第二讲 几何之五大模型及其应用.doc

第二讲 几何之五大模型及其应用 平面几何也是小升初考试的必考内容，而且常常以大题形式出现（分值一般在10分16分），名牌中学的选拔考试面积题目，有逐步增加难度的趋势，这一部分的分值又较高，希望同学们重视并好好总结归纳。教学目标 1回顾等积变形与倍比关系；2精讲五大模型及其应用。专题回顾 一、等积变形【例1】 三个正方形ABCD，BEFG，HKPF如图所示放置在一起，图中正方形BEFG的周长等于14厘米。求图中阴影部分的面积。 二、倍比关系【例2】 如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。专题精讲 【几个重要的模型】模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。 S1S2 =ab ；模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角形ABC面积的= 模型二：任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”）S1S2=S4S3 或者S1S3=S2S4 AOOC=（S1+S2）（S4+S3） 模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）S1S3=a2b2S1S3S2S4= a2b2abab ; S的对应份数为（a+b）2模型四：相似三角形性质 ; S1S2=a2A2 模型五：燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB； 【例3】 （北京市“迎春杯”刊赛） 如下左图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是_. 【例4】 （奥数研究中心）如图，ABC中AE=AB，AD=AC，ED与BC平行，EOD的面积是1平方厘米。那么AED的面积是 平方厘米。【例5】 如下图所示，AEEC12，CDDB14，BFFA13，三角形ABC的面积等于1，那么四边形AFHG的面积是_。 【例6】 （小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，AOB面积为1平方千米，BOC面积为2平方千米，COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【例7】 （奥数研究中心）如图，在梯形ABCD中，ADBE=43，BEEC=23，且BOE的面积比AOD的面积小10平方厘米。梯形ABCD的面积是 平方厘米。【例8】 （奥数研究中心）在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点(如图)，连接线段AF、BG、CH、DE，由这四条线段在正方形中围成的小正方形的面积占大正方形面积的 分之 ； 【例9】 （奥数研究中心）如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分四边形PQRS的面积之比。 【例10】 （06年西城某名校试验班选拔真题）如图，已知长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是_ 【例11】 （首师附中05年选拔考试试题）设正方形的面积为1右图中E、F分别为AB、AD的中点GC=，则阴影部分的面积为_ 专题展望 欲看几何精彩，敬请继续关注：秋季班 “圆与扇形、勾股定理与弦形”真题实战 1. （第五届小数报数学竞赛初赛应用题第6题）如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与梯形的一条腰DC平行，AE与BD相交于O点.已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且EC= BC.求梯形ABCD的面积. 2. （北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛第一题第4题）如右图BE=BC，CD=AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的_. 3. 如图ABCD是梯形，BD是对角线，E为BD上一点，EF是三角形AED的高，EG是三角形BCE的高。如果三角形ABE和三角形BCE的面积分别为6和10，EF：EG=7:4,那么求梯形ABCD的面积。4. 如图，直角梯形ABCD中，AB=12，CD=9，三角形BEF的面积是409，且三角形AED、三角形FCD和四边形EBFD的面积相等，BC长是多少？ 5. （北大附中入学试题）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF和BC平行， ECH的面积是7平方厘米，求EG的长。 数学语絮 几何之父欧几里德我们现在学习的几何学，是由古希腊数学家欧几里德（公元前330前275）创立的。他在公元前300年编写的几何原本，2000多年来都被看作是学习几何的标准课本，所以我们称欧几里德为几何之父。欧几里德生于雅典，30岁就成了有名的学者。应当时埃及国王的邀请，他客居亚历山大城，一边教学，一边从事研究。他治学严谨，循循善诱，反对投机取巧和急功近利。一次，权倾一时的埃及国王请欧几里德为他讲授几何学，欧几里德讲了半天，国王听得一头雾水，无奈之中，他问欧几里德：“了解几何学有没有什么简单的方法？”欧几里德回答：“在几何学里，大家只能走一条路，没有专为国王铺设的大道。”这几句话后来成为千古传诵的学习箴言。虽然古希腊的数学研究有着十分悠久的历史，曾经出过一些几何学著作，者都只讨论某一方面的问题，内容不够系统。欧几里德汇集了前人的成果，采用前所未有的独特编写方法，先提出定义、公理或者公式，然后由简到繁地证明了一系列定理，讨论了平面图形和立体图形，还讨