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高考专题突破四高考中的立体几何问题 第八章立体几何 内容索引 考点自测快速解答自查自纠 题型分类对接高考深度剖析 练出高分 考点自测 1 设x y z是空间不同的直线或平面 对下列四种情形 x y z均为直线 x y是直线 z是平面 z是直线 x y是平面 x y z均为平面 其中使 x z且y z x y 为真命题的是 A B C D 解析由正方体模型可知 为假命题 由线面垂直的性质定理可知 为真命题 C 考点自测 1 解析答案 1 2 3 4 5 2 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形 则该正方体的正视图的面积不可能等于 C 解析答案 1 2 3 4 5 3 已知m n为异面直线 m 平面 n 平面 直线l满足l m l n l l 则 A 且l B 且l C 与 相交 且交线垂直于lD 与 相交 且交线平行于l解析假设 由m 平面 n 平面 则m n 这与已知m n为异面直线矛盾 那么 与 相交 设交线为l1 则l1 m l1 n 在直线m上任取一点作n1平行于n 那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面 所以l1 l D 解析答案 1 2 3 4 5 4 设 是三个平面 a b是两条不同直线 有下列三个条件 a b a b b a 如果命题 a b 且 则a b 为真命题 则可以在横线处填入的条件是 把所有正确的序号填上 解析由线面平行的性质定理可知 正确 当b a 时 a和b在同一平面内 且没有公共点 所以平行 正确 故应填入的条件为 或 或 或 解析答案 1 2 3 4 5 5 2014 江苏改编 如图 在三棱锥P ABC中 D E F分别为棱PC AC AB的中点 若PA AC PA 6 BC 8 DF 5 则PA与平面DEF的位置关系是 平面BDE与平面ABC的位置关系是 填 平行 或 垂直 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析 因为D E分别为棱PC AC的中点 所以DE PA 又因为PA 平面DEF DE 平面DEF 所以直线PA 平面DEF 因为D E F分别为棱PC AC AB的中点 PA 6 BC 8 解析答案 又因为DF 5 故DF2 DE2 EF2 所以 DEF 90 即DE EF 又PA AC DE PA 所以DE AC 因为AC EF E AC 平面ABC EF 平面ABC 所以DE 平面ABC 又DE 平面BDE 所以平面BDE 平面ABC 答案平行垂直 返回 题型分类 例1 2015 重庆 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 B 求空间几何体的表面积与体积 题型一 解析答案 思维升华 组合体的表面积与体积的求解是高考考查的重点 解决此类问题可通过分割或补形将组合体变为规则的柱体 锥体 球等几何体的表面积和体积问题 然后根据几何体表面积与体积的构成用它们的和或差来表示 在求解过程中应注意两个问题 一是注意表面积与侧面积的区别 二是注意几何体重叠部分的表面积 挖空部分的体积的计算 思维升华 1 一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 16 跟踪训练1 解析答案 2 已知一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 解析答案 例2 2014 课标全国 如图 四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 PA 平面ABCD E为PD的中点 1 证明 PB 平面AEC 证明连接BD交AC于点O 连接EO 因为ABCD为矩形 所以O为BD的中点 又E为PD的中点 所以EO PB 因为EO 平面AEC PB 平面AEC 所以PB 平面AEC 解析答案 空间点 线 面的位置关系 题型二 解析答案 思维升华 解因为PA 平面ABCD ABCD为矩形 所以AB AD AP两两垂直 解析答案 思维升华 设B m 0 0 m 0 设n1 x y z 为平面ACE的法向量 解析答案 思维升华 又n2 1 0 0 为平面DAE的法向量 因为E为PD的中点 思维升华 高考对该部分的考查重点是空间的平行关系和垂直关系的证明 一般以解答题的形式出现 试题难度中等 但对空间想象能力和逻辑推理能力有一定的要求 在试卷中也可能以选择题或者填空题的方式考查空间位置关系的基本定理在判断线面位置关系中的应用 思维升华 2015 江苏 如图 在直三棱柱ABCA1B1C1中 已知AC BC BC CC1 设AB1的中点为D B1C BC1 E 求证 1 DE 平面AA1C1C 证明由题意知 E为B1C的中点 又D为AB1的中点 因此DE AC 又因为DE 平面AA1C1C AC 平面AA1C1C 所以DE 平面AA1C1C 跟踪训练2 解析答案 2 BC1 AB1 证明因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱 所以CC1 平面ABC 因为AC 平面ABC 所以AC CC1 又因为AC BC CC1 平面BCC1B1 BC 平面BCC1B1 BC CC1 C 所以AC 平面BCC1B1 又因为BC1 平面BCC1B1 所以BC1 AC 因为BC CC1 所以矩形BCC1B1是正方形 因此BC1 B1C 因为AC B1C 平面B1AC AC B1C C 所以BC1 平面B1AC 又因为AB1 平面B1AC 所以BC1 AB1 解析答案 平面图形的翻折问题 题型三 1 证明 CD 平面A1OC 解析答案 证明在图1中 所以BE AC 即在图2中 BE A1O BE OC 且A1O OC O 从而BE 平面A1OC 所以四边形BCDE为平行四边形 故有CD BE 所以CD 平面A1OC 解析答案 解由已知 平面A1BE 平面BCDE 且平面A1BE 平面BCDE BE 又由 1 知 A1O BE 所以A1O 平面BCDE 即A1O是四棱锥A1BCDE的高 思维升华 平面图形的翻折问题 关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况 一般地 翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化 不在同一个平面上的性质发生变化 思维升华 2014 广东 如图 1 四边形ABCD为矩形 PD 平面ABCD AB 1 BC PC 2 作如图 2 折叠 折痕EF DC 其中点E F分别在线段PD PC上 沿EF折叠后 点P叠在线段AD上的点记为M 并且MF CF 跟踪训练3 1 证明 CF 平面MDF 证明因为PD 平面ABCD AD 平面ABCD 所以PD AD 又因为ABCD是矩形 CD AD PD与CD交于点D 所以AD 平面PCD 又CF 平面PCD 所以AD CF 即MD CF 又MF CF MD MF M 所以CF 平面MDF 解析答案 2 求三棱锥M CDE的体积 解析答案 解因为PD DC BC 2 CD 1 PCD 60 如图 过点F作FG CD交CD于点G 解析答案 例4 2014 四川 在如图所示的多面体中 四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形 1 若AC BC 证明 直线BC 平面ACC1A1 证明因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形 所以AA1 AB AA1 AC 因为AB AC为平面ABC内两条相交的直线 所以AA1 平面ABC 因为直线BC 平面ABC 所以AA1 BC 又由已知 AC BC AA1和AC为平面ACC1A1内两条相交的直线 所以BC 平面ACC1A1 线面位置关系中的存在性问题 题型四 解析答案 2 设D E分别是线段BC CC1的中点 在线段AB上是否存在一点M 使直线DE 平面A1MC 请证明你的结论 解如图 取线段AB的中点M 连接A1M MC A1C AC1 设点O为A1C AC1的交点 由已知 点O为AC1的中点 连接MD OE 则MD OE分别为 ABC ACC1的中位线 所以MD綊AC OE綊AC 因此MD綊OE 连接OM 从而四边形MDEO为平行四边形 则DE MO 因为直线DE 平面A1MC MO 平面A1MC 所以直线DE 平面A1MC 即线段AB上存在一点M 线段AB的中点 使直线DE 平面A1MC 解析答案 思维升华 对于线面关系中的存在性问题 首先假设存在 然后在这假设条件下 利用线面关系的相关定理 性质进行推理论证 寻找假设满足的条件 若满足则肯定假设 若得出矛盾的结论则否定假设 思维升华 如图 四边形ABCD中 AB AD AD BC AD 6 BC 2AB 4 E F分别在BC AD上 EF AB 现将四边形ABCD沿EF折起 使平面ABEF 平面EFDC 跟踪训练4 解析答案 解析答案 由BE 1 可得AF 1 则FD 5 故MP 3 由于EC 3 MP FD EC 故MP綊EC 故四边形MPCE为平行四边形 所以CP ME 又CP 平面ABEF ME 平面ABEF 故CP 平面ABEF 2 求三棱锥A CDF的体积的最大值 并求此时点F到平面ACD的距离 解析答案 解设BE x 0 x 4 所以AF x FD 6 x 解析答案 当x 3时 V三棱锥A CDF有最大值 最大值为3 例5 2015 天津 如图 在四棱柱ABCD A1B1C1D1中 侧棱A1A 底面ABCD AB AC AB 1 AC AA1 2 AD CD 且点M和N分别为B1C和D1D的中点 空间向量与立体几何 题型五 1 求证 MN 平面ABCD 解析答案 依题意可得A 0 0 0 B 0 1 0 C 2 0 0 D 1 2 0 A1 0 0 2 B1 0 1 2 C1 2 0 2 D1 1 2 2 又因为M N分别为B1C和D1D的中点 解如图 以A为原点建立空间直角坐标系 解析答案 又因为直线MN 平面ABCD 所以MN 平面ABCD 2 求二面角D1 AC B1的正弦值 解析答案 设n1 x1 y1 z1 为平面ACD1的法向量 则 不妨设z1 1 可得n1 0 1 1 解析答案 设n2 x2 y2 z2 为平面ACB1的法向量 则 解析答案 思维升华 则E 0 2 解析答案 思维升华 整理得 2 4 3 0 思维升华 用向量法解决立体几何问题 可使复杂问题简单化 使推理论证变为计算求解 降低思维难度 使立体几何问题 公式 化 训练的关键在于 归类 寻法 思维升华 2014 北京 如图 正方形AMDE的边长为2 B C分别为AM MD的中点 在五棱锥P ABCDE中 F为棱PE的中点 平面ABF与棱PD PC分别交于点G H 1 求证 AB FG 证明在正方形AMDE中 因为B是AM的中点 所以AB DE 又因为AB 平面PDE 所以AB 平面PDE 因为AB 平面ABF 且平面ABF 平面PDE FG 所以AB FG 跟踪训练5 解析答案 2 若PA 底面ABCDE 且PA AE 求直线BC与平面ABF所成角的大小 并求线段PH的长 解析答案 返回 解因为PA 底面ABCDE 所以PA AB PA AE 如图建立空间直角坐标系Axyz 解析答案 设平面ABF的一个法向量为n x y z 则 令z 1 则y 1 所以n 0 1 1 设直线BC与平面ABF所成角为 解析答案 即 0 1 1 2 2 2 0 因为n是平面ABF的一个法向量 返回 设点H的坐标为 u v w 即 u v w 2 2 1 2 所以u 2 v w 2 2 解析答案 练出高分 1 某四棱台的三视图如图所示 则该四棱台的体积是 解析由三视图知四棱台的直观图为 B 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 2 已知 是两个不同的平面 m n是两条不同的直线 给出下列命题 若m m 则 若m n m n 则 如果m n m n是异面直线 那么n与 相交 若 m n m 且n n 则n 且n 其中正确的是 A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 解析根据面面垂直的判定定理知 正确 若m n 则得不出 错误 n与 还可能平行 错误 易知 正确 答案D 1 2 3 4 5 6 7 8 3 如图梯形ABCD中 AD BC ABC 90 AD BC AB 2 3 4 E F分别是AB CD的中点 将四边形ADFE沿直线EF进行翻折 给出四个结论 DF BC BD FC 平面DBF 平面BFC 平面DCF 平面BFC 在翻折过程中 可能成立的结论是 填写结论序号 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 解析因为BC AD AD与DF相交不垂直 所以BC与DF不垂直 则 不成立 设点D在平面BCF上的射影为点P 当BP CF时就有BD FC 而AD BC AB 2 3 4 可使条件满足 所以 正确 当点P落在BF上时 DP 平面BDF 从而平面BDF 平面BCF 所以 正确 因为点D的射影不可能在FC上 所以平面DCF 平面BFC不成立 即 错误 故答案为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 4 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点E是棱BC的中点 点F是棱CD上的动点 当 时 D1E 平面AB1F 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 解析如图 连接A1B 则A1B是D1E在平面ABB1A1内的射影 AB1 A1B D1E AB1 又 D1E 平面AB1F D1E AF 连接DE 则DE是D1E在底面ABCD内的射影 D1E AF DE AF ABCD是正方形 E是BC的中点 当且仅当F是CD的中点时 DE AF 即当点F是CD的中点时 D1E 平面AB1F 1 2 3 4 5 6 7 8 答案1 5 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 BB1C1C为菱形 B1C的中点为O 且AO 平面BB1C1C 1 证明 B1C AB 证明如图 连接BC1 则O为B1C与BC1的交点 因为四边形BB1C1C为菱形 所以B1C BC1 又AO 平面BB1C1C 所以B1C AO 故B1C 平面ABO 由于AB 平面ABO 故B1C AB 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 2 若AC AB1 CBB1 60 BC 1 求三棱柱ABC A1B1C1的高 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 解如图 在平面BB1C1C内作OD BC 垂足为D 连接AD 在平面AOD内作OH AD 垂足为H 由于BC AO BC OD AO OD D 故BC 平面AOD 又OH 平面AOD 所以OH BC 又OH AD AD BC D 所以OH 平面ABC 因为 CBB1 60 所以 CBB1为等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 6 2015 广东 如图 三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直 PD PC 4 AB 6 BC 3 1 证明 BC 平面PDA 证明因为四边形ABCD是长方形 所以BC AD 因为BC 平面PDA AD 平面PDA 所以BC 平面PDA 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 2 证明 BC PD 解析答案 证明因为四边形ABCD是长方形 所以BC CD 因为平面PDC 平面ABCD 平面PDC 平面ABCD CD BC 平面ABCD 所以BC 平面PDC 因为PD 平面PDC 所以BC PD 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 3 求点C到平面PDA的距离 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 解取CD的中点E 连接AC和PE 因为PD PC 所以PE CD 因为平面PDC 平面ABCD 平面PDC 平面ABCD CD PE 平面PDC 所以PE 平面ABCD 由 2 知 BC 平面PDC 由 1 知 BC AD 所以AD 平面PDC 因为PD 平面PDC 所以AD PD 1 2 3 4 5 6 7 8 设点C到平面PDA的距离为h 7 如图 已知三棱柱ABC A B C 中 平面BCC B 底面ABC BB AC 底面ABC是边长为2的等边三角形 AA 3 E F分别在棱AA CC 上 且AE C F 2 1 2 3 4 5 6 7 8 1 求证 BB 底面ABC 证明如图 取BC的中点O 连接AO 三角形ABC是等边三角形 AO BC 平面BCC B 底面ABC AO 平面ABC 平面ACC B 平面ABC BC AO 平面BCC B 又BB 平面BCC B AO BB 又BB AC AO AC A AO 平面ABC AC 平面ABC BB 底面ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 2 在棱A B 上找一点M 使得C M 平面BEF 并给出证明 解显然点M不是点A B 若棱A B 上存在一点M 使得C M 平面BEF 过点M作MN AA