn上的线性变换T在两组基底和下对应的矩阵分别为A和B，两个基底之间的过渡矩阵为P，即：

于是即得结论：相似矩阵表示相同的线性变换的过渡矩阵为X，于是即同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的。定理4

设线性空间V中线性变换T

在两组基和下的矩阵分别是A和B，从到线性变换在不同基下的矩阵之间的关系：B=X-1AX。1.6线性变换的值域、核与不变子空间一、值域与核的概念定义1

设T

是数域P上线性空间V的一个线性变换，V中全体向量在T下的全体像组成的集合称为T的值域，记为TV

或V中所有被T

变成零向量的原像组成的集合称为T

的核，记为T-1(0)或Ker

T

，即TV

的维数称为T

的秩，T-1(0)的维数称为T

的零度。定理1

设TV

与T-1(0)都是V的子空间。Im

T，即二、值域与核的性质的一组基，T在这组基下的矩阵为A，则2)T

的秩=A的秩定理3

设T

是n维线性空间V的一个线性变换，则TV的一组基的原像与T-1(0)的一组基合起来就是V的一组基，由此有T

的秩+T

的零度=n注意：不一定有AV+A-1(0)=V推论：有限维线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是定理2

设T

是n维线性空间V的一个线性变换，是V1)它也是满射。？？？？？？？？？三、不变子空间定义1

设A

是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的子空间，如果W中的向量在A

中的像仍在W中，即则称W是A

的不变子空间，简称为A–子空间。例1

线性空间V

和零空间{0}是V上任意线性变换的不变子空间。平凡不变子空间例2

线性变换A

的值域AV

和核A-1(0)都是A

的不变子空间。例3

线性变换A

的特征子空间是A

的不变子空间。例4

任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间。

第二章内积空间定义：设是实数域上的维线性空间，对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为与的内积，记为，并且要求内积满足下列运算条件：这里是中任意向量，为任意实数,只有当时，我们称带有这样内积的维线性空间为欧氏空间。例1

在中，对于规定容易验证是上的一个内积，从而成为一个欧氏空间。如果规定容易验证也是上的一个内积,这样又成为另外一个欧氏空间。例2

在维线性空间中，规定容易验证这是上的一个内积，这样对于这个内积成为一个欧氏空间。例3

在线性空间中，规定容易验证是上的一个内积，这样对于这个内积成为一个欧氏空间。定义：设是复数域上的维线性空间，对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一个复数，这个复数称为与的内积，记为，并且要求内积满足下列运算条件：这里是中任意向量，为任意复数，只有当时，我们称带有这样内积的维线性空间为酉空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。例1

设是维复向量空间，任取规定容易验证是上的一个内积，从而成为一个酉空间。例2

设表示闭区间上的所有连续复值函数组成的线性空间，定义容易验证是上的一个内积，于是便成为一个酉空间。例3

在维线性空间中，规定其中表示中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证是上的一个内积，从而连同这个内积一起成为酉空间。内积空间的基本性质：欧氏空间的性质：酉空间的性质：定义：设是维酉空间，为其一组基底，对于中的任意两个向量那么与的内积令称为基底的度量矩阵，而且定义：设，用表示以的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，记则称为的复共轭转置矩阵。不难验证复共轭转置矩阵满足下列性质：定义：设,如果，那么称为Hermite矩阵；如果，那么称为反Hermite矩阵。例

判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。熟悉下列概念:（1）实对称矩阵（2）反实对称矩阵（3）欧氏空间的度量矩阵（4）酉空间的度量矩阵内积空间的度量定义：设为酉（欧氏）空间，向量的长度定义为非负实数例在中求下列向量的长度解：根据上面的公式可知一般地，我们有:对于中的任意向量其长度为这里表示复数的模。定理：向量长度具有如下性质当且仅当时，例1：在线性空间中，证明例2

设表示闭区间上的所有连续复值函数组成的线性空间，证明：对于任意的，我们有定义：设为欧氏空间，两个非零向量的夹角定义为于是有定理：因此我们引入下面的概念;定义：在酉空间中，如果，则称与正交。定义：长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量，向量总是单位向量，称此过程为单位化。标准正交基底与Schmidt正交化方法定义设为一组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。定义

如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。例

在中向量组与向量组都是标准正交向量组。定义：在维内积空间中，由个正交向量组成的基底称为正交基底；由个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。注意：标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发现这一问题。定理：向量组为正交向量组的充分必要条件是

向量组为标准正交向量组的充分必要条件是定理：正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。Schmidt正交化与单位化过程:

设为维内积空间中的个线性无关的向量，利用这个向量完全可以构造一个标准正交向量组。第一步正交化容易验证是一个正交向量组.第二步单位化显然是一个标准的正交向量组。例1

运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组。解：先正交化再单位化那么即为所求的标准正交向量组。例2

求下面齐次线性方程组其解空间的一个标准正交基底。解：先求出其一个基础解系下面对进行正交化与单位化：即为其解空间的一个标准正交基底。

酉变换与正交变换定义：设为一个阶复矩阵，如果其满足则称是酉矩阵，一般记为设为一个阶实矩阵，如果其满足则称是正交矩阵，一般记为例：是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵（5）设且，如果则是一个酉矩阵。通常称为Householder矩阵。是一个酉矩阵酉矩阵与正交矩阵的性质：设，那么设，那么定理：设，是一个酉矩阵的充分必要条件为的个列（或行）向量组是标准正交向量组。定义：设是一个维酉空间，是的一个线性变换，如果对任意的都有则称是的一个酉变换。定理：设是一个维酉空间，是的一个线性变换，那么下列陈述等价：（1）是酉变换；（3）将的标准正交基底变成标准正交基底；（4）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。注意：关于正交变换也有类似的刻划。

幂等矩阵定义：设，如果满足则称是一个幂等矩阵。例是一个分块幂等矩阵。

幂等矩阵的一些性质：设是幂等矩阵，那么有（1）都是幂等矩阵；（2）（3）（4）的充分必要条件是（5）定理：设是一个秩为的阶矩阵，那么为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在使得推论：设是一个阶幂等矩阵，则有定义：设为一个维标准正交列向量组，那么称型矩阵为一个次酉矩阵。一般地将其记为定理：设为一个阶矩阵，则的充分必要条件是存在一个型次酉矩阵使得其中。引理：的充分必要条件是证明：设，那么必要性：如果为一个维标准正交列向量组，那么充分性：设，那么由

，可得即这表明是一个维标准正交列向量组。定理的证明：必要性：因，故有个线性无关的列向量，将这个列向量用Schmidt方法得出个两两正交的单位向量，以这个向量为列构成一个型次酉矩阵

。注意到的个列向量都可以由的个列向量线性表出。即如果那么可得其中由于向量组的秩为，所以的秩为。下面证明。由可得，即注意到，所以即因为，所以，这样得到于是充分性：若，则Schur引理与正规矩阵定义：设，若存在

，使得则称酉相似(或正交相似)于定理(Schur引理)：任何一个阶复矩阵酉相似于一个上(下)三角矩阵。证明：用数学归纳法。的阶数为1时定理显然成立。现设的阶数为时定理成立，考虑的阶数为时的情况。取阶矩阵的一个特征值，对应的单位特征向量为，构造以为第一列的阶酉矩阵，因为构成的一个标准正交基，故，因此其中是阶矩阵，根据归纳假设，存在阶酉矩阵满足(上三角矩阵)令那么注意:等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵的全部特征值.定理(Schur不等式):设为矩阵的特征值,那么例:

已知矩阵试求酉矩阵使得为上三角矩阵.解:首先求矩阵的特征值所以为矩阵的三重特征值.当时,有单位特征向量再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量再解与内积为零的方程组求得一个单位解向量取计算可得令再求矩阵的特征值所以为矩阵的二重特征值.当时,有单位特征向量再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量取计算可得令于是有则矩阵即为所求的酉矩阵.

正规矩阵定义:

设,如果满足那么称矩阵为一个正规矩阵.设,如果同样满足那么称矩阵为一个实正规矩阵.例:

(1)

为实正规矩阵

(2)其中是不全为零的实数,容易验证这是一个实正规矩阵.(3)这是一个正规矩阵.(4)H-阵,反H-阵,正交矩阵,酉矩阵,对角矩阵都是正规矩阵.正规矩阵的性质与结构定理引理1:

设是一个正规矩阵,则与酉相似的矩阵一定是正规矩阵.引理2:设是一个正规矩阵,且又是三角矩阵,则必为对角矩阵.由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理定理:

设,则是正规矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵使得其中是矩阵的特征值.推论1:阶正规矩阵有个线性无关的特征向量.推论2:正规矩阵属于不同特征值的征向量彼此正交.例1:

设求正交矩阵使得为对角矩阵.解:

先计算矩阵的特征值其特征值为对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系现在将单位化并正交化,得到两个标准正交向量对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将这三个标准正交向量组成矩阵则矩阵即为所求正交矩阵且有例2:

设求酉矩阵使得为对角矩阵.解:先计算矩阵的特征值其特征值为对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系现在将单位化,得到一个单位向量对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将这三个标准正交向量组成矩阵则矩阵即为所求酉矩阵且有例3

证明:(1)H-矩阵的特征值为实数;H-矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的.(2)反H-矩阵的特征值为零或纯虚数.(3)酉矩阵的特征值模长为1.定理:

设是正规矩阵,则

(1)是H-阵的充要条件是的特征值为实数.(2)是反H-阵的充要条件是的特征值的实部为零.(3)是U-阵的充要条件是的特征值的模长为1.

注意:

正规矩阵绝不仅此三类.例4:设是一个反H-阵,证明:是U-阵.证明:根据U-阵的定义由于是反H-阵,所以,这样于是可得这说明为酉矩阵.例5:设是一个阶H-阵且存在自然数使得,证明:.证明:由于是正规矩阵,所以存在一个酉矩阵使得于是可得从而这样即

Hermite矩阵及H-矩阵Hermite矩阵的基本性质引理:

设,则

(1)都是H-矩阵.(2)是反H-阵.(3)如果是H-阵,那么也是H-阵,

为任意正整数.(4)如果是可逆的H-阵,那么也是可逆的H-阵.(5)如果是H-阵(反H-阵),那么是反H-矩阵(H-阵),这里为虚数单位.(6)如果都是H-阵,那么也是H-阵,这里均为实数.(7)如果都是H-阵,那么也是H-阵的充分必要条件是定理:

设,则

(1)是H-阵的充分必要条件是对于任意的是实数.(2)是H-阵的充分必要条件是对于任意的阶方阵为H-阵.H-矩阵的结构定理定理:

设,则是H-阵的充分必要条件是存在一个酉矩阵使得其中,此定理经常叙述为:H-阵酉相似于实对角矩阵.推论:

实对称阵正交相似于实对角矩阵.

例:

设为一个幂等H-阵,则存在酉矩阵使得证明:由于为一个H-阵,所以存在酉矩阵使得又由于为一个幂等H-阵,从而

或将1放在一起,将0放在一起,那么可找到一个酉矩阵使得这里为矩阵的秩.Hermite二次型(Hermite二次齐次多项式)定义:

由个复变量,系数为复数的二次齐次多项式称为Hermite二次型,这里如果记那么上面的Hermite二次型可以记为称为Hermite二次型对应的矩阵

,并称的秩为Hermite二次型的秩.对于Hermite二次型作可逆的线性替换则这里Hermite二次型中最简单的一种是只含有纯的平方项无交叉项的二次型我们称这种形状的Hermite二次型为标准形的Hermite二次型.定理:

对于任意一个Hermite二次型必存在酉线性替换可以将Hermite二次型化为标准形其中是H-矩阵的特征值.进一步,我们有定理:

对于Hermite二次型必存在可逆的线性替换可以将Hermite二次型化为其中.我们称上面的标准形为Hermite二次型的规范形.例:

写出下面Hermite二次型的矩阵表达式,并用酉线性替换将其化为标准形.解:

正定Hermite二次型与正定Hermite矩阵定义:

对于给定的Hermite二次形如果对于任意一组不全为零复数都有则称该Hermite二次形为正定的(半正定的),并称相应的H-矩阵为正定的(半正定的).

例:

判断下列Hermite二次形的类别

与正定的实二次形一样,关于正定的Hermite二次形我们有定理:

对于给定的Hermite二次形下列叙述是等价的(1)是正定的

(2)对于任何阶可逆矩阵都有为正定矩阵

(3)的个特征值都大于零

(4)存在阶可逆矩阵使得

(5)存在阶可逆矩阵使得

(6)存在正线上三角矩阵使得,且此分解是唯一的.例1:

设是一个正定的H-阵,且又是酉矩阵,则证明:

由于是一个正定H-阵,所以必存在酉矩阵使得由于又是酉矩阵,所以这样必有,从而例2:

设是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:与的特征值实部为零.

证明:

设为矩阵的任意一个特征值,那么有.由于是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵使得将其代入上面的特征多项式有这说明也是矩阵的特征值.另一方面注意矩阵为H-反阵,从而实部为零.同样可以证明另一问.例3:

设是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:是可逆矩阵.证明:

由于是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵使得这表明是可逆的.于是另一方面注意矩阵仍然为正定H-阵,而矩阵为H-反阵,由上面的例题结论可知矩阵的特征值实部为零,那么矩阵的特征值中不可能有零,从而定理:

对于给定的Hermite二次形下列叙述是等价的:

(1)是半正定的(2)对于任何阶可逆矩阵都有为半正定矩阵(3)的个特征值全是非负的存在阶可逆矩阵使得(5)存在秩为的阶矩阵使得定理:

设是正定(半正定)Hermite矩阵,那么存在正定(半正定)Hermite矩阵使得例1:

设是一个半正定的H-阵且,试证明:证明:

设为的全部特征值,由于是半正定的,所以.于是有例2:

设是一个半正定的H-阵且是一个正定的H-阵,证明:证明:

由于是一个正定的H-阵,所以存在可逆矩阵使得这样有注意矩阵仍然是一个半正定的H-阵,有上面的例题可知从而例3:

证明：（1）半正定H-矩阵之和仍然是半正定的;

（2）半正定H-矩阵与正定H-阵之和和是正定的;证明：设都是半正定H-阵，那么二者之和仍然是一个H-阵，其对应的Hermite二次型为其中由于都是半正定H-矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数我们有这说明为一个半正定H-阵。类似地，可以证明另外一问。例4:

设都是阶正定H-阵，则的根全为正实数。证明：因为是正定的，所以存在可逆矩阵使得另一方面注意到是一个正定H-阵，从而有的根全为正实数。又由于故的根全为正实数。定理:

设是一个（半）正定H-阵，那么必存在唯一的一个（半）正定H-阵，使得

Hermite矩阵偶在复合同（复相合）下的标准形例：设均为阶Hermite-阵,且又是正定的，证明必存在使得与同时成立，其中是与无关的实数。证明：由于是正定H-阵，所以存在使得又由于也是H-阵，那么存在

使得其中是H-阵的个实特征值。

如果记，则有下面证明个实特征值与无关。令，那么是特征方程的特征根。又由于因此是方程的根。它完全是由决定的与无关。由此可以得到下面的H-阵偶标准形定理：定理：对于给定的两个二次型其中是正定的，则存在非退化的线性替换可以将同时化成标准形其中是方程的根，而且全为实数。定义：设均为阶Hermite-阵,且又是正定的，求使得方程有非零解的充分必要条件是关于的次代数方程方程成立。我们称此方程是相对于的特征方程。它的根称为相对于的广义特征值。将代入到方程中所得非零解向量称为与相对应的广义特征向量。广义特征值与广义特征向量的性质;命题：（1）有个广义特征值；（2）有个线性无关的广义特征向量，即（3）这个广义特征向量可以这样选取，使得其满足其中为Kronecker符号。

第3章－矩阵与矩阵的Jordan标准形矩阵的基本概念定义：设为数域上的多项式，则称

为多项式矩阵或矩阵。定义

如果矩阵中有一个阶子式不为零，而所有阶子式(如果有的话)全为零，则称的秩为，记为零矩阵的秩为0。定义

一个阶矩阵称为可逆的，如果有一个阶矩阵，满足这里是阶单位矩阵。称为矩阵的逆矩阵，记为。定理

一个阶矩阵可逆的充要必要是一个非零的常数。定义下列各种类型的变换，叫做矩阵的初等变换：

(1)矩阵的任二行(列)互换位置；

(2)非零常数乘矩阵的某一行(列)；

(3)矩阵的某一行(列)的倍加到另一行(列)

上去，其中是的一个多项式。对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应得三种矩阵称为初等矩阵

定理

对一个的矩阵的行作初等行变换，相当于用相应的阶初等矩阵左乘,对的列作初等列变换，相当于用相应的阶初等矩阵右乘。定义如果经过有限次的初等变换之后变成，则称与等价，记之为定理

与等价的充要条件是存在两个可逆矩阵与，使得

矩阵Smith标准形的存在性

定理

任意一个非零的型的矩阵都等价于一个对角矩阵，即

其中是首项系数为1的多项式且称这种形式的矩阵为的Smith标准形。称为的不变因子。例1将其化成Smith标准形。解：例2将其化成Smith标准形。解：例3将其化为Smith标准形。解：将其化为Smith标准形。例4解：矩阵标准形的唯一性定义：为一个矩阵且对于任意的正整数，，必有非零的阶子式，的全部阶子式的最大公因式称为的阶行列式因子。显然，如果，则行列式因子一共有个。例1

求的各阶行列式因子。解：由于，所以。显然而且其余的7个2阶子式也都包含作为公因子，所以另外注意：观察三者之间的关系。定理1：等价（相抵）矩阵有相同的各阶行列式因子,从而有相同的秩。设矩阵的Smith标准形为显然有：容易计算上面的标准形的各阶行列式因子为由于与上面的Smith标准形具有相同的各阶行列式因子，所以的各阶行列式因子为而又是由这些行列式因子唯一确定的，于是我们得到定理2：的Smith标准形是唯一的。例1

求下列矩阵的Smith标准形。解：（1）容易计算出（2）首先观察此矩阵的元素排列规律，显然下面看阶行列式因子。有一个阶子式要注意，即容易计算出从而(3)定理3

矩阵与等价的充要条件是对于任何的，它们的阶行列式因子相同。定理4

矩阵与等价的充要条件是与有相同的不变因子。与一般的数字矩阵一样，我们有下面的推论：推论1

矩阵可逆的充要条件为与单位矩阵等价。推论2

矩阵可逆的充要条件为可以表示成一系列初等矩阵的乘积。初等因子和矩阵的相似设矩阵的不变因子为在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：其中是互异的复数，是非负整数。因为，所以满足如下关系定义在上式中，所以指数大于零的因子称为矩阵的初等因子例1

如果矩阵的不变因子为则的初等因子为例2

如果矩阵的秩为4，其初等因子为求的Smith标准形。解：首先求出的不变因子从而的Smith标准形为定理1

阶矩阵与等价的充要条件是它们有相同的秩且有相同的初等因子。定理2

设矩阵为准对角形矩阵，则与的初等因子的全体是的全部初等因子。此定理也可推广成如下形式：定理3若矩阵则各个初等因子的全体就是的全部初等因子。例1

求矩阵的初等因子，不变因子与标准形。解：记那么对于，其初等因子为由上面的定理可知的初等因子为因为的秩为4，故的不变因子为因此的Smith标准形为例2

判断下面两个矩阵是否等价？例3

求下面矩阵不变因子例4

求下列矩阵的行列式因子与不变因子数字矩阵的相似与矩阵的等价定理1：设是两个阶的数字矩阵，那么与相似的充分必要条件为它们的特征矩阵与等价。定义：对于数字矩阵，我们称的不变因子为的不变因子