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第 6 章 非线性动力学 104 6 非线性动力学非线性动力学 6 1 微分方程 向量场与动态系统微分方程 向量场与动态系统 6 1 1 微分方程微分方程 对于一个非线性振动系统 0 2 2 dt dy yFy dt yd 当 1O 时 就不再是一个弱非线性系统 此时 我们引入 yxyx 21 从而将上述微分方程变换为如下标准形式 2112 21 xxFxx xx 对于一般的动力学系统 通常由 Lagrange 方程 qqtLLQ q L q L dt d j jj 或 Hamilton 正则方程 j j j j q H p pqtHH p H q 所描述 同样可以对上述方程进行变换 因此 一个动力学系统可以由下列微分方程初值问 题所描述 0 0 xxxtfx 其中 n RxRt 第 6 章 非线性动力学 105 一个动力学系统 从物理观点看 毫无疑问其描述方程是有解的 并且对于给定的初始 条件 解是唯一的 而对于一般意义下的微分方程初值问题 即如果纯粹从数学上看 则微 分方程必须满足一定的条件 才有方程解的存在性和唯一性 6 1 2 向量场向量场 考虑定义在 n 维 Euclid 空间 Rn中的区域 U 上的 1 阶常微分方程组 RtRUxxfx n 其中 f 不显含时间 t 这种系统称为自治系统自治系统 Autonomous System 显然 当时 是一向量 代表了动点在相平面上 2 Rx 2 Rxf 21 x x处的速度 沿着方程解轨线的切向 因此 我们可以在平面上每一点画出 f 的矢量方向 从而 对于给 定的初值 从初始点开始 沿着矢量方向画出满足微分方程初值问题的解轨线 由于 在整个平面有定义 因此 称 21 x xf 21 x xf是向量场向量场 6 1 3 动态系统动态系统 设 t 是微分方程初值问题 0 0 xxxfx n RxRt 的解 则显然它是不仅是时间的函数 而且也是初值的函数 即解随着初值的改变而改变 可以将解记为 0 xt 当 x0是 n R中的某一点时 0 xt 代表了 1 条解轨线 而 Dxxt 00 则代表了一族轨线 将 看成是一个映射 即 00 xtxt RRR nn a 显然映射 成立 第 6 章 非线性动力学 106 1 00 0 xx 2 00 xtsxts 我们称 是 n R上的一个动态系统动态系统 亦称为 n R上的一个流流 直观地看 流是整个 n R上的一 族轨线 对于给定的t R 0 xt 可以看成是如下的一个偏映射 000 xtxx RR t nnt a 它满足 1 tsts o 2 I 0 因此 构成一个群群 t 6 2 Poincar 映射与离散动态系统 映射与离散动态系统 考察相空间中的轨线 如果我们在相空间中作一平面 S 则轨线与平面 S 相交时的时间 及交点构成一序列 LL 221100nn PtPtPtPt 构造一映射 使得 nnn PtP 1 这是一个离散映射 称为 Poincar 映射 如满足群的条件 称为是一个离散的动态系统离散的动态系统 显 然 离散的动态系统是对连续动态系统进行离散化而得到 第 6 章 非线性动力学 107 图 6 1 Poincar 截面 离散动态系统的另一种描述是 对于位形空间 2 RRxt 中的一条轨线 将动点在t 时刻的位置标在相平面上 从而得到一个离散的动态系统 n nnn yxP nnn PtP 1 该相平面 或平面 S 称为 Poincar 截面 截面 6 3 结构稳定性结构稳定性 结构稳定性是指当动态系统受到扰动后变成另一个动态系统时 系统的拓扑结构保持不 变的性质 例如 考察带参数的 van der Pol 方程 01 2 2 2 y dt dy ay dt yd 其中 a 代表了对系统的扰动 当时 方程存在极限环 而当0 a0 a时 则极限环不存 在 解是发散的 因此 动态系统 22 RRR a 在中拓扑结构相同 都有一个半稳定的极限环 因此是结构稳定的 Ra 2 1123 3 2 1 1 2 3 图 6 2 van der Pol 方程极限环 第 6 章 非线性动力学 108 6 4 解的最终行为解的最终行为 我们通常对解的最终行为或最终趋势感兴趣 也就是希望研究动态系统当t时的 运动行为 它在物理上对应了这样的一个观点 在系统的最初阶段 系统由于外界的初始干 扰 将呈现相当复杂的运动形式 但随着时间的延续 运动将进入平稳状态 而这种平稳状 态体现了动态系统的本质结构 微分方程解的最终形态通常有 1 平衡点 2 周期解 3 拟周期解 4 混沌解 6 4 1 平衡点平衡点 对于微分方程 n RxxFx 如果存在x 成立 0 xF 则xx 是微分方程的一个平凡解 亦称为是系统的一个平衡点 在相空间中 平衡点是一 个不动点 当方程的初值在平衡点上时 则解始终在平衡点的位置上 而当初值在平衡点附 近时 由初值问题解的存在性与唯一性 相空间中的解轨线或者远离平衡点 或者逼近平衡 点 但不会通过平衡点 例例 1 如图 6 2 所示是微分方程 0 3 yyy 在相平面 21 x x yxyx 21 第 6 章 非线性动力学 109 上的轨线图 平衡点分别为 0 1 0 0 0 1 分界线趋于1 当且仅当 t 1 5 1 0 50 511 5 1 5 1 0 5 0 5 1 1 5 例例 2 如图 6 3 所示是微分方程 02 0 yyy 在相平面 21 x x yxyx 21 上的轨线图 平衡点为 当 0 0 t时 解轨线趋于平衡点 0 6 0 4 0 20 20 40 6 0 8 0 6 0 4 0 2 0 2 0 4 0 6 对于离散动态系统 平衡点是映射的一个不动点 即 xx 例例 3 考虑一个迭代过程 离散动态系统 nnnn yyyfy 18 2 1 图 6 3 例 2 相图 图 6 2 例 1 相图 第 6 章 非线性动力学 110 则不动点为 642857 00 21 yy 取初值为 得到迭代收敛于不动点9 0 0 y 2 y 0 20 40 60 81 0 2 0 4 0 6 0 8 1 图 6 4 例 3 迭代收敛于不动点 6 4 2 周期解周期解 对于微分方程 n RxxFx 如果存在解 tx 并存在一常数 T 成立 tTt 则称解 tx 是周期的 显然 周期解在相空间中是一个封闭曲线 例 1 图中在 之间分界线所围区域内 除一个平衡点 11 1 Ut x 则称平衡点x是 Liapunov 稳定的 微分方程平衡点的稳定性 首先可以通过将方程进行线性化 2 yOyxDFy yxx 从而转化为研究 y 的零解的稳定性 当 Jacobi 矩阵的所有特征值都有负实部时 零解是稳 定的 当 Jacobi 矩阵至少存在 1 个有正实部的特征值时 零解不稳定 这个定理对于线性 和非线性微分方程都成立 具有这类特征值的系统称为双曲双曲 Hyperbola 的 双曲的系统 对线性和非线性具有相同的拓扑性质 这样的性质称为是通有通有 Generic Property 的 对于 双曲系统 可以通过对应的线性系统来分析非线性系统平衡点的稳定性 并且无须考虑非线 性的强与弱 如果要对动态系统进行分类 那么双曲系统在算子空间中是稠密稠密的 而非双曲 系统则是孤立孤立的 图 6 7 所示是 2 维线性系统的相轨线 坐标原点是系统的平衡点 图 6 7a b 中的平衡 点是稳定的 称为稳定结点 图 6 7c 中的平衡点是不稳定的 称为鞍点 图 6 7 2 维线性系统的相轨线 6 5 2 任意解的稳定性任意解的稳定性 设 tx 是微分方程 xtFx 第 6 章 非线性动力学 113 的一个解 0 0 x 若对任意小的0 和任意大的T 存在0 0 T 使得当 任意的 1 x y V 则 y是稳定的 0 2 2 y V 则 y是不稳定的 第 6 章 非线性动力学 114 如果稳定性由作用力 yf来确定 有 0 00 0 ff 则 y是稳定的 0 00 0 ff 则 y是不稳定的 图 6 8 例 1 分叉图 该判据表明在偏离平衡点的位置上力指向原平衡点时 平衡点是稳定的 而当偏离平衡点的 位置上力背离原平衡点时 平衡点则是不稳定的 例例2 转动摆 转动摆 图 6 9 转动摆 动力学方程为 0cossinsin 2 xxx l g x 平衡点所满足的方程 0cossin 2 x l g x 广义势能为 第 6 章 非线性动力学 115 xmlxmglTVV 222 0 sin 2 1 cos1 图 6 10 转动摆的分叉 6 7 Bernoulli 移位移位 考虑一个动力系统 它可以用一个迭代方程来描述 1 2 1 12 2 1 02 1 nn nn nn xx xx xx 显然 由初值 就确定了一个序列或解 这个解对有依赖性 但对确定 的 解序列是唯一确定的 构成一离散流 0 x10 0 x 0 x 0 x 该动力系统的性质有 1 所有的迭代解都成立 10 n x 2 迭代过程的图示为 第 6 章 非线性动力学 116 图 6 11 Bernoulli 移位 3 若对迭代过程采用二进位表示法 当 2 1 0 x时 其中L 321 1 02aaaax n n n 0 1 a 当1 2 1 x时 其中L 321 1 02aaaax n n n 1 1 a 当 2 1 0 x时 LL 32321 1 1 0 22aaaaaaxx n n n 当1 2 1 第 6 章 非线性动力学 117 b 若是有理数 用真分数表示时 其分母有非 2 的因子 则经过有限次迭代后 序列 将出现循环 因此 定常态是一个周期解 0 x 例如 28 13 0 x 迭代过程为 13 28 13 14 6 7 5 7 3 7 6 7 5 7 3 7 6 7 5 7 3 7 定常态是一个周期 3 解 20 1 0 x 迭代过程为 1 20 1 10 1 5 2 5 4 5 3 5 1 5 2 5 4 5 3 5 1 5 定常态是一个周期 4 解 33 28 0 x 迭代过程为 28 33 23 33 13 33 26 33 19 33 5 33 10 33 20 33 7 33 14 33 28 33 23 33 13 33 26 33 19 33 5 33 10 33 20 33 7 33 14 33 28 33 定常态是一个周期 10 解 c 若是无理数 则序列既不趋于零 也不趋于任何周期解 由于无理数在十进制下展 开为无穷小数 因此 在二进制下也展开为无穷小数 因此 迭代过程是一个貌似 无规则的解 0 x 0 x 例如 2 1 0 x 80 707107 0 414214 0 828427 0 656854 0 313708 0 627417 0 254834 0 509668 0 019336 0 038672 0 0773439 0 154688 0 309376 0 618751 0 237503 0 475006 0 950012 0 900024 0 800047 0 600095 0 200189 最终性态为周期 3 解 若对 28 13 0 x作一小扰动 为 3002 9992 1000 0 2 888113 8 1 1 28 13 L x 对这个初值 有0 30033002 Lxx 如果 1000 0 8 2 1 28 13 x 则解序列是一无规则序列 系统的内在随机性系统的内在随机性 所谓的内在随机性是指 1 理论上 确定的系统 确定的初值 导出 随机 的结果 这种 随机 结果的出现导 致了在动态系统最终行为的分类上增加了混沌混沌解这一分类 从 Bernoulli 移位这一例子 看 混沌解首先表现在动态系统的解是不稳定的 但收敛于一有限区域 2 类似于量子力学中著名的 量子不可测 理论 动态系统同样存在与计算系统的相互作 用问题 由于在计算系统中 2 进制的位数总是有限的 对于无理数初值的输入 总是以 有限位数来近似表示 对于 Bernoulli 移位 每一次迭代 小数点向右移一位 表明了 初始信息弱化一次 在经过有限次迭代之后 输入的初始信息被消耗完毕 输出的是零 或者是非零 零 表示计算系统 不能测 而 非零 则表示动态系统与计算系统 存在相互作用 这就是系统的内在随机性 第 6 章 非线性动力学 119 6 8 Logistic 映射映射 一般的一维迭代可写成为 nn xfx 1 它是一个动力系统 由初值完全确定运动的序列 0 x L 210 xxx 我们可以将上述动态系统看成是一个映射 xfxf 通常我们感兴趣的是函数形式改变时动态有什么根本变化 因而在 f 中包括进某个参量 研究 变化时系统动态的变化 考察 Logistic 映射 xxxf 1 xxxf 1 不动点与稳定性不动点与稳定性 由方程 0 xfx 得到 2 个不动点 1 10 21 平衡点的稳定性问题 将系统在平衡点附近展开 设yxx 得到 nn yxDfy 1 当 1 xDf时 nn yyxDf时 平衡点是不稳定的 对于 Logistic 映射 xxDf21 因此 在01 时 有 2 个不动点 第 6 章 非线性动力学 120 1 10 21 由于 2 21 DfDf 则不动点0 1 是不稳定的 当13 时 2 个不动点 1 10 21 都是不稳定的 周期周期 2 解解 当3 时 2 个不动点都是不稳定的 那么 此时的稳态解是什么 如果取2 3 初值取 迭代过程为 5 0 0 x 80 5 0 8 0 512 0 799539 0 512884 0 799469 0 513019 0 799458 0 51304 0 799456 0 513044 0 799456 0 513044 0 799455 0 513044 0 799455 0 513045 显然 迭代收敛于周期 2 解 求周期 2 解事实上是求 2 次迭代 xffxf 2 的不动点 即求方程 xfx 2 的根 对于 Logistic 映射 周期 2 解为 21 2 311 21 由于 22 24 xDf 则由 1 2 xDf得到 613 时 周期 2 解失稳 系统将出现周期 4 解 因此 我们可以引入 21 L 其中 3 1 代表平衡点 周期 1 解 变为周期 2 解的分叉值 61 2 代表了周期 2 第 6 章 非线性动力学 121 解变为周期 4 解的分叉值 等等 称为周期倍化分叉 Period doubling bifurcation 周期 倍化过程没有限制 但相应的 值却有一个 L 672 945 569 3 当 时 系统的定常解是周期解 即一个非周期解 当 2 4 系统中将出现 混沌 由周期倍化分叉而进入混沌的过程如图 6 13 所示 图 6 13 Logistic 映射周期分叉 从图 6 13 可以看出 当 4 时 系统也并不是一片混沌 而是存在一些非混沌区 称为混沌区中的窗口 最大的窗口为周期 3 窗口 如图 6 14 所示 图 6 14 周期 3 窗口 在周期 3 窗口中 可以看到又出现了周期倍化分叉至混沌的自相似自相似结构 同时 又可以 看出混沌是有结构的 某一区域内解出现的次数或密度似乎有一定的概率分布 第 6 章 非线性动力学 122 6 9 H non 映射映射 对由常微分方程组描述的动力学系统的分析 往往先将它们转化为相应的二维迭代式 一般形式的二维迭代式是 nnn nnn yxgy yxfx 1 1 它可以看成是一个动态系统或一个映射 yxgyxfyx RR 22 a 它的不动点或平衡态满足方程 g f 在不动点邻近的动态 不动点的稳定性 由相应的线性化方程说明 n n n n n n y x yxD gfD y x y g x g y f x f y x 1 1 其中 yxD gfD J 是 Jacobi 矩阵 其行列式代表了迭代之后与迭代之前的面积比 设 Jdet i 是 Jacobi 矩阵 的特征值 即满足下列特征方程 0det IJ i 则沿着对应于特征值的特征方向 成立如下迭代 n n i n n y x y x 1 1 因此 只有当两个特征值都成立 11 21 则不动点是不稳定的 考察 H non 映射 迭代方程为 nn nnn xy byaxx 1 2 1 1 不动点有 2 个 11 和 22 a abb a abb 2 411 2 411 2 22 2 11 取 b 则不动点为4 1 a3 0 13135 1 13135 1 631354 0 631354 0 对应的 特征值和特征矢量如下表 不动点 Jdet 特征值 特征矢量 0 0920296 8 0 0920296 1 1 13135 1 13135 3 3 25982 83 25982 1 1 92374 8 1 92374 1 0 631354 0 631354 3 0 155946 8 0 155946 1 沿着两个特征矢量 作过不动点的两条直线称为特征线 对于线性系统 特征线是轨线 当 特征线对应的特征值判定迭代是稳定时 该轨线称为稳定流形稳定流形 又称为稳定的不变集合不变集合 当 特征线对应的特征值判定迭代是不稳定时 该轨线称为不稳定流形不稳定流形 又称为不稳定的不变集 合 对于非线性系统 稳定流形和不稳定流形都呈曲线形式 在不动点的邻近 以对应的特 征方向为切线方向 H non 映射在 yx 上的相图为 第 6 章 非线性动力学 124 图 6 15 H non 吸引子 这是一个吸引子吸引子 首先在相图上存在一个吸引区吸引区 Basin of attractor 对吸引区的无 限次映射后成为如图所示的吸引子 即当初始点落在吸引区内时 无限次迭代后则落在吸引 子中 yx 这个吸引子是有结构的 对吸引子的任意小区域进行观测 例如 如图所示开窗口放大 可以发现 轨线 有自相似的排列结构 如果对曲线取一个 横截面 则面上留下无穷多 个点 这些点构成一个 Cantor 集 这个吸引子 长度 为无限长 面积 为零 维数是 分数维分数维的 因此 这种吸引子称为奇怪吸引子奇怪吸引子 第 6 章 非线性动力学 125 图 6 16 奇怪吸引子 对吸引子比较严格的定义是这样的 吸引子是一个映射的稳定不变集合 而奇怪吸引子 首先是吸引的 即是一个稳定的不变集合 其次是奇怪的 这个不变集合是一个无限点集 集中任意点的任意次映射都不再回到自身 6 10 Smale 马蹄理论马蹄理论 Smale 马蹄理论是判别奇怪吸引子有无可能出现的一种变换理论 这个理论为判别奇怪 吸引子的存在性提供了一种几何方法 同宿点同宿点 不动点上两个流形 稳定流形和不稳定流形 如果相交 则交点称为同宿点同宿点 Homoclinic 例例1 同宿运动 同宿运动 考虑一个无阻尼自由运动的情况 方程为 0 3 xxx 这是一个保守系统 其能量积分为 hxxx 422 4 1 2 1 2 1 相图为 第 6 章 非线性动力学 126 1 5 1 0 50 511 5 0 75 0 5 0 25 0 25 0 5 0 75 右边的分界线或左边的分界线都既是稳定流形 又是不稳定流形 当t时趋于同一个 不动点 称为同宿轨道同宿轨道 0 0 图 6 17 同宿轨道 当系统存在阻尼时 例如 方程为 02 3 xxxx 则同宿轨道分裂成两条不相交的稳定流形和不稳定流形 如图 6 18 所示 1 5 1 0 50 511 5 1 0 5 0 5 1 图 6 18 稳定流形和不稳定流形 马蹄理论马蹄理论 如果稳定流形和不稳定流形横截相交 它表明有同宿点 则一定存在马蹄形变换 Smale 证明了 有马蹄就有奇怪不变集合 这一不变集合包括周期解和奇怪吸引子 6 11 Melnikov 方法方法 按照马蹄理论 当稳定流形与不稳定流形横截相交 存在同宿点时 就有可能出现奇怪 吸引子 当奇怪吸引子中的周期解周期不可列且具有无穷的自相似结构时 这就意味着混沌 解的出现 有一个确定稳定流形与不稳定流形横截相交的解析方法 是由 Melnikov 提出的 称为 Melnikov 方法 Melnikov 方法所处理的数学模型是 2 维自治系统受到一个带参变量的非自治向量场的 小扰动 即微分方程为 第 6 章 非线性动力学 127 RRxxtgxfx f 时 M存在简单零点 引入 23 2 cosh4 R 则当 R f 时 M存在简单零点 R称为阈值阈值 Threshold 当 f超过阈值时 混沌才可能 发生 第 6 章 非线性动力学 129 0 511 522 53 1 2 3 4 5 6 f 图 6 20 进入混沌的阈值 6 12 分形 分形 Fractal 分形是没有特征尺度而又具有自相似性的几何结构 用于描述破碎 不规则的复杂几何 形体 自然界中许多现象 如海岸线 云彩 湍流等都具有分形的特征 例例1 Cantor 集集 取一单位长度 等分为 3 段 截去中段 得到 2 各长度为 1 3 的线段 再将这两个长度 为 1 3 的线段等分为 3 段 截去中段 得到 4 个长度为 1 9 的线段 如此进行下去 得到 2i 个长度为 3 i的线段 令 i 所得到的集合称为 Cantor 集合 Cantor 集是不可列点集 图 6 21 Cantor 集的形成 例例2 Koch 曲线曲线 取一单位长度的线段 去掉位于线段正中 长度为 1 3 的小线段 再用与该小线段构成 等边三角形的另外两边代替 在所得到折线的 4 段长度为 1 3 的线段上去掉位于每段线段正 中 长度为 1 9 的小线段 再用与该小线段构成等边三角形的另外两边代替 如此进行下去 得到 4i个长度为 3 i的线段构成的折线 令 i 所得到的集合称为 Koch 曲线 第 6 章 非线性动力学 130 图 6 22 Koch 曲线 例 1 和例 2 的几何结构 都具有自相似性 维数的定