2012-2013学年江西省南昌市一模考试数学试卷分析及详解.doc

2012-2013学年江西省南昌市一模考试数学试卷分析及详解一整体解读试卷紧扣我省的考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，宽角度、多视点、有层次地考查了学生的数学理性思维能力、对数学本质的理解能力及数学素养和潜能，尤其是对图形、图表语言的运用，数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法都作了重点的考查，均具有较高的信度、效度和有效的区分度，达到了“考基础、考能力、考素质、考潜能”的考试目标。试卷所涉及的知识内容限定在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，基本体现了“重点知识重点考查”的原则，这对基础不牢的学生影响较大。在重基础的同时，注重知识综合性的考查，如文理第11题都把向量与三角函数结合在一起；文科第17题解三角形和基本不等式结合在一起；文科第19题数列和对数结合在一起；理科第8题二项式定理和函数结合在一起等。总的来说，试卷难度不大，但内容丰富，若要取得好成绩必须要有扎实的基础。1、客观题：选择题填空题总体看上去容易，但是学生得分情况却相当不理想，看似平坦实则陷阱重重，如文科第9题的D选项。不过从考点来看，考得还是比较全面的，对平时月考不注重基础的学校和学生来讲是一个很好的提醒。选择最后一题，文理科考查的都是空间想象能力，难度不大。填空最后一题主要考查的是三角函数的周期性，只要能上手问题就不大。2、解答题： 文科第16题考查的是概率与统计，难度较低。第17题是解三角形、三角函数与基本不等式的综合应用，第二问综合性较强，对于文科生来说有一定的难度。第18题考查的是立体几何题，属常规题，证明线线垂直、线面平行，只要能够准确画出辅助线，便能轻松搞定。第19题是数列题，递推数列一去不返，本题仍然考查的是等差数列，但第一问有难度，要深刻理解等差数列的实质，才能又快又好的将其解决。第20题是导数题，导数的两个运用都有涉及，必须要能够对问题等价转化才能顺利解答。第21题是解析几何题，第一问考查椭圆的概念，很简单，第二问要求证明是否存在某个平行四边形，这种考查并不陌生，在圆锥曲线中属易题。理科解答题考查方式和知识点大体与文科相同，但在导数解答题中更注重分类讨论的思想；数列解答题第二问需要使用放缩的技巧，难度较大。二考点分布1、理科考察内容集合、命题、复数函数数列向量、三角不等式立体几何推理、框图、统计、概率、二项式定理解析几何导数、积分分值15519275272218122、文科知识点复数、集合、命题函数数列向量、三角不等式立体几何推理、框图、统计、概率解析几何导数分值1551732527171913三试题详解文科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A，B，则AB=A是AB=B的A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【解析】：AB=A，AB=B，故选A2函数的定义域是ABCD【解析】：，选D3若复数z满足为虚数单位），则z的虚部为AB2CD-1【解析】：，虚部为-1，故选D4在数列前10项的和为A5B10CD【解析】：，所以是以-2为首项，为公差的等差数列，选C5已知命题：“如果”是假命题，那么字母x，y，z在空间所表示的几何图形可能是A全是直线 B全是平面Cx，z是直线，y是平面Dx，y是平面，z是直线【解析】：x，y是平面，z是直线，如果直线可能在平面x内，也可能与平面x相交或平行.故选D6已知函数的图象如图所示，ABCD【解析】：有图得的周期为，则，选A7程序框图如图，如果程序运行的结果为s=132，那么判断框中可填入ABCD【解析】：，故当时跳出循环。选A8双曲线与抛物线有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于A2BCD【解析】：由题得双曲线的半焦距c=2，则，又通径=，解得，.选B9下列说法中，不正确的是A点的一个对称中心B设回归直线方程为，当变量x增加一个单位时，y大约减少2.5个单位C命题“在ABC中，若，则ABC为等腰三角形”的逆否命题为真命题D对于命题p：“”则“”【解析】：A.,正确；B. 回归直线方程是一种近似的等量关系，正确；C.原命题为真，则逆否命题为真；D. ，故，而，故D选项错误.选D.10已知正ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是AB2CD3【解析】：当截面是以AB为直径的圆时面积最小，正三棱锥中，侧棱为2，高为1，可得底面边长为3，故，选C第II卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11已知= 。【解析】：12若一个圆台的主视图如图所示，则其全面积等于 。【解析】：，则13张先生订了一份南昌晚报，送报人在早上6：307：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间的早上7：008：00之间，则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是 。【解析】：建立直角坐标系，x轴为送报时刻，y轴为出门时刻，则所有“时间对”所对应的面积为1，由题得,其所对应的面积为，故概率为14若对任意的恒成立，则实数x的取值范围是 。【解析】：，为到0的距离与到1的距离之和，由数轴易得15已知函数，则不等式的解集为 。【解析】：的周期为10，故；，得三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分）某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下： （1）写出表中位置的数据； （2）为了选拔出更优秀的学生， 高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数； （3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率。【解析】：（1）的位置为12，的位置为0.304分（2）抽样比为，所以第三、四、五组抽中的人数为3，2，18分（3）设2人中至少有1名是第四组为事件A，则12分17（本小题满分12分）设角A，B，C为ABC的三个内角，已知 （1）求角A的大小； （2）若BC边上的高AD长的最大值。【解析】：（1），因为，所以6分（2）由知， 8分所以，而10分，当且仅当时，上式取等号11分所以边上的高的最大值为.12分18（本小题满分12分）如图，多面体ABCA1B1C1中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA1/BB1/CC1，AA1平面ABC，AA1=BB1=2CC1=4。（1）若O是AB的中点，求证：OC1A1B；（2）在线段AB1上是否存在一点D，使得CD/平面A1B1C1，若存在确定D的位置；若不存在，说明理由。【解析】：(1)取线段的中点为，连接已知等边是边长为4， 平面，是正方形，, 又, 故 6分（2）设，则点是的中点，所以，,8分又, 所以四边形是平行四边形，10分，平面 即存在点D使得平面，点D是的中点.12分19（本小题满分12分）设正项数列都是等差数列，且公差相等，（1）求的通项公式；（2）若的前三项，记数列数列的前n项和为【解析】：（1）设的公差为，则,即，由是等差数列得到：2分，则且，所以，4分，所以：5分，6分（2）由，得到：等比数列的公比，所以：， 8分所以10分12分20（本小题满分13分）已知函数处的切线方程为 （1）若在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，求实数k的取值范围；（2）若对任意，均存在，试求实数c的取值范围。【解析】：（1），由，得2分，得，3分所以 6分（2）设根据题意可知7分 由（1）知 8分，当时，；在上单调递增，满足9分当时，在时递减 ，在时递增，由得，此时10分当时，；在上单调递减，12分综上，c的取值范围是 13分21（本小题满分14分）已知点， （1）求P的轨迹C的方程；（是否存在过点l与曲线C相交于A，B两点，并且曲线C存在点Q，使四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。【解析】：（1）由知道曲线是以为焦点的椭圆，且，所以曲线的方程为6分（2）设，由题意知的斜率一定不为0，故不妨设，代入椭圆方程整理得，7分显然则，8分假设存在点，使得四边形为平行四边形，其充要条件为，则点的坐标为。由点在椭圆上，即整理得10分又在椭圆上，即故11分所以将代入上式解得13分即直线的方程是：，即14分理科、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。1已知集合A，B，则的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】：AB=A，AB=B，故选A2若复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为A2iB2C-ID-1【解析】：，虚部为-1，故选D3在数列中，若，且对任意的，则数列前10项的和为A5B10CD【解析】：，所以是以-2为首项，为公差的等差数列，选C4已知函数的图象如图所示=ABCD【解析】：有图得的周期为，则，选A5下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为ABCD【解析】：，在区间（1，2）内不是增函数；、都为奇函数，选B6双曲线与抛物线有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于A2BCD【解析】：由题得双曲线的半焦距c=2，则，又通径=，解得，.选B7设a，b是夹角为30的异面直线，则满足条件“”的平面A不存在B有且只有一对C有且只有两对D有无数对【解析】：任意做过a的平面 ，可以作无数个在b上任取一点M，过M作的垂线，b与垂线确定的平面垂直与 故选D8展开式的三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为【解析】：，又因为，故选D9下列四个命题中，；设回归直线方程为当变量x增加一个单位时，y大约减少2.5个单位；已知服从正态分布N（0，），且，则：对于命题错误的个数是A0个B1个C2个D3个【解析】：，故错；，故，而，故错，选C10点P是底边长为，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则 取值范围是A0，2B0，3C0，4D2，2【解析】：可用特殊值法，当点P为正三棱柱的顶点时，=4，故选C第卷注意事项：第卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。11已知 .【解析】：12若一个圆台的主视图如图所示，则其全面积等于 . 【解析】：，则13三个好朋友同时考进同一所高中，该校高一有10个班，则至少有2人分在同一班的概率为 .【解析】：14已知函数，若，则不等式的解集为 .【解析】：的周期为10，故；，得三、选择题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分。15（1）（坐标系与参数度方程选做题）已知在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为为参数），平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴为以极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则直线l截圆C所得的弦长为 。【解析】： 圆C的一般方程为，直线l的直角坐标方程为，圆C的圆心到直线l的距离，由垂径定理可得弦长（2）（不等式选做题）若对任意的恒成立，则实数x的取值范围是 。【解析】：，为到0的距离与到1的距离之和，由数轴易得四、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分）设角A，B，C为ABC的三个内角。（1）设时，取极大值，试求的值；（2）当A取时，而，求BC边长的最小值。【解析】：（1）因为. 2分因为，则.由，得，所以，即.4分所以当时，为增函数；当时，为减函数.故，取极大值= 6分（2）由知，8分而， 10分当且仅当时，边长的最小值为 12分17（本小题满分12分）某市电视台的娱乐频道“好声音”节目，制定第一轮晋级互第二轮的规则如下；每名选手准备三首有顺歌曲，按顺序唱，第一首歌专业评审团全票通过则直接晋级到第二轮；否则唱第二首歌和第三首歌，第二首歌由专业评审团投票是否通过，第三首歌由媒体评审团投票是否通过。若第二首歌获得专业评审团三分之二票数以上通过，且第三首歌获得媒体评审团三分之二票数以上通过，晋级到第二轮；若第二首歌，没有获得专业评审团三分之二票数通过，但第三首歌，媒体评审团全票通过，也同样晋级到第二轮，否则淘汰。某名选手估计自己三首歌通过的概率如下表：若晋级后面的歌就不需要唱了，求（1）求该选手晋级唱歌首数的分布列及数学期望；（2）求该选手晋级概率。【解析】：（1）=1，3。 13P0.20.8 6分（2）设该选手第一首歌专业评审团全票通过晋级到第二轮的事件为A，第二首歌三分之二以上专业评审团通过且第三首歌三分之二以上媒体评审团通过晋级到第二轮、第二首歌不到三分之二专业评审团通过且第三首歌媒体评审团全票通过晋级到第二轮的事件分别为B、C 。则7分9分11分该选手晋级的概率为： 12分18（本小题满分12分）设.（1）当x=1时，取到极值，求a的值。（2）当a满足什么条件时，有单调递增区间。【解析】：（1）的定义域为，且2分由题意得：，则，得，4分又时，当时，当时，所以是函数的极大值，所以；6分（2）要使的在区间有单调递增区间，即要求在区间有解，当时等价于.8分当时，不等式恒成立；9分当时得，此时只要，解得10分当时得，此时只要，解得11分综上所述，12分19（本小题满分12分）如图民多面体ABCA1B1C1和它的三视图。（1）线段CC1上是否存在一点E，使BE平面A1CC1，若不存在请说明理由，若存在请找出并证明；（2）求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值。【解析】：由（1）知两两垂直，如图建系，则，1分设，则3分设则，4分由，得所以线段上存在一点，使平面6分另证：补形成正方体，易证（2）设平面的法向量为，则由，得，取，则故，8分而平面的一个法向量为，则11分平面与平面夹角的余弦值为12分20（本小题满分14分）已知点， （1）求P的轨迹C的方程；（是否存在过点l与曲线C相交于A，B两点，并且曲线C存在点Q，使四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。【解析】：（1）由得显然，若，则1分否则，构成三角形，在中，即 5分所以的轨迹的方程为6分（2）设，由题意知的斜率一定不为0，故不妨设，代入椭圆方程整理得，显然 则，8分假设存在点，使得四边形为平行四边形，其充要条件为，则点的坐标为。由点在椭圆上，即整理得10分又在椭圆上，即故将代入由解得即直线的方程是：，即13分21（本小题满分14分）设正项数列的前项和是，若都是等差数列，且公差相等，求的通项公式；（2）若恰为等比数列的前三项，记数列的前n项和为，求证：对任意【解析】：（1）设的公差为，则，且2分又，所以，4分，5分（2）易知6分， 7分。当时，9分 当时，+，且故对任意，14分。四、备考建议2013年高考即将来临，在此基于对一模拟试卷的分析