高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式2基本不等式学案含解析.docx

2基本不等式1基本不等式的理解重要不等式a2b22ab和基本不等式，成立的条件是不同的前者成立的条件是 a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a0，b0仍然能使成立两个不等式中等号成立的充要条件都是ab.2由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式(1)a2b2；(2)ab；(3)ab2；(4)2；(5)(ab)24ab.利用基本不等式证明不等式已知a，b，cR，且abc1.求证：9.解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明法一：a，b，cR，且abc1，3332229，当且仅当abc时，等号成立即9.法二：a，b，cR，且abc1，(abc)111332229，当且仅当abc时，等号成立9.用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明1已知x1，x2，x3为正实数，若x1x2x31，求证：1.证明：因为x1，x2，x3为正实数，所以x1x2x32222(x1x2x3)2，当且仅当x1x2x3时，等号成立所以1.2已知a，b，c0，求证：abc.证明：a，b，c，均大于0，又b2 2a，c2 2b，a2 2c，2(abc)即abc.当且仅当b，c，a，即abc时，等号成立.利用基本不等式求最值(1)求当x0时，f(x)的值域；(2)设0x0，y0，且1，求xy的最小值根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值(1)x0，f(x).x2，0.0f(x)1，当且仅当x1时，等号成立即f(x)的值域为(0,1(2)0x0.y4x(32x)222.当且仅当2x32x，即x时，等号成立y4x(32x)的最大值为.(3)x0，y0，1，xy(xy)1061016.当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，xy的最小值为16.在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决3已知x0，y0且5x7y20，求xy的最大值解：xy(5x7y)22.当且仅当5x7y10，即x2，y时，等号成立，所以xy的最大值为.4若正数a，b满足abab3，(1)求ab的取值范围；(2)求ab的取值范围解：(1)a，bR，abab323.令y，得y22y30，y3或y1(舍去)aby29.ab的取值范围是14，当且仅当，即a，b时取等号所以的最小值为.利用基本不等式解决实际问题某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2017年春节期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2017年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完(1)将2017年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；(2)该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(1)两个基本关系式是解答关键，即利润销售收入生产成本促销费；生产成本固定费用生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式(1)由题意可设3x，将t0，x1代入，得k2.x3.当年生产x万件时，年生产成本年生产费用固定费用，年生产成本为32x3323.当销售x万件时，年销售收入为150%t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润年销售收入年生产成本促销费，得年利润y(t0)(2)y50502 50242，当且仅当，即t7时，等号成立，ymax42，该企业2015年的促销费投入7万元时，企业的年利润最大利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式yf(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约6一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x件)，每进一次货运费为50元，且在销售完该次所进货物时，立即进货，现以年平均件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x应是多少？解：设一年的运费和库存费共y元，由题意，知y502010x2104，当且仅当10x即x500时，等号成立，ymin10 000，即每次进货500件时，一年的运费和库存费最省7.某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值解：(1)由题设，得S(x8)2x916，x(8,450)(2)因为8x2成立，故正确；不正确，如a1，b4.2已知a0，b0，a，b的等差中项是，且a，b，则的最小值是()A3 B4 C5 D6解析：选Cab21，a0，b0，ab115，当且仅当ab时，等号成立3已知不等式(xy)9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2 B4 C6 D8解析：选B(xy)1a1a2(1)2(x，y，a0)，当且仅当yx时取等号，所以(xy)的最小值为(1)2，于是(1)29恒成立，所以a4，故选B.4要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A80元 B120元 C160元 D240元解析：选C设底面矩形的长和宽分别为a m，b m，则ab4.容器的总造价为20ab2(ab)108020(ab)8040160(元)(当且仅当ab2时，等号成立)5已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则a_.解析：x0，a0，f(x)4x24，当且仅当4x时等号成立，此时a4x2，由已知x3时函数取得最小值，a4936.答案：366若logxlogy4，则xy的最小值是_解析：由题意知x0，y0，logxy4，得xy4，xy24(当且仅当xy时，等号成立)答案：47y(x0)的最小值是_解析：x0，yx1121.当且仅当x1时，等号成立答案：218已知a，b是正数，求证：(1) ；(2).证明：(1)左边 右边，原不等式成立(2)右边左边，原不等式成立9设x0，y0且xy4，要使不等式m恒成立，求实数m 的取值范围解：由x0，y0且xy4，得1，.当且仅当 时，等号成立即y2x(x0，y0，y2x舍去)此时，结合xy4，解得x，y.的最小值为，m，m的取值范围为.10如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说