极限的常用求法及技巧.doc

极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x趋于正无穷，x趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通。1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义 设 为数列。若对任给的正数N，使得n大于N时有 则称数列收敛于,定数称为数列的极限，并记作或读作当n趋于无穷大时，的极限等于或趋于例证明 解 由于 因此，对于任给的0,只要，便有 即当n时，（2）试成立。又因为（1）式是在的条件下也成立，故应取 在利用数列的定义时，应意识到下几点1.的任意性 定义中的正数的作用在于衡量数列通项与定数的接近程度，越小，表示接近的愈好；而正数可以任意的小，说明与可以接近到任何程度。然而，尽管有其任意性，但已经给出，就暂时的被确定下来了，以便依靠它来求出N.又1.2 利用极限的四则运算极限的四则运算法则若与为收敛数列，则，也都是收敛数列，其有例 求解 由得 1.3利用单调有界定理单调有界定理即在实数系中，有界的单调数列必有极限，单调数列即 若数列的各项关系式， 则称为递增（递减）数列。递增数列和递减数列统称为单调数列。有界性即存在使得对于一切正整数n,有这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为:(1)判定数列是单调有界的，从而可设其极限为A。（2）建立数列相邻两项之间的关系式。（3）在关系式两端取极限，得以关于A的方程，若能解出A，问题就可以解决了。 一般利用单调有界原理求极限的题目都给出了第n项和第n+1项的关系式。首先应用归纳法或“差法”，“比法”等方法证明其单调性，再证明其单调性，有界性（或先证有界，再证单调）。由单调有界定理得出极限的存在性，然后对关系式两端求极限，例求数列其中（a0）极限解: 设，则是单调有界数列，它必有极限，设其极限为A在两边取极限得即所以，因为A0所以即例设0, 0,=(+), n=0,1,2.z 证明数列的极限存在，并求之。证明：易见0,n=0,1,2.所以有=(+).=(+)(+)=由0l时 则数列收敛，且 。由迫敛法则可得所求极限与已知数列极限相等例 求解 ：记= ，= 显然,n=1.2,所以即数列单调递减有下界，极限存在。记=, 对关系式=(+)令n取得极限得到A=.(其中A=-0，因不合舍去) 例 设 0（i=1，2，3m）,记 M=max(,)。证明+=证明：因+(n)即 +=1.5利用递推关系有些题目中数列的单调性不易证得时就不能应用单调有界定理，此时可尝试采用递推关系应用压缩原理去解决.这些题目一般都给我们一个递推式，但单调性不易或根本无单调性，例 设 ，为任意取定的实数，且+0，定义 其中，,为正数，且n=1,2.试求证明 由即0 k1,01.由式得（=所以有0=即00，(n) 故=01.6利用上下极限一个有界数列未必存在极限，但它一定有上下极限，且有界数列极限存在的充要条件是其上下极限相等。对于一个有界数列 取掉它的最初K项以后，剩下来的仍旧是一个数列，记这个数列的上确界为 ，下确界为亦即=可见N时，有A-a0，于是对任一自然数n有或，整理后得不等式。（1）令a=1+，b=1+，将它们代入（1）。由于，故有，这就是说为递增数列。再令a=1，b=1+代入（1）。由于，故有，。不等式两端平方后有，它对一切自然数n成立。联系数列的单调性，由此又推得数列是有界的。于是由单调有界定理知道极限是存在的。我们通常用拉丁字母代该数列的极限即=e利用该种方法应该记忆一些常用数列的极限。例 求解 例 求极限 解 = = 1.9利用定积分利用定积分求极限的方法即利用定积分的定义计算项数无限增多的无穷小量之和，有时可设法把问题化为某一函数在某一区间上的积分和的极限问题，从而利用定积分求解。有时问题呈现乘积的形式，也可试用本方法，只式要先取对数将问题转化为和的形式。定积分的定义 设函数f(x)在a, b上有界, 在a, b中任意插入若干个分点a =x0 x1 x2 xn-1 xn=b, 把区间, b分成n个小区间x0, x1, x1, x2, , xn-1, xn , 各小段区间的长依次为Dx1=x1-x0, Dx2=x2-x1, , Dxn =xn -xn-1. 在每个小区间xi-1, xi上任取一个点x i (xi-1 x xi), 作函数值f (x)与小区间长度Dxi的乘积f (x ) Dxi (i=1, 2, , n) , 并作出和. 记l = maxDx1, Dx2, , Dxn, 如果不论对a, b怎样分法, 也不论在小区间xi-1, xi上点x i 怎样取法, 只要当l0时, 和S 总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间a, b上的定积分, 记作, 即 .其中f (x)叫做被积函数, f (x)dx叫做被积表达式, x叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, a, b叫做积分区间.定义 设函数f(x)在a, b上有界, 用分点a=x0x1x2 xn-1xn=b把a, b分成n个小区间: x0, x1, x1, x2, , xn-1, xn , 记Dxi=xi-xi-1(i=1, 2, , n). 任x ixi-1, xi (i=1, 2, , n), 作和 . 记l=maxDx1, Dx2, , Dxn, 如果当l0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间a, b的分法和x i的取法无关, 则称这个极限为函数f(x)在区间a, b上的定积分, 记作, 即 .根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为.而我们经常利用积分定义中的下面的式子 （b-a）i）（b-a）=f(x)dx利用这种方法时应注意区间的对应性 例 求极限(=(i-1/n)=x=例 求极限解 设= =则分析直接不能使用积分法，可先取对数，再去求解=（1+）=(1+x)=2ln2-1例 计算解 、先考虑，从而有因此1.10利用级数利用级数方法即根据数列构造相应的级数，当级数收敛时，所求数列极限为0，判别级数收敛的方法常用的如下（一）比较原则：设与是两个正项级数，若（1） 当时，两级数同时收敛或同时发散；（2） 当且级数收敛时，级数也收敛；（3） 当且级数发散时，级数也发散；（二）比式判别法（极限形式）若为正项级数，且则 (1)当时，级数也收敛；(2)当时，或时，级数发散；注：当时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数与，它们的比式极限都是 但是收敛的，而是发散的.（三）根式判别法（极限形式）若为正项级数，且则(1)当时，级数收敛(2)当时，级数发散注：当时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数与，二者都有，但是收敛的，而是发散的.但是收敛的而是发散的.（四）积分判别法：设是上非负递减函数那么正项级数与非正常积分同时收敛或同时发散；（五）拉贝判别法（极限形式）若为正项级数，且存在，则(1)当时，级数收敛；(2)当时，级数发散；(3)当时拉贝判别法无法判断.构造一般项级数或构造相应的幂级数，求得其数项级数的和。利用这种方法时应注意所代入的数是否在收敛域内，否则不能用该种方法例 求极限 解 构造级数用达朗贝尔判别法有= =1从而级数收敛。由收敛的必要条件得=0例 求级数+2+n解 构造幂级数f(x)=n,显然该幂级数的收敛域为（-1,1）。下面求和函数。因为 f(x)= n=xn=xg(x),其中g(x)= n，所以g(t)dt=ndt=故+2+n=f()=(0a1)1.11各种方法的综合使用 有时除了以上几种方法外，还必须多种方法综合使用。例 求极限+分析 直接利用积