统计力学20_清华大学物理系.pdf

1 倪 军 清华大学物理系 统 计 力 学统 计 力 学 2 声子气体 6 5声子气体 固体热容量的Debye模型 Bose分布 两种处理方法 Boltzmann 分布 与前面Einstein模型 类似 本节 3 产生了n个能量为 h 的粒子 声子间彼此不可分 exp1 i i i a h 声子气体 1 声子气体 简谐近似下 固体振动 独立的简谐振 子 频率 量子数n的振子激发态 相当于 声子 振子间独立 n任意非负整数 且声子数不守恒 理想声子气体 Bose统计 1 2 ni ihn 4 低温下的热激发主要在低频 长波 部分 连续介质 振动频率为0 D 声子气体 2 Debye模型 Debye Einstein模型与实验定量不符 忽略了低频振动 Debye 当原子间距 连续谱 Debye频率 5 1 exp 1 gd h 声子气体 d 声子数 nd D g 0 D 23 9 D N 0 积分至 D 下面计算 v C与物态方程 Debye频谱 1 3 9 D N B 33 2 v2v 2 lt V B 6 1 Cv 0 0 D Und h 4 32 0 3 3 1 D x y x D x e Nkdx ye D D k h Debye温度 200k 声子气体 U 0ph UU 3 0 3 0 9 exp 1 D D Nh Ud h v C v U T 2 3 0 9 D D Nk d h 声子能 激发能 零点能 平衡位置势能 0 固体结合能 不依赖T Einstein函数 D D y T 7 声子气体 8 化简积分 43 0 4 11 D D y D yx yx dx ee 3 3 0 3 1 D y D x D x ydx ye D 声子气体 4 2 0 1 D x y x x e dx e 4 1 1 x x d e v 3 34 exp1 D BD D y CNky y D ebye函数 U 3 00 3 0 9 3 exp 1 D D D Nh UdUNkTy h D 9 高T极限 D D y T 3 vB CNk 声子气体 1 3 4 4 3 5 D T Nk 声子气体 v C 4 32 0 3 3 1 x B x D x e Nkdx ye 4 3 3 4 3 15 B D Nk y 3 T v C与实验符合 与光子气类似 v 3 34 exp1 D BD D y CNky y D 3 3 0 3 1 D y D x D x ydx ye D 11 2 物态方程 声子气体 ln ph V ln 1 D o dge h 2 3 0 9 ln 1 D D N de h ph U ln ph 3 3 0 9 exp1 D D Nk d h 与前面的结果一样 12 物态方程 421 0 11 27ln 1 9ln 1 3 D D D DD NdeNe V hh 3 ph U V 类似光子情形 uuuuuuuuuur 分部积分 声子气体 ph p ln 1 ph V 1ln D D V 13 D V N 13 p 与的关系 色散关系 可不同于普通粒子 声子气体 3 讨论 1 固体中原子作用强 不能直接用近独立粒子统计 T较低时 简谐近似成立 原子集体振动的简正模式 近独立的理想声子气体 2 声子是准粒子 与振动激发态等效的粒子 有能量 动量等 但不同于电子等 只存在于固体中 相互独立 14 金属 自由电子气贡献 声子气体 3 实际固体比热 化合物 声频 分子内振动 分子间振动 Debye模型合适 光频 Einstein模型合适 DebyeDebye模型模型 EinsteinEinstein模型模型 15 讨论简并费米气体的低温性质 exp 1 i i i a 1 exp 1 i 能级 i 的每个量子态上的平均粒子数 Fermi气体 6 6 Fermi气体 3 1 T n 分布相互作用弱 i f i i a 16 Pauli原理 粒子不能都处于0 态 但尽可能低 0i 态无粒子 0 0 F T Fermi能 Fermi气体 1 完全简并Fermi气 T 0K 0 lim i T f 0 1 lim exp1 T B k T 0i 0 1 既 1 0 0 i i f 17 单原子为例 能量准连续 3 23 2 2 s Cgmh 2 32 3 24 s hN mg V Fermi气体 讨论宏观量 gdCVd N 3 2 2 3 F CV 0 00 1 f T gdfgd F 2 3 3 2 N CV F 18 3 5 F N l 零点能 2 0 1 v 2 m r 0 2 3 U V l零点压强 0 Fermi气体 0 0 U N 3 5 F 0 U 0 1 F gd 粒子平均能量 方均根数率 0 p T F V 0 U V 0F F dUd dV d l熵 ln F Sk 23 2 3 24 s hN mg V F 19 例 金属中电子气 纯粹的量子效应 Fermi气体 30 10 e mkg 283 N 10 V m s g2 1 F eV 6 F v 10 m s 4 0 10p大气压 23 2 3 24 s hN mg V F 20 2 低温情形 F T 4 金属电子气 10 k 低温 0 F TT 热运动能量小 粒子分布基本不变 F 附近的粒子可能是跳到高能级态上 i 1 1 2 0 iB i B k T k T Fermi气体 强简并Fermi气 F F T k Fermi温度 只有 1 exp1 i i B f k T 0 F TT 即 2 2 2 2 3 L 24 2 5 2 25 1 58 BB k Tk T CVO Fermi气体 B k T T 时 半经典分布 e1 1 29 宏观量用可测量表示 24 2 0 5 1 12 FF TT UO TT Fermi气体 U 52 2 2 0 0 25 1 524 B k T CV L 2 2 0 5 1 8 B k T L 33 55 FBF NNk T 0 U U 30 宏观量用可测量表示 Fermi气体 p 5 2 0 4 15 C 24 2 0 5 1 12 FF TT pO TT 2 3 U p V 00 511 52 V 0 5 10 15 20 25 p Isotherms forideal Fermi systems T F T T 012345 1 1 2 1 4 1 6 1 8 2 2 2 V p NkBT 31 宏观量用可测量表示 12 2 2 2 0 1 3 B F T CVk TO T Fermi气体 S 32 宏观量用可测量表示 2 2 0 1 2 B B F k TT NkO T Fermi气体 v C v U T 2 0 2 5 6 F T U T L v B CNk F T T 3 2 Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld 1868 1951 电子气对金属热容量的贡献 首先由Sommerfeld解决 电子 自由 服从Fermi分布 33 Fermi气体 讨论 低温 高温 0 F TT F F T k 34 Fermi气体 低温 高温 比热实验值 金属 v C T v C 常温 B Nk v C 3 TT 晶格振动的贡献 Debye Einstein 电子气的贡献 Sommerfeld measurements of the low temperature heat capacity of copper plotted as C T versusT2 35 4 F T 10 K 常温属低温极限 2 3 23 F T N