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习题课 数列求和 一 二 三 提示将数列中的每一项转化为两项之差的形式 通过正负抵消求得数列的和 一 二 三 提示不是等差数列 也不是等比数列 它们的每一项是由一个等差数列和一个等比数列的各项相加得到的 2 填空 分组求和法 如果一个数列的各项是由若干个等差数列和等比数列的项相加减得到的 那么可以把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合 使其分别构成等差数列或等比数列 然后利用等差 等比数列的求和公式求解 一 二 三 三 并项转化法求和 问题思考 1 给出数列 1 3 5 7 9 11 思考 该数列是等差数列吗 该数列中各项的符号有什么特点 如果将该数列依次两项两项分段相加 得到的新数列是什么数列 提示该数列不是等差数列 该数列各项的符号正负交替 将该数列依次两项两项分段相加 得到的新数列为 2 2 2 2 它是一个常数列 2 填空 并项转化法 在求数列的前n项和时 如果一个数列的项是正负交错的 尤其是当各项的绝对值又构成等差数列时 可以依次两项两项 或几项几项 合并 再利用其他相关的方法进行求和 3 做一做 若数列 an 的通项公式an 1 n 2n 前n项和为Sn 则S10 S15 解析S10 2 4 6 8 18 20 2 5 10 S15 2 4 6 8 28 30 2 7 30 16答案10 16 答案 1 2 3 4 1 2 3 反思感悟裂项法的实质是将数列中的每项 通项 分解 相加使之能消去一些项 最终达到求和的目的 利用裂项法的关键是分析数列的通项 考察其是否能分解成两项的差 且这两项一定要是同一数列相邻 相间 的两项 在裂项求和的过程中 还要注意以下几点 1 在通项裂开后 原各项是否恰好等于相应的两项之差 2 在正负项抵消后 是否只剩下了第一项和最后一项 还有可能前面剩下了两项 或多项 后面也剩下了两项 或多项 1 2 3 1 2 3 反思感悟1 一般地 当数列中的各项正负交替 且各项的绝对值成等差数列时 都可以采用并项转化法求和 2 在利用并项转化法求和时 因为数列的各项是正负交替的 所以一般需要对项数n进行分类讨论 但最终的结果却往往可以用一个公式来表示 反思感悟用错位相减法求和时 应注意 1 要善于识别题目类型 特别是等比数列的公比为负数的情形 2 在写出 Sn 与 qSn 的表达式时 应将两式 错项对齐 以便下一步准确写出Sn qSn的表达式 若公比是个字母参数 则应先对参数加以讨论 一般情况下 分公比等于1和不等于1两种情况分别求和 失误警示 通过阅卷统计分析 造成失分的原因如下 1 由数列 an 中an与Sn满足的关系式求其通项an时 漏掉n 1时的情况而导致丢分 2 不会利用an bn bn 1求出等差数列 bn 的公差和首项 3 用错位相减法求数列 cn 的前n项和Tn时 不知道错位对齐相减 弄错正负号而失分 4 已知数列 an 的通项公式为an 1 n 5n 4 则其前20项
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