7-1数列与等差数列-版块2.题库学生版.doc

好学者智，善思者康 400-810-2680板块二：等差数列1等差数列基本概念（1）等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，常用字母表示即等差数列有递推公式：（2）等差数列的通项公式为：（3）等差中项：如果三个数组成等差数列，那么叫做和的等差中项，即（4）等差数列的前项和公式：1等差数列通项公式的推导：，将这个式子的等号两边分别相加得：，即由等差数列的通项公式易知： 2等差数列前项和公式的推导：，把项的顺序反过来，可将写成：，将这两式相加得：，从而得到等差数列的前项和公式，又，得2等差数列的性质（1）（2）在等差数列中，若，则，若，则（3）若均为等差数列，且公差分别为，则数列也为等差数列，且公差分别为。（4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,an+m,an+2m,为等差数列，公差为md。（5）等差数列的前n项和也构成一个等差数列，即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,为等差数列，公差为n2d。(6)若等差数列的项数为2n，则有。（7）等差数列的项数为奇数n，则，。（8）为等差数列，。（9）通项公式是an=An+B是一次函数的形式；前n项和公式是不含常数项的二次函数的形式。（注当d=0时，S n=na1, a n=a1）（10）若a10，d0，Sn有最大值，可由不等式组来确定n。若a10，Sn有最小值，可由不等式组来确定。（三）典例分析： 1.等差数列的定义【例1】 判断数，是否是等差数列：中的项，若是，是第几项？【例2】 在等差数列中，求它的首项、公差与的值【例3】 设是公差为正数的等差数列，若，则等于（ ）A B C D【变式】 在等差数列中，则是该数列的第（ ）项A60 B61 C62 D63在等差数列中，则它的首项_，前项和_【变式】 若数列是等差数列，且，则等于（ ） A B C D【变式】 若等差数列的前项和，且，则（ ）ABCD【例4】 在等差数列的公差为，第项为，求其第项 等差数列的前项和记为，已知，求通项；若，求. 设数列是公差不为零的等差数列，是数列的前项和，且，求数列的通项公式2.证明等差数列【例5】 在数列中，求证是等差数列，并求通项【例6】 已知是等差数列，且，求数列的通项公式及的前项和【例7】 设数列满足，且数列是等差数列，求数列的通项公式【例8】 已知数列中，且对于任意正整数有，求；求证：是等差数列；求通项3.等差数列的性质【例9】 若三个数，适当排列后构成递增等差数列，求的值和相应的数列【例10】 若关于的方程和的四个根可组成首项为的等差数列，则的值是_【例11】 已知一个数列的通项公式是. 问是否是这个数列中的项？ 当分别为何值时，？ 当为何值时，有最大值？并求出最大值.【点评】 等差数列前项和的最大值，最小值问题对于等差数列，时，有最大值；，时，有最小值求最值的方法，将求的最值转化成二次函数的最值问题，结合图象或通过配方找到最值，要注意这里中的；在等差数列单调时，若，则有最大值；若，则有最小值【例12】 已知等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差等于_【例13】 等差数列的公差为，则数列是（ ）A公差为的等差数列B公差为的等差数列C非等差数列D以上都不对5.等差数列求和【例14】 在等差数列中，已知，那么等于（ ）A B CD【例15】 在等差数列中，那么它的前项和等于（ ）A B C D【例16】 等差数列中，已知公差，且，则 等差数列中，已知公差，且，则( )A170B150C145D120【例17】 已知等差数列中，则（ ）A B C D 【例18】 等差数列中, ，则_【例19】 已知为等差数列，（为正整数），则的值为（ ）A B C D 【例20】 设等差数列的前项的和为，且，求.【例21】 设等差数列的前项的和为，且，求.【例22】 有两个等差数列，其前项和分别为，若对有成立，求【点评】 方法一利用了是关于的常数项为的二次函数；法二通过直接的计算进行配凑；法三和法四利用了等差数列求和的一些性质，对本讲涉及到的性质总结如下：，；下标成等差数列的项：仍组成等差数列；在等差数列中，若，则有；若，则有（，）；为等差数列，为前项和，则，为等差数列，为前项和，有；为等差数列，为前项和，则成等差数列【例23】 在等差数列中，为前项和，求使的最小的正整数；求的表达式.【例24】 等差数列的前项和为，前项和为，则它的前项和为_【点评】 非常数列的等差数列的通项公式是一次函数的形式，前项和公式是不含常数项的二次函数的形式，同时如果通项公式是一次函数形式或前项和公式为常数项为的二次函数形式的数列也一定是等差数列【例25】 等差数列中，问数列的多少项之和最大，并求此最大值【点评】 等差数列前项和的最大值，最小值问题对于等差数列，时，有最大值；，时，有最小值求最值的方法，将求的最值转化成二次函数的最值问题，结合图象或通过配方找到最值，要注意这里中的；在等差数列单调时，若，则有最大值；若，则有最小值【例26】 已知数列为等差数列，首项，公差，且，求数列的前项和【例27】 （山东省东营市东营区二中09年必修五模块考试）已知二次函数，其中 设函数的图象的顶点的横坐标构成数列，求证：数列为等差数列； 设函数的图象的顶点到轴的距离构成数列，求数列的前项和【例28】 等差数列前项的和为，其中，项数为奇数的各项的和为，求其第项及公差【点评】 本题也可以直接设首项与公差，列方程组解出结果，再求第六项的值，但计算过程比较复杂，如果能灵活地运用等差数列的相关性质，可以大大简化计算本题中用到了结论：若，则，且当，有；若，则，这几个结论由通项公式都很容易得到由此结论可以很容易地解出下面这类题：等差数列中，则等于_.解：法一：，法二：，板块三：等差数列综合【例29】 四个不相等的正数，成等差数列，则（ ）A B C D【例30】 （2006江西文）在各项均不为的等差数列中，若，则等于（ ）ABCD【例31】 已知的四个根组成一个首项为的等差数列，则等于ABCD【例32】 已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（ ）A0B1C2D4【例33】 等比数列的前项和为，已知，成等差数列，则的公比为_【例34】 在等差数列中，若它的前项和有最大值，那么中最小的是第_项【例35】 设数列满足，且数列是等差数列，求数列的通项公式【例36】 已知， 设的图象的顶点的纵坐标构成数列，求证为等差数列 设的图象的顶点到轴的距离构成，求的前项和【例37】 已知数列是等差数列，其前项和为， 求数列的通项公式； 设是正整数，且，证明【例38】 已知数列为等差数列，首项，公差，且，求数列的前项和【例39】 在等差数列中，为前项和，求使的最小的正整数；求的表达式.【例40】 设等差数列的公差为,，且，求当取得最大值时的值【点评】 法三中涉及到了不等式的一些性质，对于没有听过寒假预科班课的同学，可以用的单调性解决以上的不等式运算【例41】 有固定项的数列的前项和，现从中抽取某一项（不包括首相、末项）后，余下的项的平均值是求数列的通项；求这个数列的项数，抽取的是第几项【例42】 已知，成等差数列(为正偶数)又，求数列的通项；试比较与的大小，并说明理由【例43】 求的值【例44】 已知等差数列，的两边长分别为，且求的面积；求的值；判断形状【例45】 （2007上海理20）若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，试写出的