高中必修课_数学(1)辅导 02.doc

高中必修课（一）辅导 数 学 人教A版第二章 基本初等函数（I）第一节 指数函数一、重点1、分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质;2、指数函数的的概念和性质。二、难点1、根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化；2、用数形结合的方法从具体到一般探索、概括指数函数的性质。三、重要概念（一）初中知识根式的概念；如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（二）高中知识1、根式的概念一般地，如果，那么叫做的次方根（n th root），其中1，且*；式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radical exponent），叫做被开方数（radicand）。2、指数函数：形如 的函数叫指数函数。其中：定义域R;底数是常数；指数是自变量。四、知识点（一）初中知识整数指数幂的运算性质：（二）高中知识1、根式的性质：当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数此时，的次方根用符号表示;当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示正的次方根与负的次方根可以合并成（0）;当是奇数时，;当是偶数时，;负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。2、有理数指数幂有关概念的规定：注意：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数;同时，整数指数幂的运算性质也推广到了有理数指数幂。有理指数幂的运算性质：3、无理指数幂一般地，无理数指数幂是一个确定的实数,有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。4、指数函数的图像和性质5、指数函数的特点：指数函数的解析式：y = axax的系数是1;指数必须是单个x; 底数a0，且a1。五、小结根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则。六、技巧1、根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程。2、指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0a1进行分类讨论。3、单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线.当0a1时，x-,y0;当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快；当0a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1与0a0且y1.y4x+2x+1+1的定义域为R.2x0, y4x+2x+1+1(2x)2+22x+1(2x+1)21.y4x+2x+1+1的值域为yy1.例6求函数的定义域和值域解：由题意可得，即，故 函数的定义域是令，则，又， ，即 ，即 函数的值域是指数函数的最值问题技巧：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等。该例题用换元法：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围例7函数在区间上有最大值14，则a的值是_解：令，则，函数可化为，其对称轴为当时，即当时，解得或（舍去）；当时，即， 时，解得或（舍去），a的值是3或例8设 ，求函数 的最大值和最小值技巧：注意到 ，设 ，则原来的函数成为 ，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值解：设 ，由 知， ，函数成为 ， ，对称轴 ，故函数最小值为 ，因端点 较 距对称轴 远，故函数的最大值为 解指数方程技巧：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根例9 解方程解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），经检验原方程的解是单调性问题例10求函数y的单调区间.技巧：该例是复合函数求单调区间的问题，通过对该例题的学习，希望能做到举一反三。可设y,ux2-3x+2，其中y为减函数ux2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减增)ux2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增减)解：设y,ux2-3x+2,y关于u递减，当x(-，)时，u为减函数，y关于x为增函数；当x，+)时，u为增函数，y关于x为减函数.指数函数综合题例11已知函数f(x) (a0且a1).(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.解：(1)易得f(x)的定义域为xxR.设y,解得ax-ax0当且仅当-0时，方程有解.解-0得-1y1时，ax+1为增函数，且ax+10.为减函数，从而f(x)1-为增函数.当0a1时，类似地可得f(x)为减函数.题型三：方程思想及转化思想在求参数中的应用技巧：(1)f(x)是定义在R上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f(0)0，f(1)f(1)(2)可考虑将t22t,2t2k直接代入解析式化简，转化成关于t的一元二次不等式也可考虑先判断f(x)的单调性，由单调性直接转化为关于t的一元二次不等式。例12已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)1，故3t22tk0.上式对一切tR均成立，从而判别式412k0，解得k. 例13定义在R上的奇函数有最小正周期为2，且时，（1）求在1，1上的解析式；（2）判断在（0，1）上的单调性；（3）当为何值时，方程=在上有实数解.解:（1）xR上的奇函数 又2为最小正周期 设x（1，0），则x（0，1）， 由题设条件解析式为（2）设0x1x21时为增函数;0a1时为增函数;0a1和0a0，则幂函数的图象经过原点，且函数在(0，)上是单调递增函数；如果0，则幂函数在(0，)上是单调递减函数，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴；当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴。2、幂函数的图像3、幂函数的图像与性质五、小结幂函数这一节，表面上看内容少而且容易，实质上则不然它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想。通过对5个特殊幂函数的图象与性质的学习，可归纳出一般幂函数的图象与性质。所以，要求对这5个特殊幂函数的图像与性质及其应用要熟练掌握。六、技巧1、利用幂函数和指数函数的单调性比较幂值的大小：(1)当幂的底数相同，指数不同时，利用指数函数的单调性比较；(2)当幂的底数不同，指数相同时，利用幂函数的单调性比较；(3)当幂的底数和指数都不相同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小；另一种方法是媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，确定两个幂值的大小；(4)比较多个幂值的大小，一般也用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，再将同一组内的各数利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系。2、幂函数是指形如yx(R)的函数，它的形式非常严格，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数 为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准，必须完全具备这种形式的函数才是幂函数，有时候，如果函数以根式的形式给出，则要注意对根式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断。3、失误与防范：幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。幂函数的定义域的求法可分5种情况： 为零； 为正整数； 为负整数； 为正分数； 为负分数。 作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象。利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复合函数的单调性及在实际问题中的应用等类型.进一步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想和方法。七、举例题型一：利用幂函数的单调性比较大小技巧：比较几个数式的大小，是解题过程中常常遇到的知识考点，往往都要用到函数的单调性，我们应该熟练掌握规定的几个特殊幂函数的单调性、奇偶性。 例1已知，试比较的大小；解题思路欲比较这几个数的大小，因为它们的指数相同，应考虑某个幂函数的单调性yx上单调递增，又 题型二 幂函数的图象及应用1、由幂函数的性质确定解析式和求参数的取值范围技巧：解决这类问题要紧扣幂函数的定义和性质，依单调性从其指数入手；复合函数的单调规则是我们处理复合函数的单调性的重要依据；利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础。例2 已知函数f(x)=x(pZ)在(0,+)上是增函数，在其定义域上是偶函数。求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式。对于（1）中求得的函数f(x)，设函数g(x)=qff(x)+(2q1)f(x)+1，问是否存在实数q(q0。f(x)在(0,+)上是增函数，p2+p+0 解得：1p3,而pZ p=0,1,2当p=0或2时，有f(x)=不是偶函数，故p=1，此时,f(x)=x2。（2）设t=x2，由g(x)在(,4上是减函数，在(4,0)上是增函数，而t=x2在16，+)和(0,16)上都是增函数，得h(t)=qt2+(2q1)t+1在（0，16）上是增函数，在16，+)上是减函数，从而可得=16，q=故存在实数q=，使得g(x)在(,4上是减函数，且在(4,0)上是增函数。例3已知函数为偶函数，且，求m的值，并确定的解析式分析函数为偶函数，已限定了必为偶数，且，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定的解析式解：是偶函数，应为偶数又，即，整理，得，又，或1当m=0时，为奇数（舍去）；当时，为偶数故m的值为1，2、求解存在性问题技巧：这一类型的题是综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练例4已知函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间解：，则假设存在实数，使得满足题设条件，设，则若，易知，要使在上是减函数，则应有恒成立，而，.从而要使恒成立，则有，即若，易知，要使在上是增函数，则应有恒成立，而，要使恒成立，则必有，即综上可知，存在实数，使得在上是减函数，且在上是增函数3、类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况例5讨论函数在时随着x的增大其函数值的变化情况分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论解： 当，即或时，为常函数； 当时，或，此时函数为常函数； 当即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小； 当即或时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；当即时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；当，即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小注意：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素，应引起的高度警觉。不论是哪类题型，都是万变不其宗：函数定义、图像和性质的应用。本 章 总 结表一：指数函数的性质表二：对数函数的性质：表三：幂函数的性质：附：函数题题型的解题方法和常用结论汇编（这些方法和结论，在各章节都是有的，这里只是汇集到一起）一、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数中；余切函数中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。二、函数的解析式的常用求法：1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法。三、函数的值域的常用求法：1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法四、函数的最值的常用求法： 1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法。五、函数单调性的常用结论：1、若均为某区间上的增（减）函数，则在这个区间上也为增（减）函数；2、若为增（减）函数，则为减（增）函数；3、若与的单调性相同，则是增函数；若与的单调性不同，则是减函数。4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。5、常用函数的