高中数学第3讲圆锥曲线性质的探讨章末分层突破学案新人教A版.docx

第3讲 圆锥曲线性质的探讨章末分层突破自我校对椭圆椭圆抛物线双曲线平行射影与正射影正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直而平行射影的投影光线与投影面斜交平面图形的正射影与原投影面积大小相等而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积已知ABC的边BC在平面内，A在平面上的射影为A(A不在边BC上)当BAC60时，AB，AC与平面所成的角分别是30和45，求cosBAC. 【精彩点拨】点在平面上的射影仍然是点，解决此题的关键是正确找出点A，找出AB，AC与所成的角，再结合余弦定理求解【规范解答】由题意，ABA30，ACA45.设AA1，则AB，AC1，AC，AB2，BC，cosBAC.再练一题1设四面体ABCD各棱长均相等，E，F分别为AC，AD的中点，如图31，则BEF在该四面体的平面ABC上的射影是下列中的()图31【解析】由于BEBF，所以BEF为等腰三角形，故F点在平面ABC上的正射影不在AC上而在ABC内部，又由于EF与CD平行，而CD与平面ABC不垂直，所以F点在平面ABC上的正射影不在直线BE上，从而只有B图形成立【答案】B平面与圆柱面的截线平面与圆柱面的截线是椭圆，利用Dandelin双球确定椭圆的焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的形状平面与圆柱面的截线其实质是切线长定理在空间中的推广(从球外一点引球的切线，切线长都相等)如图32，在圆柱O1O2内嵌入双球，使它们与圆柱面相切，切线分别为O1和O2，并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为F1，F2.图32求证：斜截面与圆柱面的截线是以F1，F2为焦点的椭圆 【精彩点拨】证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明【规范解答】如图，设点P为曲线上任一点，连接PF1，PF2，则PF1，PF2分别是两个球面的切线，切点为F1，F2，过P作母线，与两球面分别相交于K1，K2，则PK1，PK2分别是两球面的切线，切点为K1，K2.根据切线长定理的空间推广，知PF1PK1，PF2PK2，所以PF1PF2PK1PK2K1K2.由于K1K2为定值，故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆再练一题2已知一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为一半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30角，求截线的长轴、短轴和离心率【解】由题意可知椭圆的短轴为2b22，短轴长为4，设长轴长为2a，则有sin 30，2a4b8，e.长轴长为8，短轴长为4，离心率为.平面与圆锥面的截线由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓展为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用Dandelin双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决证明：定理2的结论(1)，即时，平面与圆锥的交线为椭圆【精彩点拨】本题直接证明，难度较大，故可仿照定理1的方法证明，即Dandelin双球法【规范解答】如图，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切当时，由上面的讨论可知，平面与圆锥的交线是一个封闭曲线设两个球与平面的切点分别为F1，F2，与圆锥相切于圆S1，S2.在截面的曲线上任取一点P，连接PF1，PF2.过P作母线交S1于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因此PF1PQ1.同理，PF2PQ2.所以PF1PF2PQ1PQ2Q1Q2.由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1，S2所在平行平面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在时，平面与圆锥的交线为一个椭圆再练一题3如图33所示，已知圆锥母线与轴线的夹角为，平面与轴线夹角为，Dandelin双球的半径分别为R，r，且r，求平面与圆锥面交线的焦距F1F2，轴长G1G2.图33【解】连接O1F1，O2F2，O1O2交F1F2于O点，在RtO1F1O中，OF1.在RtO2F2O中，OF2.F1F2OF1OF2.同理，O1O2.连接O1A1，O2A2，过O1作O1HO2A2，在RtO1O2H中，O1HO1O2cos cos .又O1HA1A2，由切线长定理，容易验证G1G2A1A2，G1G2cos .章末综合测评(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图1，已知ABAB，BCBC，那么下列比例式成立的是()图1A.B.C.D.【解析】ABAB.同理，A不成立，B成立由于，ACAC，C不成立，D不成立【答案】B2PAB为过圆心O的割线，且PAOA4，PCD为O的另一条割线，且PCCD，则PC长为() 【导学号：07370057】A4B.C24D2【解析】由题意知PAPBPCPD，设PCx，则PD2x，2xx412，x2，即PC2.【答案】D3如图2，ACB90，CDAB于D，AD3，CD2，则的值为()图2A.B.C.D.【解析】由题意得，CD2ADBD，BD.又AC2ADAB，BC2BDAB，则，故.【答案】A4如图3，O内切于ABC，切点分别为D，E，F.已知B50，C60，连接OE，OF，DE，DF，那么EDF等于()图3A40 B55C65D70【解析】B50，C60，A70，EOF110，EDF55.【答案】B5如图4，四边形BDEF是平行四边形，如果CDDB23，那么SBDEF是SABC的()图4A. B.C.D.【解析】因为DEAB，所以CDEABC，所以2.又CDDB23，所以CDCB25，所以22，所以SCDESABC.因为DEAB，所以，所以.同理，SAFESABC.所以SBDEFSABCSAFESEDCSABCSABCSABCSABC.【答案】D6如图5，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB10，tanBAC，则阴影部分的面积为()图5A. B.24C24D.24【解析】AB为直径，ACB90.tanBAC，sinBAC.又sinBAC，AB10，BC106，ACBC68，S阴影S半圆SABC528624.【答案】B7如图6，用与底面成30角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为()图6A.B.C.D非上述结论【解析】用平面截圆柱，椭圆截线的短轴长为圆柱截面圆的直径，且椭圆所在平面与底面成30角，则离心率esin 30.【答案】A8如图7，四边形ABCD内接于O，BC是直径，ADDC，ADB20，则ACB，DBC分别为()图7A15与30 B20与35C20与40D30与35【解析】ADB20，ACBADB20.又BC为O的直径，的度数为18040140.D为的中点，的度数为70，DBC35.【答案】B9如图8，AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的中垂线，已知AB6，CD2，则线段AC的长度为()图8A5 B.C.D3【解析】连接BC，AB垂直平分CD，CP2APPB.设PBx，则AP6x，x(6x)5，x11，x25(由题图可知，不合题意，舍去)，即AP5.又CP，AC.【答案】C10如图9，E，C分别是A两边上的点，以CE为直径的O交A的两边于点D，点B，若A45，则AEC与ADB的面积比为()图9A21B12C.1D.1【解析】连接BE，求AEC与ABD的面积比，即求AE2AB2的值设ABa，A45，CE为O的直径，CBEABE90，BEABa，AEa，AE2AB22a2a2，即AE2AB221，SAECSABD21.【答案】A11.如图10所示，球O与圆柱的上、下底面以及侧面均相切，用一平面去截圆柱和球，得到的截面图有可能是()图10A BCD【解析】如图所示，连接AB，AB为圆柱的轴，当平面与AB垂直且过AB中点时，截得图形是图.当平面与AB垂直不过AB中点时，截得图形是两个同心圆，是图.当平面经过轴AB时，截得的图形是图.当平面与轴AB不垂直且平面与圆柱的侧面有交线时，截得的图形是图.故有可能的图形是.【答案】D12如图11，已知ABC中，AD，BE交于F，则的值为()图11A. B.C.D.【解析】过D作DGBE交AC于G.，DGBE.又，EGEC.又，ECAE，FEDGBEBE，.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13如图12，点E，F分别在AD，BC上，已知CD2，EF3，AB5，若EFCDAB, 则等于_【导学号：07370058】图12【解析】如图，过C作CHDA交EF于G，交AB于H，则EGAHDC2，GF1，BH3.GFHB，.【答案】14(2016重庆七校联盟联考)如图13，半径为4的圆O中，AOB90，D为OB的中点，AD的延长线交圆O于点E，则线段DE的长为_图13【解析】延长BO交圆O于点F，则DF6，BD2.由勾股定理得：AD2.由相交弦定理得：ADDEFDDB，所以2DE12DE.【答案】15一平面与半径为4的圆柱面相截，截面的Dandelin双球的球心距离为12，则截线椭圆的离心率e_.【解析】依题意，Dandelin双球球心距离即为圆柱母线长，2a12，a6.又br4，c2，椭圆的离心率e.【答案】16如图14，已知ABC中，边AC上一点F分AC为，BF上一点G分BF为，AG的延长线与BC交于点E，则BEEC_.图14【解析】过F作FDAE交BC于D，如图所示，则，故CDDE，BEDE，ECCDDEDEDEDE，从而.【答案】35三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2016唐山二模)如图15所示，AC为O的直径，D为的中点，E为BC的中点图15(1)求证：ABDE；(2)求证：2ADCD.ACBC.【证明】(1)连接BD，因为D为的中点，所以BDDC.因为E为BC的中点，所以DEBC.因为AC为圆的直径，所以ABC90，所以ABDE.(2)因为D为的中点，所以BADDAC，又BADDCB，则DACDCB.又因为ADDC，DECE，所以DACECD，所以，ADCDACCE,2ADCDAC2CE，因此2ADCDACBC.18(本小题满分12分)如图16，AB为O的直径，AD，BC是O的切线，DC切O于E，并与AD，BC分别交于D，C两点，BD与AC交于点F，求证：FEAD.图16【证明】AB为O的直径，AD，BC是O的切线，ADAB，BCAB，ADBC，.DC与O切于E，并与AD，BC分别交于D，C两点，ADDE，BCCE，FEAD.19(本小题满分12分)如图17，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2)圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)求证：ABAC为定值图17【证明】连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D，连接BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径从而ABDACE，所以BDCE，于是，所以ABAC为定值20(本小题满分12分)如图18所示，已知O1与O2相交于A，B两点，过点A作O1的切线交O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交O1，O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：ADEC；(2)若AD是O2的切线，且PA6，PC2，BD9，求AD的长图18【解】(1)证明：连接AB，AC是O1的切线，BACD，又BACE，DE，ADEC.(2)设BPx，PEy，PA6，PC2，xy12.ADEC，.由得，或(舍去)，DE9xy16.AD是O2的切线，AD2DBDE916，AD12.21(本小题满分12分)如图19，已知O和M相交于A，B两点，AD为M的直径，直线BD交O于点C，点G为中点，连接AG分别交O，BD于点E，F，连接CE.求证：(1)AGEFCEGD；(2).图19【证明】(1)如图，连接AB，AC，AD为M的直径，ABD90，ABC90，AC为O的直径，CEFAGD.DFGCFE，ECFGDF.G为弧BD的中点，DAGGDF，DAGECF，CEFAGD，AGEFCEGD.(2)由(1)知DAGGDF，GG，DFGADG，DG2AGGF，由(1)知，.22(本小题满分12分)如图20，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线