恒成立问题解法探究.doc

正阳高中高二培优专题 编辑： 时间：20150419_恒成立问题解法探究函数恒成立是高中数学里一个极具魅力、富有探究价值的问题。是高考重中之重，其中渗透着丰富的数学思想，考查思维的灵活性、创造性。第一篇函数最值可求型例1、（07重庆理20）若对任意,恒成立，求c的取值范围；变式1、函数，若恒成立，求a的取值范围；变式2、函数，若恒成立，求m的取值范围；例2、（1）函数在区间上恒有，求k可以取到的最大整数；（2） 函数在处取最大值，下列正确的是（ B ） A. B. C. D. B. 变式1、设函数，若k是整数，且当时，求k的最大值；变式2、函数满足。（1） 求函数解析式及单调区间；（2） 若，求的最大值；变式3、已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴交与点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（1） 用和表示；（2） 求对所有都有成了的最小值变式4、函数图像在处的切线斜率为3.（1） 求实数a的值；（2） 若，且对任意x1恒成立，求k的最大值；例3、函数，若恒成立，求的取值范围；变式1、函数，若当时，恒成立，求的取值范围；变式2、设函数，当恒成立，求的取值范围；第二篇可以分离出变量型在什么情况下分离出变量，标准只有一个，那就是简化解题步骤；例1、（2012天津16）函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是_;变式1、若不等式对一切恒成立，则取值范围是_变式2、函数，若时，不等式恒成立，求的取值范围。例2、当时，恒成立，则实数的取值范围是_;例3、当时，不等式恒成立,则实数的取值范围是_;变式1、当时，恒成立，求实数的取值范围；变式2、当时，恒成立，求实数取值范围；变式3、当时，恒成立，求实数的取值范围； 变式4、当时，恒成立，求实数取值范围；变式5、当时，恒成立，求实数取值范围；变式6、当对任意实数恒成立时，求实数取值范围；例4、若不等式对任意的正数都成立，求的取值范围；变式1、若不等式对任意都成立，求取值范围；变式2、若不等式对任意的恒成立，求取值范围；例5、若函数在上单调递增，求取值范围；变式1、若函数在上单调递减，求取值范围；变式2、若函数在上单调递增，求取值范围；变式3、若函数在上单调递增，求取值范围；变式4、若函数在其定义域上单调递增，求取值范围；变式5、若函数在上单调递增，求取值范围；第三篇区间端点与一次函数、二次函数的恒成立的渊源例1、（09北京18）若函数在单调递增，求的取值范围；例2、（06福建21）已知函数的导数为，。若对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；例3、（08天津20）已知函数，若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；变式1、设函数，其中为实数。（1） 已知函数在处取得极值，求的值；（2） 已知对任意的恒成立，求实数的取值范围；变式2、设函数，若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围；例4、已知函数在区间上市单调递减，则的取值范围是_;例5、已知函数在区间上市单调递增，则的取值范围是_;例6、设函数，若对任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围；变式1、（2014江苏10）已知函数，若对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是_;变式2、已知函数，若，不等式恒成立，则实数的取值范围是_;变式3、已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是_;变式4、）已知函数的最大值不大于，又当时，求的值；第四篇端点效应例1、已知函数，当时，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围；例2、（08江苏14）设函数，若对于总有成立，则_;小结：由于事先考虑了函数在端点的情形，缩小了参数的范围，为进一步得到最终结果减少了讨论，优化了解题步骤。我们把这种思考问题的方法称为“端点效应”；函数在端点的取值有如下三种情况：（1） 函数在端点取值有意义且不为零；（2） 函数在区间端点无意义或区间为无限区间；（3） 函数在区间端点有意义，且至少一个值为零；下面分类介绍。一、函数在端点取值有意义且不为零 例1、（07天津10）设函数是定义在上的奇函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.例2、若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；例3、已知函数，其中，设函数，是否存在，使在上为减函数？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。例4、（2012浙江22）已知，函数（1） 证明当时，函数最大值为；（2） 若对恒成立，求取值范围；变式1、已知在上是单调函数，求实数的取值范围；变式2、设函数，求所有这样的实数，使不等式对恒成立；变式3、设函数，其中为大于0的常数，当时，不等式恒成立，求的取值范围；变式4、已知函数在上是单调增函数，求的取值范围；变式5、已知函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围；变式6、若对任意的，都有恒成立，求的取值范围；变式7、已知函数，当时，求的取值范围；变式8、已知函数在上是单调递减，求的取值范围；变式9、已知函数，若在上是增函数，求的取值范围；变式10、已知函数。若在区间上恒成立，求的取值范围；变式11、已知函数（1） 对一切，不等式恒成立。求的取值范围；（2） 若函数在区间上是增函数，求的取值范围；二、函数在区间端点无意义且趋于无穷例1、（2012新课标11）当时，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.例2、函数，若对定义域内任意恒成立，求实数的取值范围；例3、函数对任意恒成立，则实数的取值范围；例4、（2013新课标21）设函数，若时，求的取值范围；变式1、不等式恒成立，则实数的取值范围；变式2、不等式在恒成立，则实数的取值范围；变式3、（2011北京18）设函数，若对于任意的都有，求的取值范围；变式4、函数，在区间上，恒成立，求取值范围；变式5、函数，当时，恒成立，求的取值范围；变式6、（2014江苏19)已知函数，其中是自日然对数的底数，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；例5、（2009江西）已知函数，若对于任意一个实数，与的值至少一个为正，则的取值范围；例6、已知函数，若对于任意一个实数，与的值至少一个为正，则的取值范围；例7、（2011江苏19）已知，函数，若，在以为端点的开区间上恒成立，求的最大值；变式1、已知函数，若对于任意一个实数，与的值至少一个为正，则的取值范围；变式2、已知函数，若对任意，则的取值范围；变式3、（2012北京14）已知，若同时满足（1）对任意，（2）存在，则的取值范围；三、函数在端点出取值为零例1、（09全国21)已知函数在上是增函数，求的取值范围；例2、（2012浙江）设，若时均有，则_;变式1、（08全国21）设函数，若在处取得最大值，求的取值范围；变式2、不等式对任意的恒成立，求的取值范围；例3、（09天津21）已知函数，有三个不同的实数根，分别为，若对任意的恒成立，求的取值范围；变式1、（2011湖北21）关于的方程有三个不同的实数根，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围；变式2、已知函数在上是增函数，求的取值范围；例4、(07全国21)设函数，对所有都有，求的取值范围；例5、设函数，若恒成立，求取值范围；变式1、设函数，若当时，求的取值范围；变式2、是否存在，使得关于的不等式在上恒成立，若存在，求的取值范围；变式3、已知函数，若对于恒成立，求的取值范围；变式4、已知，若对于任意的都有成立，求的取值范围；变式5、已知函数，如果对任意，都有成立，求的取值范围；例6、已知函数，当时，求的最小值；例7、已知函数（1） 讨论的单调性；（2） 设当，当时，求的最大值；（3） 已知，估计的近似值（精确到0.001）；变式1、若在上恒成立，求的取值范围；变式2、函数，当时，求的取值范围；变式3、已知函数，当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求的取值范围；变式4.不等式，对于任意的恒成立，求的取值范围；例8、设函数（1） 讨论的单调性；（2 设，求的取值范围；变式1、若函数在上单调递减，求的取值范围；变式2、已知函数，若对任意的恒成立，求的取值范围；第五篇 导函数中含有指数与对数导数方程中含有指数和对数时，往往会给求函数的零点带来麻烦，很多情况下我们选择了二次求导，本篇将探究更简洁的处理这种问题的方法。一、 指数型引例1、（2006全国）已知，若对任意恒有，求的取值范围；小结：对形如的函数求导，导数方程和指数就没关系了是不是？因此这是对不等式变形构造函数时的一个方向。例2、（2010全国22）设函数，当时，求的取值范围；例3、（2014四川21）函数，其中为自然对数的底数。若，函数在区间内有零点，求的取值范围；例4、（2010安徽）若在上恒成立，求实数的取值范围；变式1、（2010全国21）已知函数，当时，求实数的取值范围；变式2、已知函数，当时，恒成立，求实数的取值范围；变式3、已知函数，当时，恒成立，求实数的取值范围；变式4、已知函数，若时，恒成立，求实数的取值范围；变式5、（2014福建20）已知函数，（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（1） 求的值及函数的极值；（2） 证明：当时，（3） 证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有。例5、（2007福建22）已知函数，若，在上恒成立。求实数的取值范围；小结：若函数形式为，则可以变形也可以不变形，对于其他指数函数情形，一般需要变形。变式、已知对任意成立，求实数的取值范围；二、 对数型例1、 设函数，是否存在负数，使得对一切正数都成立？若存在，求出的取值范围；例2、（2011新课标21）已知函数当时，求实数的取值范围；例2、 已知函数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。变式1、已知函数，对一切，都有恒成立。求实数的取值范围；变式2、若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；变式3、已知函数，当时，恒成立，求实数的取值范围；变式4、已知当时，恒成立，求实数的取值范围；变式5、已知的时且时，恒成立，求实数的取值范围；变式6、当时，恒成立，求实数的取值范围；变式7、当时，恒成立，求实数的取值范围；例4、（2006全国20）对所有都有成立，求实数的取值范围