2010部分市中考几何压轴题.doc

2010部分省市中考几何压轴题例1（2010浙江嘉兴）如图，已知O的半径为1，PQ是O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个的顶点与点P重合，第二个的顶点是与PQ的交点，最后一个的顶点、在圆上（第23题）（第23题 图1）（第23题 图2）（第1题 图1）（1）如图1，当时，求正三角形的边长；（2）如图2，当时，求正三角形的边长；（3）如题图，求正三角形的边长（用含n的代数式表示）（1）设与交于点D，连结，则，在中，即，解得（2）设与交于点E，连结，则，在中，即，解得（3）设与交于点F，连结，则，在中，即，解得2（2010 四川南充）如图，ABC内接于O，ADBC，OEBC， OEBC（1）求BAC的度数（2）将ACD沿AC折叠为ACF，将ABD沿AB折叠为ABG，延长FC和GB相交于点H求证：四边形AFHG是正方形（3）若BD6，CD4，求AD的长AFCDEGHBO【答案】（1）解：连结OB和OCOEBC，BECEOEBC，BOC90，BAC45（2）证明：ADBC，ADBADC90由折叠可知，AGAFAD，AGHAFH90，BAGBAD，CAFCAD，BAGCAFBADCADBAC45GAFBAGCAFBAC90四边形AFHG是正方形 （3）解：由（2）得，BHC90，GHHFAD，GBBD6，CFCD4设AD的长为x，则BHGHGBx6，CHHFCFx4在RtBCH中，BH2CH2BC2，（x6）2（x4）2102解得，x1=12，x22（不合题意，舍去）AD12例3（2010湖北荆门）如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点（1）求证：ACCD=PCBC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长； （3）当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？并求出这个最大面积S。【答案】（1）由题意，AB是O的直径；ACB=90。，CDCP，PCD=90。ACP+BCD=PCB+DCB=90。，ACP=DCB，又CBP=D+DCB，CBP=ABP+ABC，ABC=APC，APCD，PCADCB；， ACCD=PCBC（2）当P运动到AB弧的中点时,连接AP，AB是O的直径，APB=90。，又P是弧AB的中点，弧PA=弧PB，AP=BP，PAB=PBA=45.,又AB=5，PA=，过A作AMCP，垂足为M，在RtAMC中，ACM=45 ，CAM=45，AM=CM=，在RtAMP中，AM2+AP2=PM2，PM=，PC=PM+=。由（1）知：ACCD=PCBC ，3CD=PC4，CD（3）由（1）知：ACCD=PCBC，所以AC：BC=CP：CD；所以CP：CD=3：4，而PCD的面积等于=，CP是圆O的弦，当CP最长时，PCD的面积最大，而此时CP就是圆O的直径；所以CP=5，3：4=5：CD；CD=，PCD的面积等于=； 例4（2010 四川成都）已知：如图，内接于O，为直径，弦于，是AD的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、（1）求证：是的外心；（2）若,求的长；（3）求证：（1）证明：C是AD的中点，AC=CD，CAD=ABCAB是O的直径，ACB=90。CAD+AQC=90又CEAB，ABC+PCQ=90AQC=PCQ在PCQ中，PC=PQ，CE直径AB，AC=AEAE=CDCAD=ACE。在APC中，有PA=PC，PA=PC=PQP是ACQ的外心。（2）解：CE直径AB于F，在RtBCF中，由tanABC=，CF=8，得。由勾股定理，得AB是O的直径，在RtACB中，由tanABC=，得。易知RtACBRtQCA，。（3）证明：AB是O的直径，ACB=90DAB+ABD=90又CFAB，ABG+G=90DAB=G；RtAFPRtGFB，即易知RtACFRtCBF，由（1），知PC=PQ，FP+PQ=FP+PC=FC。例5（2010四川 泸州）(本题满分10分)如图9,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,且AE与DE分别平分BAD和ADC.求证:AEDE;设以AD为直径的半圆交AB于F,连接DF交AE于G,已知CD=5,AE=8,求的值.(1)证明:在平行四边形ABCD中,ABCD,BAD+ADC=180, 又AE、DE平分BAD、ADC， DAE+ADE=90， AED90， AEDE. (2)解:在平行四边形ABCD中,ADBC,AB=CD=5,AD=BC,DAE=BEA, 又DAE=BAE,BEA=BAE,BE=AB=5, 同理EC=CD=5, AD=BC=BE+EC=10, 在RtAED中,DE=6, 又AD为半圆的直径,AFD=90,AFD=AED,DAE=FAG,AFGAED, . 例6（2010湖北宜昌）如图，P是ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D,E在边BC上，顶点F在边AB上；ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a , h,且是关于x的一元二次方程的两个实数根，设过D,E,F三点的O的面积为,矩形PDEF的面积为。（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；（2）求的最小值；（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m , n , k的取值是否有关？请说明理由。（11分）ACB(第6题)解法一：（1）据题意，a+h=.所求正方形与矩形的面积之比： 由知同号, 即正方形与矩形的面积之比不小于4.（2）FED=90,DF为O的直径.O的面积为：矩形PDEF的面积：面积之比： 设, ，即时（EF=DE）, 的最小值为MN（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形过B点过BMAQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP e，BNFE，NFBE,BN=EF,BN =FP =e.由BCMQ,得：BM =AG =h.AQBC, PFBC, AQFP,FBPABQ. ,.线段AQ的长与m，n，k的取值有关. 解法二：（1）a，h为线段长，即a，h都大于0，ah （a-h），当ah时等号成立. 故，（a-h）（ah）a h（ah）a h，（）这就证得（叙述基本明晰即可）（2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则O的直径为 . SO=, S矩形PDEF=xy = =由（1）（*）， .的最小值是（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形. EF=PF作AGBC，G为垂足.AGBFEB，.AQBFPB, ，=而 EF=PF，AG=AQ=h, AG=h,或者AG=h线段AQ的长与m，n，k的取值有关.例7（2010广东清远）如下图，在O中，点P在直径AB上运动，但与A、B两点不重合，过点P作弦CEAB，在上任取一点D，直线CD与直线AB交于点F，弦DE交直线AB于点M，连接CM.（1）如图10，当点P运动到与O点重合时，求FDM的度数. （2）如图11、图12，当点P运动到与O点不重合时，求证：FMOB=DFMC.解：（1）点P与点O重合时，（如图10）CE是直径，CDE90.CDEFDM180，FDM90.（2）当点P在OA上运动时（如图11）OPCE，CPEP. CMEM.CMPEMP.DMOEMP，CMPDMO.CMPDMCDMODMC，DMFCMO.D所对的弧是，COM所对的弧是，DCOM.DFMOCM.FMOCDFMC. OBOC，FMOBDFMC.当点P在OB上运动时，（如图12）证法一：连结AC，AE.OPCE，CPEP.CMEM，CMOEMO.DMFEMO，DMFCMOCDE所对的弧是，CAE所对的弧是.CDECAE180.CDMFDM180，FDMCAE.图10 图11 图12CAB(P)EOMFDCABPEOFDMOCABPEFDMCAE所对的弧是，COM所对的弧是，CAECOM.FDMCOM. DFMOCM.FMOCDFMC.OBOC，FMOBDFMC.证法二：OPCE，CPEP.CMEM，CMOEMO.DMFEMO，DMFCMOCDE所对的弧是，CDE度数的一半的度数180的度数.FDM180CDE180（180的度数）的度数.COM的度数.FDMCOMDFMOCM.FMOCDFMC.OBOC，FMOBDFMC. 例8(2010湖北黄冈)（15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PMPN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.（1）a1，b2，c0（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MPMFPF1，故MPF为正三角形.（3）不存在.因为当t，x1时，PM与PN不可能相等，同理，当t，x1时，PM与PN不可能相等.例9（2010四川绵阳）如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为DE（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大？并求出最大面积CEDGAxyOBF（1）由题意，得 解得，b =1所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（1，）（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为DH + CH = DH + HB = BD = 而 CDH的周长最小值为CD + DR + CH =设直线BD的解析式为y = k1x + b，则 解得 ，b1 = 3所以直线BD的解析式为y =x + 3由于BC = 2，CE = BC2 =，RtCEGCOB，得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5G（0，1.5）同理可求得直线EF的解析式为y =x +联立直线BD与EF的方程，解得使CDH的周长最小的点H（，）（3）设K（t，），xFtxE过K作x轴的垂线交EF于N则 KN = yKyN =（t +）=所以 SEFK = SKFN + SKNE =KN（t + 3）+KN（1t）= 2KN = t23t + 5 =（t +）2 +即当t =时，EFK的面积最大，最大面积为，此时K（，）例10在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线（1）求直线及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；（3）设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由并探究：若设Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，Q与两坐轴同时相切？（1）解：（1）沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，。 将 代入，得。解得。直线AC的函数表达式为。抛物线的对称轴是直线解得抛物线的函数表达式为。（2）如图，过点B作BDAC于点D。 ， 。过点P作PEx轴于点E，PECO，APEACO，解得点P的坐标为（3）（）假设Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。设点Q的坐标为。 当Q与y轴相切时，有，即。当时，得，当时，得， 当Q与x轴相切时，有，即当时，得，即，解得，当时，得，即，解得，。综上所述，存在符合条件的Q，其圆心Q的坐标分别为，。（）设点Q的坐标为。当Q与两坐标轴同时相切时，有。由，得，即，=此方程无解。由，得，即，解得当Q的半径时，Q与两坐标轴同时相切。例11 （2010重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上另一等腰OCA的顶点C在第四象限，OCAC，C120现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿AOB运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1）求在运动过程中形成的OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边OAB的边上（点A除外）存在点D，使得OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有MCN60，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN将MCN绕着C点旋转（0旋转角60），使得M、N始终在边OB和边AB上试判断在这一过程中，BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由例12. 在平面直角坐标系xOy中，拋物线y= -x2+x+m2-3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条拋物线上。 (1) 求点B的坐标； (2) 点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得E