2013年天津市第二次选拔试题以及答案.pdf

天津大学试卷专用纸 学院 专业 班 年级 学号 姓名 共 5 页 第 1 页 2013 年天津市大学生数学竞赛 天津大学校内培训班第二次选拔考试试题以及答案 考试时间 2013 年 4 月 12 日 两个半小时 提醒 本试卷题型 题目的数目 选择和填空的分值跟实际竞赛的完全一致 不同的是本试卷考试范围 比实际竞赛范围小一些 一 选择题 本题 15 分 每小题 3 分 1 设则 D 2 0 x f x xx 是无理数 是有理数 A 是0 xf x0 x 的第一类间断点 B 是 f x的第二类间断点 C f x在处连续但不可导 D 0 x f x0 x在 处可导 解 0 0 lim x f xff x xx 而 f x x x 2 设f x0 x 0 x 0 x 是奇函数 除外处处连续 是其第一类间断点 则 f t dt 是 B A 连续的奇函数 B 连续的偶函数 0 x 0 x C 在间断的奇函数 D 在 间断的偶函数 zf xxdxydy3 2009 年数二 设函数的全微分为 ydz 则点 D 0 0 A 不是f x y 的连续点 B 不是f x y 的极值点 C 是 f x y 的极大值点 D 是f x y的极小值点 4 设 f x y与 x y 均为可微函数 且 y x y 0 已知 00 xy 是 f x y 0 在约束条件 x y 000 y yfxy yfx 0 则 0 则 下的一个极值点 下列选项正确的是 C 00000 000000 xyxy xyx f xyfxyf x f xyfxyf x A 若 0 则 0 B 若 C 若 0 则 0 D 若 00 y 0 0 00 0000 00 00 0 1 0 2 0 0 0 xxx yyy yy yx yy xy f x yx y fx yx y fx yx y x y 0000 00 x fxy xyfx xy fxyf 构造格朗日乘子法函数F F F F 今代入 1 得 今则 00 0 xyC 故选 fxyxy y xy 5 2006 考研题数一 设f x y为连续函数 则 1 4 00 cos sin df rrrdr 等于 C A 2 1 y f x y dx 2 2 00 dy B 2 2 1 2 00 x dxf x y dy C 2 1 y y dyf x y dx 2 2 0 D 2 2 1 2 0 x x dxf x y dy 二 填空题 本题15分 每空3分 请将最终结果填在相应的横线上面 1 求极限 1 3 521n lim 2 4 62 n n 解 用夹逼定理 令 1 3 521 2 4 62 n n x n 2 42 3 521 n n y n 则 0 xn yn 于是 2 1 0 21 nnn xx y n 由夹逼定理可知 2 lim0 n x x 于是原极限为 0 2 已知1 0 lim x x x 0 4 2 2 x为实变量 答案 3 设 函 数 f x y可 微 1 2 2 1 2 3 1 2 4 xy fff 2 xf x f xx 则 1 答案 47 zz x4 设 y 由方程 0 y z F x x 确定 其中任意次可微 则F zz xy xy z 2 2 0 xz 答案 5 曲线 绕 y z 轴旋转一周生成的曲面与 所围成的立体区域记为 则1 2zz 2 d d d 22 zx y z xy 答案 73 6 天津大学试卷专用纸 学院 专业 班 年级 学号 姓名 共 5 页 第 2 页 三 本题三 本题 6 分 分 求极限 解 这是型的极限 根据海涅定理 需要先求函数极限 令 则 根据海涅定理 四 本题 7 分 计算 1 0 0 ln ba xx Ix a x d0 b 解 11 00 ln ba bb yy aa xx 1 0 1 1 b a Ixxxy xy ddddyxxy dd 1 1 b a lnI 五 本题五 本题 8 分 分 设二阶连续可导 且 设是曲线 上点处的切线在x 轴上的截距 求极限 0 0 0 lim u x x x f t dt f t dt 解 曲线 在点处的切线方程为 令 则有 由此 且有 由 在 处的二阶泰勒公式 得 所以 使用变上限求导 洛比达法则和 Taylor 展开式得到 0 00 0 0 lim 1 2 lim u x x xx x 2 0 22 2 limlim 0 1 0 8 0 x f t dt f u x u xf u x fx f x fx dt xo u x f fxo x f t fu 天津大学试卷专用纸 学院 专业 班 年级 学号 姓名 共 5 页 第 3 页 0 3 xxy上点 A 作切线 使该切线与曲线 3 xy 六 本题 7 分 过曲线及 x 轴所围平面图形 D 的面积 4 3 S 求点 A 的坐标 求平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 解 解 设 A 点坐标为 3 t t 则切线方程为 tx t ty 32 3 3 1 即 3 3 2 t tx2 0 32 3 t x y 命 y 0 得此切线与 x 轴的交点横坐标 从而图形 D 的面积为 4 3 4 3 04 3 03 2 0 6 3 2 d 3 2 3 3 2 2 2 1 3 3 4 3 32 23 0 33 32 3 tt t x t xt t t xtt xxt t xt tS t 1 t 即 A 点的坐标为 1 1 平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 x 5 2 5 3 0 1 5 3 2 3 5 3 x xxx V 27 1 27 8 d2 3 1 2 3 2 3 1 1 0 2 3 22 七 6分 设函数f有二阶连续导数 有二阶连续偏导数 且g e sin x y zfgy x 求 2z x y 解 1 2 x zy fe g xx 2 12 23 1 e cos x zy ffyg x yxx 八 6 分 计算 2222 2222 22 sinsin 0sin dddd abybby yx ayay exeye a b cot x 其中 yx ey 都是常数 满足0 0ab 2 12 DDD 解 记 原式d 22 22 0 ed ded dd b xy DDa x yx ye 22 2 ab ee 学院 专业 班 年级 学号 姓名 共 5 页 第 4 页 九 7 分 P200 已知曲面1与平面 22 44xy 2 z 0zxy 的交线在xy平面上的投影是一个 椭圆 求此椭圆的面积 解 由题意分析得到该椭圆的中心在坐标原点 设xy平面上的椭圆上任意一点的坐标是 x y 设 它到原点的距离是 则d 2 2 y 将y 带入曲面方程得到平面上椭圆的方程是 dx zx xy 2 321yxy 20 20 10 y x y 22 332xy 1 利用条件极值的求法 如果令 222 3F x yxyxll 则 22 2 13 2 13 332 x y Fx Fy Fxyx l ll ll 由前两个等式得到 xy 或者 xy 从而解得驻点是 123 1 1112 2 2224 PPP 4 222 444 P 所以 12 d Pd P 2 2 是椭圆的长轴 34 1 2 d Pd P 是椭圆的短轴 从而 2 4 S 十 P230 7分 设 f x在 0 1 1 0 d 上连续 且 f xxm 记记 1 01 x y zx xyxzy d d d 求 求 f x f y f zx y z 11 0 d d d d d d y xx 解 f x f y f zx y zf xxf yyf zz d u f t 令t 0 F u 则u由于 0 0 1 FFm F uf d y x f zzF yF x 1 d d xx 11 d d y xx f yyf z zf y F yF xyF yF xF y 分部积分 22 11 22 mFxmF x 所以 原式 11 22 00 11 22 mFx 22 11 d d 22 mF x f xxmFxmF xF x 继续分部积分 3 6 m 天津大学试卷专用纸 学院 专业 班 年级 学号 姓名 共 5 页 第 5 页 十一 P241 8 分 设函数 f x y在区域 22 1yD x 上有二阶连续偏导数 且 22 e xy xxyy ffIx Ix 求 d d xy D fyfx y 解 由极坐标变换得到 12 00 d d dcos cos sin sin cos sin d xy D xy fyfx y ff 2 0 cos cos sin sin cos sin d xy ff lDr r xdx 2 0 可以看做沿着半径是 得 圆周 的逆向的曲线积分 记 时半径为 的圆盘 令q 则从而根据格林公式得到 cos sin yrqr sin cos dydrq qrq q 22 2 cos cos sin sin cos sin d e 1 e xy xy yxxxyy lDD ff f dxf dyffdxdydxdy 原式 2 1 0 1e d r pr r 2e 十二 本题 8 分 设 C 是取正向的圆周 f x 是正的连续函数 证明 1 1 1 22 y x 2 dx xf y dyyxf C 证明 由格林公式有 D dxdy xf yfdx xf y dyyxf 1 C 其中 D 是由 x 1 2 y 1 2 1 所围成的区域 而 2 0 2 1 11