随机预设时间的倒向随机微分方程及其在违约风险中的应用翻译.doc

随机预设时间的倒向随机微分方程及其在违约风险中的应用山东大学数学系，中国济南，250100Shige Peng ,Xiaoming Xu概要在本文中，我们所关心的是随机预设时间的倒向随机微分方程及其在违约风险中的应用。这些由布朗运动决定的方程就像相互独立的鞅出现在一个违约设置。我们证明了这些方程有独特的解决方案和一个相对于他们解的比较定理。作为应用，关于相关零和随机微分对策问题我们得到了有关鞍点策略关键词：倒向随机微分方程，随机默认时间，比较定理，零和随机微分对策1介绍信用风险是一种最根本的，最古老和最危险的财务风险。特别是在最近几年得到了不止一次的密切关注。信用风险研究最广泛的形式是违约风险，特别是在金融合同中一个人将要履行的责任和他相关于合同的义务不符合的风险。许多人，别莱茨基，贾罗，Jeanblanc，Kusuoka等等，都在研究这个项目。在一个违约市场,噪声是由布朗运动B以及一个命名为预设时间的随机时间决定。关于时间我们可以得到两种信息：一个来源于资产价格，由产生定义为，一个来源于默认时间，由随机过程：1定义为。这里应该注意的是一般而言，随机时间并不是一个F-stopping时间。我们所需要考虑筛选叫做扩大筛选G ：= F H.。我们应该怎么处理这类事件呢？一般而言，我们构建一个过程，命名这个F-风险过程为通过设t ：= ln1P( t),这里P历史的概率测度。然后，通过Mt := Ht t定义的过程M，就是一个独立的G -鞅。假设是绝对连续的，则存在一个F-adapted过程，叫做强度过程，则。通过知名的Kusuoka鞅表示定理，其中规定，任何方可积鞅可被表示成关于B和M积分的和。我们知道在一个违约设置中，B和M是十分重要的。 在研究违约设置中的效用最大化问题时，Bielecki et al和Lim-Quenez得出结论，价值函数是一个二次驱动程序。我们称之为随机预设时间的倒向随机微分方程在本篇文章中。其实这种类型的倒向随机微分方程显得很自然。对于评估/对冲的问题，Bielecki et al.研究了偏微分方程方法 3（见4），它假设违约市场是完整的并且主要资产的动力是由B和M驱动的线性的随机微分方程。他们的目标是复制一个偶然的赔偿，它取决于违约事件的发生与否。事实上，我们已经知道，关于偶然赔偿的理论在完全的无违约市场得评估可以表示在古典倒向随机微分方程方面（如黑斯科尔斯等人5，默顿19等）。这里，我们将详细的证明评价/对冲问题可以表示为一个随机预设时间的线性倒向随机微分方程用以下形式这个可以被解决通过风险中性措施Q，Q等价与历史性概率P。事实上Q是如下形式然后我们得到，叫做的公平价格。总的来说，我们不知道（u、v、w）的精确值，但创建一个包含他们，这将导致模型的不确定性或模糊性（见6,9的详细信息）。然后在这种情况下，不是只有一个固定的风险中性概率测度Q，我们将面临一个不确定的子集的概率测度。对于这种情况，一个健全的方法来评估是由超级对冲战略取得的上限价格并且可由下计算出这里实际上是在虚拟市场的公平价格。在关于风险中性措施人之不明确的评估/对冲问题中，我们将面对非线性的随机预设时间的倒向随机微分方程（一般形式）值得注意的是，为计算上限价格，发生器g由下给出这很容易冲第四节看到。我们感兴趣的是（1）问题的存在性和解决方案的独特性，即，是否存在一个独特的三重的G -适应的过程(Y, Z, )满足（1）。众所周知，在布朗过滤的框架内，倒向随机微分方程的一般形式是Pardoux-Peng 20首先研究的。此后倒向随机微分方程的理论引起了很大的兴趣。一个有关此理论的重要成就是比较定理。这是由Peng发现并由Pardoux-Peng 21, El Karoui et al推广的。它允许我们在我们比较两个倒向随机微分方程的解的时候随时比较其终端的条件和生成器。这些成果被广泛应用到无违约市场。例如，倒向随机微分方程首先被Hamadene-Lepeltier 11应用于零和随机微分对策问题。自此以后，倒向随机微分方程和游戏问题的联系更加紧密。在本文中，我们将证明，在适当的假设下，倒向随机微分方程（1）具有独特的解。此外，我们还建立了一个比较定理。应当指出的是，这个比较定理需要一个额外的生成器条件相对于已存在的独特的定理，这是不同于经典案例的地方。作为一个应用，我们处理一个零和随机微分博弈的问题，这也可以被看作是一个不确定性模型的下的效用最大化问题。对于这个游戏，我们假设有两个参与者，其优点是对抗性的。控制系统的动态是参与者J1（或J2）选择一个控制U（或V）。J1（或J2）的目标是最小化（或最大化）功能的耗费。本文中，我们将证明存在一个鞍点使得对于每一点（U、V）。本文按照如下方式组织：第2节中，我们列出了一些我们将使用符号和假设。在第3节，我们将从下面的一个简单的模型 3开始，它提供了一种新的思路，即，信用风险模型下的随机预设时间的倒向随机微分方程。然后我们将证明随机预设时间的倒向随机微分方程解的存在性和唯一性，以及建立一个比较定理。在最后一节（即第4节），我们解决一个零和随机微分对策问题在违约设置下作为以往章节的应用。为了方便读者，我们目前的附录中给出了一些基本结果。2符号和假设使是一个d维标准布朗运动的概率空间并且是它的天然过滤。由中的表示。让是一个非负的变量，满足对于每一个i，我们引进一个右连续的过程通过创建和由定义的关联过滤。 正如在一般的简化方法中一样，对固定的T0，有两类信息：一类来源于价格资产，由定义，一类来源于违约时间，由上面的定义。有关的过大过滤由定义这里，这表明每个是一个G - 停止时间但不一定是一个F-停止时间一般情况下。现在我们做如下假设（见16):(A) 存在一个的F -适应过程使得是P下的G -鞅。(H) 每个F -局部鞅是一个G -局部鞅。应该提到，（H）是一个非常通用的和必要的假设在扩大过滤面积中（见18）。以下只是出于简化的目的：(i) 符号的载体：这里()是转置阵(ii) 符号的集l ；l 是逐步可测量且；l 是逐步可测量且；l 是逐步可测量且3随机预设时间的倒向随机微分方程本节讨论了一般形式的随机预设时间的倒向随机微分方程。我们通过分析下面的在违约金融市场的一个例子开始。3.1一个例子一开始，我们假定这个违约市场是完整的，无套利的，也就是说任何GT-可测的随机变量可贸易的未定权益。在本节的剩余部分，Bieleck等3，我们将见到一个马尔可夫设置。为方便起见，我们假设这里K = 1，密度 是一个常数，交易发生在区间0，T，以及动态主要资产是这里是连续的切主要资产可能是默认或违约的。我们的目标是复制一个未定权益的形式它落在时间T上。从市场的完整性，我们知道是可复制的。现在让我们考虑一个小投资者，他们的行动不能影响市场价格,他可以在时刻决定得多少数额的财富去投资的资产，。当然,他的决定只能基于当前信息,过程和是可以预测的。在Harrison-Pliska13后,我们说一个策略是财政自给的如果其满足下列等式或者,相等的,如果财富过程满足线性随机微分方程注意到，我们需要找到一个策略满足，我们需要找到一个策略满足使得也就是说只在上被很好的定义，事实上，我们有既然 on。然后经简单的计算可得这里是下列的线性形式写入 ，然后(2)因为这只是一个随机预设时间的线性倒向随机微分方程。假设c1，这实际上比3多个除了有一个一般条件，设也就是应用公式（见附件）在上，我们有其满足，在金融市场上,Y被称为未定权益的公平价格。3.2随机预设时间的倒向随机微分方程本届中主要讨论的模型是在违约的金融市场, 代表了时刻T的需要被复制一个未定权益,取决于违约事件是否在时刻T发生。交易发生在区间0,T。Z和代表了套期保值策略的信息，例如，在线性案例中(见3.1节),我们可以计算套期保值策略,通过Z和。 这项功能称为(3)的发生器。我们的目标是找到一个三次的满足(3)。为了这个目的，我们先考虑一个十分简单的例子：一个是一个真正的价值过程,变量是独立的。Lemma3.1对于固定的和g0()满足这里存在一个特殊的三次过程满足如果，我们有下列基本估价特别的这里是任意常数我们同时有这里常量CT取决于T。证明：定义显然，是一个二次可积的G -鞅。由Kusuoka的鞅表示定理(见附件)，存在一个独特的双相适应的过程使得则表示着由，我们可以立刻得出(4).。这是一个简单的唯一性结果估计(6)，我们只需要证明先验估计为了证明(5),我们首先考虑和都有界的情形。由，则过程y也是有界的。从方程式(4)，我们有我们然后添加公式进（见例子A.1）对于：整合s从t到T，并且取的两边的条件期望，我们得到从这里看出其符合(5) 和 (6)。 考虑例子，其中和是可能无界的，设和由和的有界性对每个正整数n和k,我们有和第二个不等式意味着过程是柯西序列在它们相应的空间。所以(5)可证通过使n趋于在(8)中。我们将很容易的得到当（7）是（6）和B-D-G不等式应用于（4）得到的。由上述基本估计,我们现在可以考虑的一般情形(3)。我们假定符合下列条件：(a)(b) 李普希茨条件，对每个，存在一个常量使得定理 3.1假设g满足（a）和（b），则对于任意给定的终端条件倒向随机微分方程有一个特殊解，即，存在一个特殊的三次-适应过程满足（3）.证明；首先，我们引进一种规范在中，设我们定义下面的映像I从到其自身：。 接下来,我们将证明I是一个严格的收缩映射在规范下。对任意两个元素和，我们设并且表示出他们之间的差异通过。由(6)的基本估计,我们有由于g符合李普希茨条件，有使，得到或所以I是一个严格的收缩映射它遵循不动点定理即 倒向随机微分方程(3)有一个独特的解。由（a）和（b），是显然的，由引理3.1，我们有。备注3.1在