立体几何第二讲面面关系.doc

立体几何第二课一、知识点1. 面面平行与垂直的判定、性质定理(1两平面平行的判定定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点.定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(2平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。(3两平面垂直的判定定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角a=90.定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(4两平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。二、例题1.如图，B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心。CDABMNGPHF（1） 求证：平面MNG平面ACD；求SMNG：SADC 2.如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2. 证明：平面PBE平面PAB;3、如图所示，PA矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点。ABDC1B1A1CD1PMN（1）求证：MN平面PAD；（2）求证：MNCD；（3）若PDA=，求证：MN平面PCD。ABOEFDCMBPDACNME4、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1 、C1D1 的中点，求证：（1）APMN； （2）平面MNP平面A1BD。 5、在四面体ABCD 中，CB= CD, ADBD，且E ,F分别是AB,BD 的中点，求证：（）直线EF 面ACD ；（）面EFC面BCD 6、如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是线段EF的中点。 （）求证AM平面BDE；（）求证AM平面BDF；三、练习1、如图，已知空间四边形中，是的中点。求证：（1）平面CDE;（2）平面平面。 AEDBCA1AB1BC1CD1DGEF2、正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求证：平面A1BD平面B1D1C； (2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD 3、如图，在正方体中，是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面.4、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90，求证：平面ABC平面BSC答案例题1证明：连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD于P、F、H，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，则有 连结PF、FH、PH，有MNPF，又PF平面ACD，MN 平面ACD，MN平面ACD，同理，MG平面ACD，又MGMN=M,平面MNG平面ACD解：由（1）可知，MG=PH.又PH=AD ,MG=AD.同理，NG=AC,MN=CD.MNGACD,其相似比为13.SMNG：SADC=19.例题2证明：如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且BCD=60知，BCD是等边三角形。因为E是CD的中点，所以BECD，又ABCD，所以BEAB。又因为PA平面ABCD，例题3证明：（1）作PD的中点E，连结EN、AE N、E分别为PC、PD的中点， NECD CDAB，NEAB 即NEAM 四边形AMNE为平行四边形 MNAE AE平面PAD，MN平面PAD， MN平面PAD （2）PA平面ABCD，AD是PD在平面ABCD内的射影，CDAD CDPD ADPD=D CD平面PAD CDAE MNAE MNCD （3）PAD= ，PDA= PA=AD PE=DE AEPD MNAE， MNPD MNCD PDCD=D MN平面PCD例题4证明：（1）P D1平面ADD1 A1D，A为PA在平面内的射影 APA D1 又A D1B1C B1CNM， A D1NM APMN（2）PNB1D1 B1D1BD PNBD由（1）A D1NM 且MNPN=N，A D1BD=D 平面MNP平面A1BD例题5证明（） E,F 分别是AB,BD 的中点，EF 是ABD 的中位线，EFAD，EF面ACD ，AD 面ACD ，直线EF面ACD （） ADBD ，EFAD， EFBD.CB=CD, F 是BD的中点，CFBD.又EFCF=F，BD面EFCBD面BCD，面EFC面BCD 例题6解: ()记AC与BD的交点为O,连接OE, O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，四边形AOEM是平行四边形，AMOE。平面BDE， 平面BDE，AM平面BDE。()连结MOAB=，AF=1AO=BO= BD=1，即四边形AFMO是正方形AMOF而OM平面ABCD，OABDAMBD BDOF=OAM平面BDF练习1证明：（1） 同理，又 平面 （2）由（1）有平面又平面， 平面平面练习2证明：(1)由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD，又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CD (2)由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中点G，AEB1G从而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFDF平面EB1D1平面EB1D1平面FBD练习3证明：（1）设，、分别是、的中点，又平面，平面，平面（2）平面，平面，又，平面，平面，平面平面练习4证明SB=SA=SC，ASB=ASC=60AB=SA=AC