第八-十讲 二次方程及不等式专题讲练.doc

第八讲 根与系数的关系及应用如果一元二次方程ax2bxc=0(a0)的两根为x1，x2，那么 反过来，如果x1，x2满足x1+x2=p，x1x2=q，则x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具1已知一个根，求另一个根 利用韦达定理，我们可以通过方程的一个根，求出另一个根例1 方程(1998x)2-19971999x-1=0的大根为a，方程x21998x-1999=0的小根为b，求a-b的值解 先求出a，b由观察知，1是方程(1998x)2-19971999x-1=0的根，于是由韦达又从观察知，1也是方程x21998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999，从而b=-1999所以a-b=1-(-1999)=2000例2 设a是给定的非零实数，解方程 解 由观察易知，x1=a是方程的根又原方程等价于2求根的代数式的值在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧例3 已知二次方程x2-3x1=0的两根为，求：(3)33；(4)3-3解 由韦达定理知+=3，=1(3)33=(+)(2-+2)=(+)(+)2-3=3(9-3)=18；(4)3-3=(-)(2+2) =(-)(+)2- 例4 设方程4x2-2x-3=0的两个根是和，求422的值解 因为是方程4x2-2x-3=0的根，所以42-2-30，即42=2342+2=2+3+2=2(+)+3=4例5 已知，分别是方程x2x-1=0的两个根，求25+53的值解 由于，分别是方程x2x-1=0的根，所以2+-1=0，2+-1=0，即 2=1-，2=1-5=(2)2=(1-)2=(2-2+1)=(1-2+1)=-32+2=-3(1-)+2=5-3，3=2=(1-)=-2 =-(1-)=2-1所以25+53=2(5-3)+5(2-1) =10(+)-11=-21说明 此解法的关键在于利用，是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要例6 设一元二次方程ax2bxc=0的两个实根的和为s1，平方和为s2，立方和为s3，求as3bs2cs1的值解 设x1，x2是方程的两个实根，于是 所以 as3bs2cs1=0说明 本题最“自然”的解法是分别用a，b，c来表示s1，s2，s3，然后再求as3bs2cs1的值当然这样做运算量很大，且容易出错下面我们再介绍一种更为“本质”的解法另解 因为x1，x2是方程的两个实根，所以同理将上面两式相加便得as3bs2cs103与两根之比有关的问题例7 如果方程ax2bxc=0(a0)的根之比等于常数k，则系数a，b，c必满足：kb2=(k1)2ac证 设方程的两根为x1，x2，且x1=kx2，由韦达定理由此两式消去x2得即kb2(k1)2ac例8 已知x1，x2是一元二次方程4x2-(3m-5)x-6m20解 首先，=(3m-5)296m20，方程有两个实数根由韦达定理知从上面两式中消去k，便得即 m2-6m+5=0，所以 m1=1，m2=54求作新的二次方程例9 已知方程2x2-9x8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方解 设x1，x2为方程2x2-9x8=0的两根，则设所求方程为x2+px+q=0，它的两根为x1，x2，据题意有故所以，求作的方程是36x2-161x34=0例10 设x2-pxq=0的两实数根为，(1)求以3，3为两根的一元二次方程；(2)若以3，3为根的一元二次方程仍是x2-pxq=0，求所有这样的一元二次方程解 (1)由韦达定理知+=p，=q，所以3+3=(+)(+)2-3=p(p2-3q)，33=()3=q3所以，以3，3为两根的一元二次方程为x2-p(p2-3q)x+q3=0(2)由(1)及题设知由得q=0，1若q=0，代入，得p=0，1；若q=-1，代入，以，符合要求的方程为 x2=0，x2-x=0，x2+x=0，x2-1=05证明等式和不等式利用韦达定理可以证明一些等式和不等式，这常常还要用判别式来配合例11 已知实数x，y，z满足x=6-y，z2=xy-9，求证：x=y证 因为xy=6，xy=z29，所以x，y是二次方程t2-6t+(z2+9)=0的两个实根，于是这方程的判别式=36-4(z2+9)=-4z20，即z20因z为实数，显然应有z20要此两式同时成立，只有z=0，从而=0，故上述关于t的二次方程有等根，即x=y例12 若a，b，c都是实数，且abc=0，abc=1，证 由abc=0及abc=1可知，a，b，c中有一个正数、两个负数，不妨设a是正数，由题意得于是根据韦达定理知，b，c是方程的两个根又b，c是实数，因此上述方程的判别式因为a0，所以a3-40，a34， 例13 知x1，x2是方程4ax2-4ax+a+4=0的两个实根解 (1)显然a0，由=16a2-16a(a+4)0，得a0由韦达定理知所以所以a=9，这与a0矛盾故不存在a，使(2)利用韦达定理所以(a+4)|16，即a+4=1，2，4，8，16结合a0，得a=-2，-3，-5，-6，-8，-12，-20练习八1选择：(1)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根，则判别式=b2-4ac与平方式M=(2ax0+b)2的关系是 (A)M (B)=M(C)=M (D)不确定(2)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，则 (A)-4(B)8(C)6 (D)0为 (A)3(B)-11(C)3或-11(D)112填空：(1)如果方程x2+px+q=0的一根为另一根的2倍，那么，p，q满足的关系式是_(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，乙由于看错了某一项系数的符号，1993+5a2+9a4=_(4)已知a是方程x2-5x+1=0的一个根，那么a4+a-4的末位数是_另一根为直角边a，则此直角三角形的第三边b=_3已知，是方程x2-x-1=0的两个实数根，求4+3的值4作一个二次方程，使它的两个根，是正数，并且满足关系式5如果关于x的方程x2+ax+b=0的两个实数根之比为45，方程的判别式的值为3，求a，b的值第九讲 判别式及其应用一元二次方程的根的判别式()是重要的基础知识，它不仅能用于直接判定根的情况，而且在二次三项式、二次不等式、二次函数等方面有着重要的应用，是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有许多应用熟练掌握它的各种用法，可提高解题能力和知识的综合应用能力 1判定方程根的情况例1 已知方程x2-2x-m=0没有实数根，其中m是实数试判定方程x2+2mx+m(m+1)=0有无实数根解 因为方程x2-2x-m=0无实数根，所以1=(-2)2-4(-m)=4+4m0，即 m-1因为2=(2m)2-4m(m+1)=-4m0，所以方程x2+2mx+m(m+1)=0有两个不相等的实根例2 已知常数a为实数，讨论关于x的方程(a-2)x2+(-2a+1)x+a=0的实数根的个数情况实根当a2时，原方程为一元二次方程，其判别式=(-2a+1)2-4(a-2)a=4a+1，说明 对于一个二次项系数含参数的方程，要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况，前者为一次方程，后者为二次方程，不能一上来就用判别式2确定方程中系数的值或范围例3 关于x的一元二次方程有实根，其中a是实数，求a99+x99的值解 因为方程有实根，所以即 -a2-2a-10因为-(a+1)20，所以a+1=0，a=-1当a=-1时，原方程为x2-2x+1=0，x=1，所以a99+x99=(-1)99+199=0例4 若方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根，求a，b的值解 因为方程有实根，所以它的判别式=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)0，化简后得2a2+4ab+4b2-2a+10，所以 (a+2b)2+(a-1)20，说明 在本题中，只有一个不等式而要求两个值，通常是通过配方把这个不等式变形为“若干个非负数之和小于等于零”，从而可以得到一个方程组，进而求出要求的值例5 ABC的一边长为5，另两边长恰是方程2x2-12x+m=0的两个根，求m的取值范围解 设ABC的三边分别为a，b，c，且a=5，由=122-42m=144-8m0并且不等式25=a2(b-c)2=(b+c)2-4bc=36-2m，3求某些方程或方程组的解例6 求方程5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的实数解解 先把y看作是常数，把原方程看成是关于x的一元二次方程，即5x2+(8y-2)x+(5y2+2y+2)=0因为x是实数，所以判别式=(8y-2)2-45(5y2+2y+2)0，化简后整理得y2+2y+10，即(y+1)20，从而y=-1将y=-1代入原方程，得5x2-10x+5=0，故x=1所以，原方程的实数解为x=1，y=-1说明 (1)本题也可以把x看作常数，把方程写成关于y的一元二次方程，再用判别式来求解(2)本题还可以用配方的方法，把原方程变形为4(x+y)2+(x-1)2+(y+1)2=0，从而x=1，y=-1例7 解方程组解 引入待定系数k，由k+得或写成 =(k+4)2-4(k+7)(k-1)=0即4证明不等式，求最大值和最小值用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去是多少？(x-3)2+(kx-3)2=6，即 (k2+1)x2-6(k+1)x+12=0，将它看成关于x的一元二次方程因x是实数，所以=36(k+1)2-48(k2+1)0，即 k2-6k+10 解 由于所以 yx2+(y-2)x+y=0，上式可以看成关于x的一元二次方程因x为实数，所以=(y-2)2-4y20，即3y2+4y-40，(3y-2)(y+2)0当y=-2时，代入yx2+(y-2)x+y=0中，得x=-1，即x=-1时，y= 例10 实数a，b，c满足a+b+c=2，且对任何实数t，都有不等式-t2+2tab+bc+ca9t2-18t+10，证 因为对任何实数t，有-t2+2t=-(t-1)2+11，9t2-18t+10=9(t-1)2+11，当t=1时，便有1ab+bc+ca1，所以ab+bc+ca=1由于a+b=2-c，于是ab=1-c(a+b)=1-c(2-c)=(c-1)2，于是a，b是一元二次方程t2-(2-c)t+(c-1)2=0的两个实数根所以=(2-c)2-4(c-1)20，即 3c2-4c0，练习九1选择：(1)某一元二次方程根的判别式=2m2-6m+5，此方程根的情况是(A)有两个不相等的实根(B)有两个相等的实根(C)没有实根(D)由实数m的值而定(2)关于x的方程2kx2+(8k+1)x=-8k有两个实根，则k的取值范围是(3)如果关于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实根，那么关于x的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0的实根个数为 (A)2个 (B)1个(C)0个 (D)不确定(4)方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有 (A)1组 (B)2组(C)4组 (D)无数组(5)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根，则判别式=b2-4ac与平方式M=(2ax0+b)2的关系是 (A)M (B)=M(C)M (D)不确定2填空：(1)关于x的方程(a2-4)x2-2(a+2)x+1=0恰有一个实根，则a=_(2)设m是不为0的整数，二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根，则m=_(3)当m=_时，二次方程(m2-2)x2-2(m+1)x+1=0有两个不等的实数根(4)p，q是正数，如果方程x2+px+q=0的两个根之差是1，那么p=_(5)若x为实数，且有4y2+4xy+x+6=0，则使y取实数值的所有x值的范围是_3求方程5x2-12xy+10y2-6x-4y+13=0的实数解4解方程组5已知a，b是整数，x2-ax+3-b=0有两个不相等的实根，x2+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实根，x2+(4-a)x+5-b=0没有实根，求a，b的值6已知a是实数，且关于x的方程x2-ax+a=0有两个实根u，v，求证：u2+v22(u+v)第十讲一元二次不等式的解法形如ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(a0)的不等式叫作一元二次不等式一元二次不等式的解法与二次函数、一元二次方程的根之间有着密切的联系，a0的情况如表101所示。 a0时，可先在不等式两边同乘-1(不等号方向改变)，化为上述情况本讲将介绍有关处理一元二次不等式问题的方法与技巧1含参数的不等式的解法例1 设a为参数，解关于x的一元二次不等式x2(a+3)x+3a0解 分解因式(x-3)(x-a)0(1)若a3，解为3xa；(2)若a3，解为ax3；(3)若a=3，原不等式变成(x-3)20，无解例2 设a为参数，解关于x的一元二次不等式ax2-(a+1)x+10解 (1)a=0，原不等式为-x+10，解为x1(2)a0，分解因式得若a0，则若a0，则 例3 对一切实数x，不等式ax2+(a-6)x+20恒成立，求a的值解 由于不等式对一切x恒成立，故a应该满足即所以 2a18例4 设有不等式试求对于满足0x2的一切x成立的t的取值范围解 令y=x2-3x+2，0x2，则在0x2上y能取到的最小 所以 2含绝对值的不等式例5 解不等式x2-x-5|2x-1|x2-x-52x-1，即x2-3x-40，x2-x-51-2x，即x2+x-60，综上所述，原不等式的解为x-3或x4例6 解不等式|x2-2x-3|2解 |y|2，即y2或y-2，所以，可以把原不等式分为两个不等式：x2-2x-32， x2-2x-3-2 解得综合上述两个