高等代数代数复习题1.pdf

高高高等等等代代代数数数 第第第一一一学学学期期期复复复习习习题题题 一 填空题 1 设A a b c d 则A到A自身的所有映射共有个 其中单射有个 2 设R和R 分别表示实数集和正实数集 写出R 到R的一个双射 写出实 数区间 0 1 到 a b 的一个双射 3 写出一个数域F 用集合表示 使得Q F R 写一个数环S 用集合表示 使得Z S Q 且0 5 S 4 多项式x2 mx 1整除x3 px q的条件是 已知f x x4 3x3 4x2 8x 6 g x x2 2x 3 则 f x g x 5 多项式x3 px q有重因式的充要条件是 已知x 1是ax4 bx 3的 重因式 则 a b 6 f x x4 4ax b有重根的条件是 而f x x4 tx 3有重根的条件 是 7 设aix biy ci i 1 2 3表示平面上三条两两相交成三角形的直线 以A和 A分别表示 三个方程组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵 则r A r A 8 排列n n 1 2 1的反序数是 排列2n 1 2n 1 2 n 1 n的反序 数是 如果n个元的排列i1i2 in 1in的反序数是k 则inin 1 i2i1的反序数 是 9 设A A1 C2 C3 C4 B B1 C2 C3 C4 是分块矩阵 其中A1 B1 C2 C3 C4都 是4 1矩阵 且 A 4 B 2 则 A B 2A B 10 用Cramer法则解线性方程组的两个条件是 和系数行列 式 D 11 设A是n阶矩阵 X x1 x2 xn T b b1 b2 bn T 则当时 方程 组AX b可以用Cramer法则求解 而当时 对应的齐次线性方程组AX O有 无穷解 n个含有n个未知数的方程组成的齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数 行列式 A 12 将n阶矩阵A的第三行乘以 2加到第四行相当于用左乘以矩阵A 而将矩阵A的 第三列乘以3 加到第四列 相当于用右乘以矩阵A 高等代数 第一学期复习题 第1页 共 8 页 13 010 100 001 2010 123 234 345 100 001 010 2011 14 010 100 001 2009 123 234 345 100 001 010 2010 15 已知A是m n矩阵 B是n m矩阵 且m n 则 AB 16 已知3阶行列式 fl fl fl fl fl fl fl fl fl 311 123 113 fl fl fl fl fl fl fl fl fl 则A12 3A22 A32 而3A21 A22 A33 17 已知5阶行列式 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 44411 32145 33322 23542 abcde fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 则A21 A22 A23 A24 A25 18 已知4阶行列式 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl abcd cbda dbca abdc fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 则A14 A24 A34 A44 19 已知多项式f x x2 x 1 矩阵A 210 312 1 10 则f A 20 将f x x5表示成x 1的多项式是 将f x x4表示 成x 1的多项式是 21 已知A 210 320 231 则 A 1 已知A 210 320 231 则 A 1 已知A 300 140 003 则 A 2E 1 高等代数 第一学期复习题 第2页 共 8 页 22 如果n n 3 阶矩阵A的秩为n 2 则秩 A 如果n阶矩阵A的秩为n 1 则 秩 A 23 已知A3 10 180 6100 001 A 130 110 00 2 则A 24 已知A 1 2 B 2 1 C ATB 则C99 二 单项选择题 1 设N是自然数集合 则以下定义的运算 是N上的代数运算的是 A a b ab B a b ln a b C a b a bD a b a b 2 2 以下多项式在有理数域上可约的是 A 5x4 6x3 12x 6 B x5 7x2 4 C x4 4kx 1 k为整数 D x3 4x 6 3 下列命题正确的是 A 如果不可约多项式p x 是f0 x 的k重因式 那么p x 是f x 的k 1重因式 B 如果整系数多项式f x 在有理数域上没有有理根 那么f x 在有理数域上不可约 C 如果次数 2的整系数多项式f x 在有理数域上不可约 那么f x 在有理数域上没 有有理根 D 如果整系数多项式f x 的所有系数的和为零 那么 x 1 f x 4 设f x anxn an 1xn 1 a1x a0 n 2 是整系数多项式 则以下命题不不不正 确的是 A f x 在复数域C上是可约多项式 B 如果n 3 则f x 在实数域R上是可约的 C 如果f x 没有有理根 则f x 在有理数域Q上不可约 D 如果Pn i 1ai 0 则f x 有x 1的因式 5 下列排列是偶排列的是 A 4321B 51432C 45312D 654321 高等代数 第一学期复习题 第3页 共 8 页 6 已知齐次线性方程组 x1 x3 0 2x1 x2 x3 0 x1 2x2 x3 0 只有零解 则 A 0B 1C 2D 2 7 设A B C是n阶矩阵 O是零矩阵 以下命题正确的是 A 如果A 6 O B 6 O 则 AB 6 O B 如果AB AC A 6 0 则 B C C 如果AB AC A 6 O 则 B C D 如果AB O 则 A O 或 B O 8 设A B是n 2阶矩阵 则下列结论正确的是 A AB k AkBk k是任意正整数 B aA an A C 如果A B可逆 则AB可逆且 AB 1 A 1B 1 D A B A B A2 B2 9 设A B X都是n阶矩阵 且A可逆 则下列命题正确的是 A 如果AX B 则对A和B施行同样的初等行变换 当A变为E时 B变为X B 如果XA B 则对A和B施行同样的初等行变换 当A变为E时 B变为X C 如果AX B 则对A0和B0施行同样的初等列变换 当A0变为E时 B0变为X D 如果XA B 则对A0和B0施行同样的初等列变换 当A0变为E时 B0变为X 10 设A是n阶矩阵 B是由A通过初等变换得到的 则下列结论不正确的是 A r A r B B A不可逆的充要条件是B 不可逆 C detA detB D 存在n阶可逆矩阵P Q使得B PAQ 11 以下命题不正确的是 A 如果A是n阶矩阵 且秩 A n 1 则A 的任意两列对应成比例 B 秩为r的方阵可以表示成r个秩为1的方阵的和 C 任意方阵可以表示成一个对称矩阵和反对称矩阵的和 D 存在奇数阶的可逆的反对称矩阵 12 设A B C是满足ABC E的n阶矩阵 其中E是n阶单位矩阵 则必有 A ACB E B CBA E C BAC E D BCA E 13 设A aij m n r A r 则非齐次线性方程组AX b A r n 时 方程组有唯一解 B r m 时 方程组有解 高等代数 第一学期复习题 第4页 共 8 页 C m n 时 方程组有唯一解 D r n 时 方程组有无穷解 14 如果方程组AX 中 方程的个数小于未知数的个数 则 A AX 必无解B AX O必有非零解 C AX O只有唯一解D AX 必有无穷解 15 设A B都是n阶非零矩阵 且AB O 则r A 和r B 的结论正确的是 A 一个小于n 一个等于0 B 必有一个为0 C 都小于n D 都等于n 16 下列命题正确的是 A 如果n阶矩阵A或B不可逆 则AB必不可逆 B 方阵AB的行列式 AB A B C 如果方阵AB不可逆 则A B都不可逆 D 如果AB E 则A可逆 且A 1 B 17 设A B为n阶矩阵 则以下正确的是 A A B A B B AB BA C AB BA D A B 2 A2 2AB B2 三 计算题 1 已知多项式f x x4 2x3 x2 4x 2 g x x4 x3 x2 2x 2 求 f x g x 并求u x v x 使得u x f x v x g x f x g x 2 已知f x x4 x3 4x2 4x 1 g x x2 x 1 求u x v x 使得u x f x v x g x f x g x 3 已知多项式f x 4x4 2x3 16x2 5x 9 g x 2x3 x2 5x 4 求 f x g x 并求u x v x 使得u x f x v x g x f x g x 4 已知多项式f x x4 4x3 1 g x x3 3x2 1 求 f x g x 并求u x v x 使 得u x f x v x g x f x g x 5 已知多项式f x x4 x3 3x2 4x 1 g x x3 x2 x 1 求 f x g x 并 求u x v x 使得u x f x v x g x f x g x 6 已知多项式f x x5 5x4 7x3 2x2 4x 8 g x 5x4 20 x3 21x2 4x 4 求 f x g x 并求u x v x 使得u x f x v x g x f x g x 四 解答下列各题 1 求多项式f x 1 2x 5 1 2x 4 3x3 7x2 11 2 x 3 2的有理根以及重数 高等代数 第一学期复习题 第5页 共 8 页 2 求多项式f x x5 6x4 11x3 2x2 12x 8的有理根以及重数 3 求多项式f x x5 5x4 7x3 2x2 4x 8的有理根以及重数 4 设3阶A B满足A BA 2BA E 其中A 200 010 001 求B 5 设AX B 其中A 223 1 10 121 B 11 1 022 1 10 求X 6 设XA B 其中A 1 1 1 321 201 B 11 1 022 1 10 求X 7 设3阶矩阵A B满足AB A 2B 其中A 423 110 123 求B 8 取什么值时 方程组 2 1 x1 x2 1 x3 1 2 x1 1 x2 2 x3 2 1 x1 1 x2 2 1 x3 有唯一解 无解 无穷解 并在有无穷解时求一般解 9 取什么值时 方程组 x1 x2 x3 2 x1 x2 x3 1 x1 x2 2x3 有唯一解 无解 无穷解 并在有无穷解时求一般解 10 取什么值时方程组 x1 2 1 x2 2x3 x1 x2 2 1 x3 0 x1 2 1 x2 2x3 2 无解 有唯一解 无穷解 并在有解的条件下求出其解 高等代数 第一学期复习题 第6页 共 8 页 11 取什么值时方程组 2x1 x2 4 x1 x2 x3 4 5x1 2x2 x3 1 无解 有唯一解 无穷解 并在有解的条件下求出其解 12 取什么值时方程组 x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x1 x2 x3 2 无解 有唯一解 无穷解 并在有解的条件下求出其解 13 取什么值时方程组 3 x1 x2 2x3 x1 1 x2 x3 3 1 x1 x2 3 x3 3 无解 有唯一解 无穷解 并在有解的条件下求出其解 五 计算下列行列式 1 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 11 11 a1a2 an 1an an 2 1 an 2 2 an 2 n 1 an 2 n an 1 an 2 an n 1 an n fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 2 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 11 11 a1a2 an 1an an 3 1 an 3 2 an 3 n 1 an 3 n an 1 1 an 1 2 an 1 n 1 an 1 n an 1 an 2 an n 1 an n fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 3 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl flfl flfl fl 1 a1a2a3 an a12 a2a3 an a1a23 a3 an a1a2a3 n an fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 4 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x aaa a ax 2aa a aax 3a a aaa x na fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 5 Dn fl fl fl fl fl flfl flfl flfl flfl flfl x1 mx2x3 xn 1xn x1x2 mx3 xn 1xn x1x2x3 xn 1 mxn x1x2x3 xn 1xn m fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 6 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 133 33 323 33 333 33 333 3n fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 高等代数 第一学期复习题 第7页 共 8 页 7 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl xa1a2 an 11 a1xa2 an 11 a1a2x an 11 a1a2a3 an1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 8 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a1a10 00 0 a2a2 00 00 a3 00 000 anan 111 11 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 9 D fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1a1a2 an 1an 1xa2 an 1an 1a1x an 1an 1a1a2 an 1x fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 10 D fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1a1a2 an 1a1 b1a2 an 1a1a2 b2 an 1a1a2 an bn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 11 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl f