关于层次分析法和灰色关联分析法的研究.doc

论文题目: 关于层次分析法和灰色关联分 析法的研究 福建农林大学本科毕业论文目 录目 录I摘要IAbstractII1引言12层次分析法22.1 层次分析法的步骤22.1.1 层次结构的建立22.1.2 构建判断矩阵32.1.3 层次排序和一致性检验52.1.4 层次总排序及一致性检验82.2 层次分析法结论103 灰色关联分析法123.1 灰色关联的具体步骤123.1.1 确定分析序列123.1.2 无量纲化133.1.3 求关联度143.2 灰色关联结论153结论16参考文献：17附录18致 谢20II摘要层次分析法是将半定型、半定量的问题转化为定量问题的一种行之有效的方法，是分析多目标、多准则的复杂大系统的强有力的工具有思路清晰、方法简便、使用面广、系统性强等特点。灰色关联分析目的是寻求系统各因素之间的重要关系，而灰色关联度是灰色关联分析的基础，其算法基本思想是根据行为序列曲线几何形状的相似性来确定序列之间联系的紧密型。本文尝试将这两种思想应用于NBA常规赛最有价值球员（MVP）的评判上。通过结果研究层次分析法和灰色关联分析这两种思想的差异性、优缺点。关键词：层次分析法；灰色关联分析；NBA；MVPAbstractAnalytic Hierarchy Process is a semi-stereotypes, semi-quantitative problem into an effective method of quantitative problems, is to analyze the multi-objective, multi-criteria large complex system a powerful tool for clear thinking, method is simple, using the surfacewide systemic. Gray relational analysis seeks the important relationship between the factors of the system, and the gray relational grade gray relational analysis. The basic idea of the algorithm is based on the similarity of behavior sequence curve geometry to determine the sequence of the link between compact. This paper attempts to apply these two ideas on the judgment of the NBA regular season Most Valuable Player (MVP). By the results of analytic hierarchy process and gray relational analysis of these two ideological differences, advantages and disadvantages.Key words: Analytic Hierarchy Process；Grey Relational Analysis；NBA；MVPII1 引言在日常生活中，人们要对许多较为复杂、较为模糊的问题做出决策。如生产者面对消费者的各种喜好或竞争对手的策略要做出最佳生产决策，消费者面对众多的商品要做出最佳的购买决策。科研单位要根据自己的科研能力、项目的科学意义及实用价值项目的研究经费等因素选择最适合的课题，当你面临报考学校，挑选专业，或者选择工作岗位是，都要做出慎重决策等等，这些都是难于用定量进行分析的问题，当我们面对这些问题时，影响我们做出决策的因素很多，一些因素存在定量指标，可以定量描述，但更多的因素不存在定量指标，只能定性的对它们进行比较。在处理这些比较复杂又比较模糊的问题时，如何进行全面的、系统的分析比较，并最终做出较为明智的决策呢?T.L.Saaty等在20世纪70年代末提出了一种定性和定量相结合、系统化层次化的分析方法，称为层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）。层次分析法是将半定型、半定量的问题转化为定量问题的一种行之有效的方法，是分析多目标、多准则的复杂大系统的强有力的工具有思路清晰、方法简便、使用面广、系统性强等特点。它使人们的思维过程层次化，通过逐层比较多种关联因素来分析、决策或控制事物的发展提供定量的依据。其基本思想，是根据问题的性质和要达到的目标，将问题按层次分析成各个组成因素，再按支配关系分组成有序的递阶层次结构。对同一层次内的因素，通过两两比较的方式确定诸因素之间的相对重要性权重。下一层次的因素的重要性，既要考虑本层次，又要考虑到上一层次的权重因子逐层计算，直至最后一层一般是要比较的各个方案权重大小。灰色关联分析法是由中国学者邓聚龙教授于1982年创立的，该理论是以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色关联度分析法是将研究对象及影响因素的因子值视为一条线上的点,与待识别对象及影响因素的因子值所绘制的曲线进行比较,比较它们之间的贴近度,并分别量化,计算出研究对象与待识别对象各影响因素之间的贴近程度的关联度,通过比较各关联度的大小来判断待识别对象对研究对象的影响程度。两种思想都都为我们决策带来了方便，但有时我们却无从选择哪一种方法，本文运用两种思想分析NBA常规赛最有价值球员，进而比较层次分析法和灰色关联在实际运用中的区别，为大家在实际解决问题、做出决策时能够在这两种方法中更有效的做出选择。2 层次分析法2.1 层次分析法的步骤层次分析法的基本思路与人对复杂决策问题的思维和判断过程是一致的。层次分析过程大致可以分为四个步骤：（1）建立层次结构模型。在深入分析面临的问题后，讲决策问题分为三个层次。最上层为目标层O；最下层为方案层P；中间层为准则层C（准则层可以分为若干个子层），个层次的联系用相连的直线表示。（2）构造判断矩阵。通过相互比较确定各层次中的因素对于上一层次中每一因素的所有判断矩阵。（3）单层排序及一致性检验。通过判断矩阵求出各层次中的因素对于上一层每一因素的权重向量，并进行一致性检验。（4）层次总排序及一致性检验。将层次中的因素对于上一层次的权重向量及上一层对于总目标的权重向量综合，确定该层次对于总目标的权重向量，并对总排序进行一致性检验。2.1.1 层次结构的建立首先要把问题条理化、层次化，构造出一个层次分析的结构模型。在这个结构模型下，复杂问题被分解成人们称之为元素的组成部分。这些元素又按照其属性分成若千组，形成不同层次。同一层次的元素作为准则对下一层次的某些元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。这些层次大体上可以分为三类：1、最高层这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或者理想结果，因此也称目标层。2、中间层这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则、子准则，因此也称为准则层3、最低层表示为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或者方案层。 上述各个层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支持下一层次的所有元素而仅仅支持其中部分元素。这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称为递阶层次结构。递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需分析的详尽程度有关，一般它可以不受限制。根据问题研究NBA最有价值球员（MVP）我们可以画出如下的阶梯层次结构图：MVP球员 目标层 比赛数据 战绩准则层 客场战绩主场战绩助攻得分盖帽篮板方案层命中抢断失误犯规 图2-1 阶梯层次结构图2.1.2 构建判断矩阵层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。设现在要比较n个因子对某因素Z的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子对的影响大小之比，全部比较结果用矩阵表示，称ZX之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若与对Z的影响之比为，则与对Z的影响之比应为。定义1：若矩阵满足（i）0;（ii）（i，j=1，n），则称之为正互反矩阵。要确定的值，我们常用19和它倒数作为的取值范围量化尺度如下:对比打分相对重要程度说明1同等重要两个元素相比，具有同等重要性3略微重要两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要5基本重要两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要7确实重要两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要9绝对重要两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要2，4，6，8两相邻度程度的中间值需要折中时采用表 2-1 量化尺度表从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用19标度最为合适。当然，也有其他一些不错的标度方法可以选择。最后，应该指出，一般地作次两两判断是必要的。有人认为把所有元素都和某个元素比较，即只作1次比较就可以了。这种作法的缺点在于，任何一个判断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以避免的。进行次比较可以提供更多的信息，通过各种不同角度的反复比较，从而得出一个合理的排序。在研究NBA球员的综合实力中，通过对30名球迷调查（详细调查结果见附录）我们可以大致得出判断矩阵：表2-2 A-B判断矩阵AB1B2B112B21/21其中分别指的球队战绩和比赛数据。实地调查和网上查找分析，球队战绩相对于比赛数据更为重要。表2-3 判断矩阵1C11C1211111211,分别指的是方案层的主队战绩和客队战绩。根据调查发现两个因数同等重要。表 2-4 判断矩阵B2C21C22C23C24C25C26C27C28C211448881616C221/41122244C231/41122244C241/81/21/211122C251/81/21/211122C261/81/21/211122C271/161/41/41/21/21/211C281/161/41/41/21/21/211其中C21、C22、C23、C24、C25、C26、C27、C28分别表示得分、助攻、篮板、盖帽、抢断、命中、失误、犯规。2.1.3 层次排序和一致性检验判断矩阵A对应于最大特征值的特征向量W，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，也就是每一个判断矩阵各个因素针对器其准则的相对权重，所以本质上是计算权向量。这一过程称为层次单排序。上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其它因素的干扰，较客观地反映出一对因子影响力的差别。但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A的元素还应当满足：定理1：正互反矩阵A的最大特征根必为正实数,其对应特征向量的所有分量均为正实数。A的其余特征值的模均严格小于。 定理2：若A为一致矩阵，则 （1）A必为正互反矩阵。（2）A的转置矩阵也是一致矩阵。（3）A的任意两行成比例，比例因子大于零，从而rank(A)=1（同样，A的任意两列也成比例）。（4）A的最大特征值，其中= n，其中n为矩阵A的阶。A的其余特征根均为零。（5）若A的最大特征值对应的特征向量为，则，即 A= 定理3：n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根=n，且当正互反矩阵A非一致时，必有n。 根据定理3，我们可以由是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于，故比大得越多，A的非一致性程度也就越严重，对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出在对因素Z的影响中所占的比重。从人类的认识规律看，一个正确的判断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的，例如若A比B重要，B比C重要，则从逻辑上讲，A应该比C明显重要，若两两比较时出现A比C重要的结果，则该判断矩阵违反一致性准则，在逻辑上是不合理。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。 对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：（i）计算一致性指标CI= （ii）查找相应的平均随机一致性指标RI。对n=1，2，9，Saaty 给出了RI的值， 表 2-5 RI 值1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51RI的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵：随机地从 19 及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值，并定义RI= （）计算一致性比例CR=，当CR0.10 时，认为矩阵的不一致程度在容许范围内，可用其特征向量作为权向量。 即可初步确认该判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。层次单排序的方法有归一化求和法和求根法两种，我们在这里主要是使用归一化求和法来进行计算，具体如下:(1)对判断矩阵B的每一列进行归一化如： 。(2)写出归一化后的矩阵如：=，并求列和为 （3）写出权向量W：，W=（4）一致性检验：由矩阵理论得出特征根：；和判断矩阵一致性指标： CI=。用随机一致性比率CR0.1作为矩阵具有满意的一致性的判据。表2-6 A-B判断矩阵AB1B2B112B21/21通过MATLAB求的特征根X=0，2。易得= 2 ，且权重向量。由公式CI=得到CI=0 ，由公式 RI=得到RI=0 ，说以CR= 0.0000。通过了一致性检验。表2-7 判断矩阵B1C11C12C1111C1211通过MATLAB求得特征根B=0，2易得= 2 ，且权重向量。由公式CI=得到CI=0 ，所以CR= 0.0000。通过了一致性检验。表 2-8 判断矩阵B2C21C22C23C24C25C26C27C28C211448881616C221/41122244C231/41122244C241/81/21/211122C251/81/21/211122C261/81/21/211122C271/161/41/41/21/21/211C281/161/41/41/21/21/211通过MATLAB求的特征向量X=和特征根B=，易得= 8 ， 且权重向量。由公式CI=得到CI=0 ，所以CR= 0.0000。通过了一致性检验。2.1.4 层次总排序及一致性检验计算同一层次所有因素对于总目标相对重要性的 排序值（即权重向量）的过程称为层次总排序，此过程是从最高层到最底层逐层实现的上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。 假设上一层次A包含m个因素，它们的层次总排序权值为。方案层B包含n个因素，它们对于因素的层次排序权值分别（j=1，2，3，m）则B层的的总排序权值为 （i=1，2，3，n）。表 2-9 总排序权值公式层次A层次BB总排序权值 层次总排序也要进行一致性检验，检验仍像层次总排序那样从高到低层逐次进行，设B层中的因素对上一层次中的单层排序的一致性指标为（j=1，2，m）而平均随机一致性指标为，则B层的总排序随机一致性比率为CR=，当CR0.1时，认为总层次总排序具有满意的一致性。表 2-10 总排序权值层次A层次BB总排序权值0.6660.3330.50.50.50.50.1250.374600.1250.041700.06250.020800.06250.020800.06250.020800.031230.0104100.031230.01041 因为CR=0韦德杜兰特威斯布鲁克帕克安东尼保罗加索尔科比哈登。勒布朗-詹姆斯的总分最高，因此我们能够充分的认为勒布朗-詹姆斯是这些球员中最有价值的球员。而2013年的mvp得主是詹姆斯，虽然我们的方法与官方的专家的方法不一样，但是我们能够从中得到差不多的排名以及确定MVP球员的归属，进而说明我们这个层次分析法还是能够大致上计算出每个NBA最有价值球员。3 灰色关联分析法3.1 灰色关联的具体步骤a.确定分析序列：在对所研究问题定性分析的基础上，确定一个因变量因素和多个自变量因素。设因变量数据构成参考序列，各自变量数据构成比较序列，表示如下：=，, ；=，,., 。式中：i=1,2,m；j=1,2,n。b.对变量序列进行无量纲化：一般情况下，原始变量序列具有不同的量纲或数量级，为了保证分析结果的可靠性，需要对变量序列进行无量纲化，而后各因素形成序列,其中用初值化法进行无量纲化，用比较序列的指标值除以相应的参考序列的值。形成的序列表示如下：=，, ，i=1,2,m。c.求绝对差序列、最大差和最小差：根据量化以后的比较序列与参考序列，计算对应期的绝对差值，形成绝对差序列为 =， ，i=1,2,m。其中绝对差值中最大和最小数即为最大差和最小差。d.对绝对差值阵中数据作如下变换=。得到关联系数矩阵： =,，i=1,2,m。分辨系数 在（0，1）内取值。e.计算关联度及根据关联度排序：对绝对差值阵数据作如下变换：=1/N。对各比较序列与参考序列的关联度排序，关联度越大，说明比较序列与参考序列变化态势越一致。3.1.1 确定分析序列把所有球员的各项指标的最优值组成的系列作为参考系列。所谓的参考系列，就是比较的“母系列”，记作，记第1项指标的值为，第项指标的值为，第K项指标的值为。这样参考系列可以表示为：=，,，（K=1，2，3，n）同样，比较系列可写成：=，,，（K=1，2，3，n），=，,，（K=1，2，3，n）上述的参考系列与比较系列示于下表：表3-1 球员数据参考系列和比较系列表球员主队战绩客队战绩得分助攻篮板盖帽抢断命中失误犯规科比 291627.365.60.31.40.463.72.2詹姆斯 372926.87.380.91.70.5731.4杜兰特342628.14.67.91.31.40.513.51.8加索尔322414.147.81.710.4923.2哈登291625.95.84.90.51.80.443.82.3保罗322416.99.73.70.12.40.482.32安东尼312328.72.66.90.50.80.452.63.1帕克352320.37.630.10.80.522.61.4韦德372921.25.150.81.90.522.82威斯布鲁克342623.27.45.20.31.80.443.32.3最优球员372928.79.781.72.40.5721.43.1.2 无量纲化一般情况下，原始变量序列具有不同的量纲或数量级，为了保证分析结果的可靠性，需要对变量序列进行无量纲化，常用的无量纲化有均值化法，初值化法，区间值化法等。在这里我们采用区间值化法。得到球员数据区间值化表（其中1，2，10，分别指主队战绩，客队战绩，犯规）：表3-2 球员数据区间值化表球员12345678910000.90410.47890.520.1250.3750.15380.05560.5556110.86990.66210.50.56310.444410.6250.76920.95890.28170.980.750.3750.53850.16670.77780.3750.615400.19720.9610.1250.384610000.80820.45070.380.250.625000.50.3750.61540.191810.14010.30770.83330.66670.250.5385100.780.2500.07690.66670.05560.750.53850.42470.70420000.61540.66671110.48630.35210.40.4380.6880.61540.55560.66670.6250.76920.62330.67610.440.1250.62500.27780.511111111113.1.3 求关联度比较序列和参考序列的绝对差：按=l-l公式得出：表3-3 比较序列和参考序列绝对差表球员12345678910-110.09590.52110.480.8750.6250.84620.94440.4444-000.13010.33800.50.43700.55560-0.3750.23080.04110.71830.020.250.6250.46150.83330.2222-0.6250.384610.80280.0400.8750.615401-110.19180.54930.620.750.375110.5-0.6250.38460.808200.86100.69230.16670.3333-0.750.4615010.220.7510.92310.33330.9444-0.250.46150.57530.29581110.38460.33330-000.51370.64790.60.5620.3120.38460.44440.3333-0.3750.23080.37670.32390.560.8750.37510.72220.51111111111求两级最小差和最大差：按第一级最小差为=l-l =min1，0，0.375，0.625，1，0.625，0.75，0.25，0，0.375=0同理 =0第二级最小差min=minminI-=min0、0、0=0同时第二级最大差max=maxmaxI-=max1，0，0.375，0.625，1，0.625，0.75，0.25，0，0.375=1取=0.5，根据公式=计算及具体数值见下表：表3-4 球员各项指标关联度值123456789100.33330.3330.83910.490.510.360.4440.3710.34620.529110.79350.59710.50.53410.473710.57140.6840.9240.410.9620.670.4440.520.3750.6920.44440.5650.33330.3840.92610.3640.44810.3330.33330.3330.72280.4770.4460.40.5710.3330.33330.50.44440.5650.382210.3680.3310.4190.750.60.40.5210.3330.6940.40.3330.3510.60.3460.66670.520.4650.6280.3330.330.3330.5650.61110.49320.4360.4550.470.6160.5650.52940.60.57140.6840.57030.6070.4720.360.5710.3330.40910.5根据公式=1/N得到的关联度值如下：表3-5 球员指标关联度终值表科比詹姆斯杜兰特加索尔哈登保罗安东尼帕克韦德威斯布鲁克0.456070.78970.6250.57980.4450.58620.4980.5450.61650.50823.2 灰色关联结论有上面的计算球员的指标关联度值如下表：表3-6 球员指标关联度终值表科比詹姆斯杜兰特加索尔哈登保罗安东尼帕克韦德威斯布鲁克0.456070.78970.6250.57980.4450.58620.4980.5450.61650.5082由上表，按灰色关联度排序可以看出，詹姆斯杜兰特韦德保罗加索尔帕克威斯布鲁克安东尼科比哈登.由于詹姆斯与虚拟最优球员的关联度最大，亦即詹姆斯优于其他球员，即詹姆斯应该为最有价值球员。而2013年的mvp得主是詹姆斯，虽然我们的方法与官方的专家的方法不一样，但是我们能够从中得到差不多的排名以及确定MVP球员的归属，进而说明我们灰色关联分析法还是能够大致上计算出NBA最有价值球员。3 结论从上面结果可得层次分析法的最终排序是：詹姆斯韦德杜兰特威斯布鲁克帕克安东尼保罗加索尔科比哈登。灰色关联的最终排序是：詹姆斯杜兰特韦德保罗加索尔帕克威斯布鲁克安东尼科比哈登。而参考NBA官网的数据常规赛最有价值球员的排名是詹姆斯杜兰特安东尼保罗科比帕克威斯布鲁克韦德加索尔哈登。对比发现两种方法与最终结果都很接近，但都有不同程度的差异，仔细分析发现灰色关联与最终结果差异更小。对比两种方法的计算过程可以看到，层次分析法概念直观，计算方便，容易理解。但是该方法最大的缺憾是主观性强，客观性较差。由于样本的重要性本身就是个模糊的概念，所以对于样本的重要性比较，不同的人可能给出不同的结论，而且根据个人的素质、学识、能力与价值观等，难免会对某些样本产生过于偏爱的倾向。另外该方法在实际操作中，要请相关方面的专家、有经验的人员等进行判断，同时还要考虑到专家的结构和素质。所以该方法虽然计算方便，但它的实际操作过程却比较复杂。在用灰色关联时，它的最大优点是客观性强，避免了人的主观判断带来的影响。该方法利用样本数据经过一系列的数学计算，得到权重，实际上结论完全是由数字信息得来的。相对于层次分析法来说，该方法的操作比较简单，应用者一旦掌握，可以自己对数据进行处理，得到结论。但该方法的计算相对较为复杂，如果不熟悉的话，建议采用层次分析法。综上所述层次分析法概念直观，计算方便，容易理解，但是主观性强，客观性较差且精确度不高。反观灰色关联分析客观性较强，精确度较高，但是计算比较繁琐。因此我们得出以下结论更适合用层次分析法的情形有：（1）决策分析中，存在一些无法测量的因素。（2）决策因素不会过多且决策时间充足的情况下。（3）对决策结果精确度要求不高。（4）无结构特性的系统评价以及多目标、多准则、多时期等的系统评价。（5）特征值和特征向量的精确求法比较简单。更适合用灰色关联分析法的情形有：（1）指标过多时数据统计量大，且权重难以确定。（2）因素过多时，标度工作量大，大大影响判断矩阵的准确性。（3）对结果的精确度要求高。（4）动态历程的分析。（5）要在短时间内做出决策情况下（对灰色计算有一定的了解）。参考文献：1陈东彦.李冬梅.王树忠.数学建模M.北京:科学出版社，2007，353-371.2姜启源.谢金星.叶俊.数学模型M.北京:高等教育出版社，2011，249-269.3陈恩水.王峰.数学建模与实验M.北京:科学出版社，2008，48-56.4陈光亭.裘哲勇.王树忠.数学建模M.北京:高等教育出版社，2010，262-287.5蔡伟章.数学建模M.北京:高等教育出版社，2003，186-196.6李彦刚.祁忠斌.王树忠.数学建模方法引论M.北京:北京理工大学出版社，2012，172-180.7刘锋.数学建模M.南京:南京大学出版社，2005，232-245.8王敏生.王庚.王树忠.现代数学建模方法M.北京:科学出版社，2008，145-159.9张智光.绿色中国理论战略与应用J.北京:中国环境出版社，2010，372-383.10赵文会.排污权交易市场理论与实践J.北京:中国电力出版社，2010，200-203.11王伟军.蔡过沛.信息分析方法与应用J.北京:北京市交通大学出版社，2010，133-142.12杜跃平.段利民.技术创业技术项目评价与选择J西安:西安电子科技大学出版社，2010，147-150.13严祖文.彭雪灰. 病险水库除险加固风险决策J.北京:中国水利水电出版社，2011，85-87.14司守奎.孙玺菁.绿色中国理论战略与应用J.北京:中国环境出版社，2011，358-360.15彭云飞.沈曦.经济管理中常用数量方法J.北京:经济管理出版社，2011，241-249.16董文永.刘进.丁建立.最优化技术与数学建模J.北京:清华大学出版社，2010，286-296.17王庆东.不确定性数学方法及其应用J.北京:兵器工业出版社，2008，168-173.附录表（1）关于球队战绩和比赛数据重要程度的比例调查：球队战绩335322525533555比赛数据212211313222223球队战绩225775323255342比赛数据113332212132231主队战绩12