华工数学实验实验三迭代与分形.doc

数学实验报告华工数学实验实验三迭代与分形实验三 迭代与分形一、 实验目的与要求1 了解分形几何的基本情况；2 了解通过迭代方式产生分形图的方法；3 了解matlab软件中简单的程序结构；4 掌握matlab软件中plot, fill等函数的基本用法；二、 实验内容1 对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。2 自己构造生成元（要有创意），按照图形迭代的方式产生分形图，用计算机编制程序绘制出它的图形，并计算其分形维数。三、 实验过程1.问题分析Koch曲线是通过图形迭代的方式产生的，其迭代规则是：对一条线段，首先将它分成三等份，然后将中间的一份替换成以此为底边的等边三角形的另外两条边。无限次迭代下去，最终形成的曲线就是Koch曲线。在本次实验当中，以等边三角形为基本单元进行迭代，从而形成Koch曲线。在这个实验中，可借助一条线段迭代的代码进行修改，让它对一个等边三角形的每条边都按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图就为Koch雪花。编制程序绘制出它的图形时，我们要先规定等边三角形的三个顶点的坐标分别为(0,0)、(20,0)、(10,20*sin(pi/3). 绘制出它的图形后计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。2.编程实现Koch雪花图形编制程序的具体代码如下，程序截图如图1所示function plotkoch (k) % 显示迭代k次后的Koch曲线图p=0,0; 10,20*sin(pi/3); 20,0;0,0; % 存放等边三角形3个结点坐标初始值n=3; % 存放线段的数量，初始值为3 A=cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3); % 用于计算新的结点for s=1:k % 实现迭代过程，计算所有的结点的坐标 j=0; % 以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个% 结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到r中 for i=1:n % 每条边计算一次 q1=p (i,:); % 目前线段的起点坐标 q2=p (i+1,:); % 目前线段的终点坐标 d=(q2-q1)/3; % j=j+1;r (j,:)=q1; % 原起点存入r j=j+1;r (j,:)=q1+d; % 新1点存入r j=j+1;r (j,:)=q1+d+d*A; % 新2点存入r j=j+1;r (j,:)=q1+2*d; % 新3点存入r end % 原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入r n=4*n; % 全部线段迭代一次后，线段数量乘4 clear p % 清空p ，注意：最后一个终点q2不在r中 p=r;q2; % 重新装载本次迭代后的全部结点endfigureplot (p (:,1),p (:,2) % 显示各结点的连线图title(Koch雪花) % 显示标题axis equal % 各坐标轴同比例 xlabel(x),ylabel(y)图1.程序截图这个函数的调用方法是在命令窗口键入plotkoch (5)然后按回车键，结果显示如图2所示。我们也可以通过取不同n值观察对应的迭代图形，如图3-6所示。图2迭代次数k=5的图形不同k值对应的迭代图形： K=1 K=3K=5 K=73.面积计算k=0时 S=k=1时 S=+k=2时 S=+ k=3时 S=+ + k=n时 S=+ +每一次迭加，所产生的新三角形的边长变为上一次的，数量为上一次的4倍.S=+*（3*+12*+3*）=+*由上式可知，当k取无限大的时候，Koch雪花的曲线总面积趋于无穷大。4.分形维数计算由迭代规则可知：在Koch雪花中，相似形个数为12，边长放大倍数是3，所以m=12,c=3，则Koch雪花的分形维度为：d=ln(m)/ln(c)2.26。第二部分：第二题一实验内容自己构造生成元（要有创意），按照图形迭代的方式产生分形图，用计算机编制程序绘制出它的图形，并计算其分形维数。二实验过程1. 图形构思 经过阅读许多参考资料，以及自己几天的思考，感觉以一个大圆，上下左右各有四个小圆的组合（其中大圆经过四个小圆的圆心）为初始图案比较简单，也比较好看。2. 编程实现 主要思想是先画一个大圆，接着按照比例及相对位置画出四个小圆，然后以四个小圆为基准，再画出每个小圆各自对应的四个小圆，以此类推，就可以按照给定的迭代次数画出想要的图形。具体程序如下：function cycle(px,py,r,n) %px,py和r分别是大圆圆心坐标和半径,n是迭代次数t=linspace(-pi,pi); plot(r*cos(t)+px,r*sin(t)+py) %以px,py为圆心坐标，r为半径画圆theta=2*pi/4*(0:3); %每个小圆间隔角度为2/4newr=r*3/(3+2*sqrt(3); %经过计算，小圆的半径为大圆的3/(3+2*3(1/2)newpx=px+2*newr*cos(theta); %新的圆心横坐标newpy=py+2*newr*sin(theta); %新的圆心竖坐标if n=0 s=n+2; %开始图形是一个大圆上下左右各有一个小圆，作为迭代的初始图案 for i=1:4 %每个大圆都有小圆四个 hold on;cycle3(newpx(i),newpy(i),newr,s-1); endendaxis equal %各坐标轴同比例程序运行截图如图1所示： 如图1调用这个函数的方法是在命令窗口键入“cycle(px,py,r,n)”然后按回车键，其中px,py,r,n均以具体数值代替，注意n必须为整数。例如取n=0,1，2,3；所得图形分别如图2-5所示：图2.n=0图3.n=1图4.n=2图5.n=33.维数计算 由迭代规则可知：在这些图形中，相似形个数为5，小圆的半径为大圆的3/(3+2*3(1/2)倍，从而边长放大倍数是(3+2*3(1/2)/32.1547，所以m=5,c=(3+2*3(1/2)/3，则它的分形维度为：d=ln(m)/ln(c)2.09。三实验总结 实验内容一部分比较简单，由于老师在理论课堂上，对koch雪花曲线的迭代规则与技巧讲解得比较透彻，原代码也比较容易理解，在编写koch雪花曲线的程序时，只需对原来的程序进行一些修改，包括图形的初始化，初始线段改为3，再进行一些其他方面的完善就可以了，为了充分利用前面所学的知识，我还加上了标题，标上了横竖坐标轴。调试过程中，发现，尽管程序正确，但是由于计算机的性能限制，迭代次数不宜太多，否则运算时间过长，显示很慢。但是，整个过程进行的还顺利，结果也很满意。 第二部分，自由发挥的练习中，灵感来得很及时，程序是自己编写的，整个过程中，通过上网查找了很多资料，也查看了很多人的代码，借鉴