高考数学复习专题五三角函数及解三角形.pdf

心中有梦 美丽就不再遥远 1 28 三角函数 三角恒等变换与解三角形 1 1 弧度制的定义 l R 角度与弧度的换算公式 360 2 180 1 0 01745 1 57 30 57 18 注意 正角的弧度数为正数 负角的弧度数为负数 零角的弧度数为零 一个式子中不能角度 弧度混用 弧长公式 Rl 扇形面积公式 2 2 1 2 1 RlRS 2 2 三角函数定义 三角函数定义 角 终边上任一点 非原点 P yx 设rOP 则 cos sin r x r y x y tan 3 3 三角函数符号规律 三角函数符号规律 一全正 二正弦 三正切 四余弦 简记为 全 s t c 4 4 诱导公式记忆规律 诱导公式记忆规律 奇变偶不变 符号看象限 5 5 sin xAy 对称轴 令 2 xk 得2 k x 对称中心 0 Zk k cos xAy 对称轴 令 kx 得 k x 对称中心 0 2 Zk k 周期公式 周期公式 函数sin yAx 及cos yAx 的周期 2 T A 为常数 且 A 0 函数 xAytan的周期 T A 为常数 且 A 0 6 6 同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 x x x xxtan cos sin 1cossin 22 7 7 三角函数的单调区间及对称性 三角函数的单调区间及对称性 sinyx 的单调递增区间为 2 2 22 kkkZ 单调递减区间为 3 2 2 22 kkkZ 对称轴为 2 xkkZ 对称中心为 0k kZ cosyx 的单调递增区间为 2 2kkkZ 单调递减区间为 2 2kkkZ 心中有梦 美丽就不再遥远 2 28 对称轴为 xkkZ 对称中心为 0 2 k kZ tanyx 的单调递增区间为 22 kkkZ 对称中心为 0 2 k Zk 三角函数图象几何性质 8 8 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan 注意注意该公式的变形 22 sin sin sinsin 22 cos cos cossin sincosab 22 sin ab 其中 辅助角 所在象限由点 a b所在的象 限决定 2222 sin cos tan bab a abab 9 9 二倍角公式 二倍角公式 cossin22sin 2 sincos 1 2sincos1 sin2 2222 cos2cossin2cos1 1 2sin 升幂公式 22 1 cos21 cos2 cos sin 22 降幂公式 1010 正 余弦定理 正 余弦定理 正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin R2是ABC 外接圆直径 注 CBAcbasin sin sin CRcBRbARasin2 sin2 sin2 CBA cba C c B b A a sinsinsinsinsinsin 余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA cosA bc a 2 cb 222 y Atan x 任意一条y轴的垂线与正切 函数图象都相交 且相邻两 交点的距离为一个周期 三角函数图象几何性质 xO y x x1 x x2 x4 邻中心 x3 x4 T 2 邻渐近线 x1 x2 T 无穷对称中心 由y 0或 y无意义确定 x3 无对称轴 tan yAx 三角函数图象几何性质 xO y x x1 x x2 x4 邻中心 x3 x4 T 2 邻轴 x1 x2 T 2 无穷对称中心 由y 0确定确定 无穷对称轴 由y A或或 A确定确定 y Asin x x3 4 T 邻中心轴相距 sin yAx 心中有梦 美丽就不再遥远 3 28 b2 a2 c2 2accosB cosB ac bca 2 222 c2 a2 b2 2abcosC cosC ab cba 2 222 正余弦定理在实际中的应用 求 距 离 两点间不可通又 不可视 两点间可视但不 可达 两点都不可达 求 高 度 底部可达 底部不可达 题型 1 计算高度 题型 2 计算距离 题型 3 计算角度 题型 4 测量方案的设计 1 11 1 几个公式几个公式 三角形面积公式 111 222 abc Sahbhch abc hhh 分别表示 a b c 边上的高 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 22 1 2 OAB SOAOBOA OB 内切圆半径 r cba S ABC 2 特别地 2 abc r 斜 直 外接圆直径 2R sinsinsinC c B b A a 1212 常见三角不等式 常见三角不等式 1 若 0 2 x 则sintanxxx 2 若 0 2 x 则1sincos2xx 3 sin cos 1xx 13 13 正弦 余弦的诱导公式 正弦 余弦的诱导公式 2 1 2 1 sin sin 2 1 s n n n n con 为偶数 为奇数 2 1 2 1 s s 2 1 sin n n con n co n 为偶数 为奇数 心中有梦 美丽就不再遥远 4 28 即 奇变偶不变 符号看象限 如 sin 2 cos coscos 14 万能公式 2 2tan sin2 1tan 2 2 1 tan cos2 1tan 2 2tan tan2 1 tan 正切倍角 公式 15 半角公式 sin1 cos tan 21 cossin 16 三角函数变换 相位变换 xysin 的图象 个单位平移或向右向左 00 xysin的图象 周期变换 xysin 的图象 倍到原来的或缩短横坐标伸长 1 110 xy sin 的图象 振幅变换 xysin 的图象 倍到原来的或缩短纵坐标伸长AAA101 xAysin 的图象 17 在 ABC 中 有 222 CAB ABCCAB 222 CAB BAbasinsin 注意是在ABC 中 在锐角三角形 ABC 中 A B 2 sinA cosB sinB cosA 常见数据 常见数据 角的概念的推广与弧度制角的概念的推广与弧度制 A 组组 1 点 P 从 1 0 出发 沿单位圆 x2 y2 1 顺时针方向运动 3弧长到达 Q 点 则 Q 点的坐标为 解析 由于点 P 从 1 0 出发 顺时针方向运动 3弧长到达 Q 点 如 图 因此 Q 点的坐标为 cos2 3 sin2 3 即 Q 1 2 3 2 答案 1 2 3 2 2 设 为第四象限角 则下列函数值一定是负值的是 tan 2 sin 2 cos 2 cos2 解析 为第四象限角 则 2为第二 四象限角 因此 tan 2 0 恒成立 应填 其余三 个符号可正可负 答案 3 2008 年高考全国卷 改编 若 sin 0 则 是第 象限的角 答案 三 4 函数 y sinx sinx cosx cosx tanx tanx 的值域为 解析 当 x 为第一象限角时 sinx 0 cosx 0 tanx 0 y 3 当 x 为第二象限角时 sinx 0 cosx 0 tanx 0 y 1 6262 sin15cos75 sin75cos15 44 tan15cot7523 tan75cot1523 51 sin18 4 心中有梦 美丽就不再遥远 5 28 当 x 为第三象限角时 sinx 0 cosx0 y 1 当 x 为第四象限角时 sinx0 tanx0 时 点 P a a 在第一象限 sin 2 2 当 a0 cos3 4 0 知角 在第四象限 tan cos3 4 sin3 4 1 0 2 7 4 答案 7 4 9 已知角 的始边在 x 轴的非负半轴上 终边在直线 y kx 上 若 sin 2 5 且 cos 0 cos 0 x0 r 1 k2x 且 k0 则 cos 解析 由 sin 4 50 知 是第三象限角 故 cos 3 5 答案 3 5 3 若 sin 6 3 5 则 cos 3 解析 cos 3 cos 2 6 sin 6 3 5 答案 3 5 4 2010 年合肥质检 已知 sinx 2cosx 则5sinx cosx 2sinx cosx 解析 sinx 2cosx tanx 2 5sinx cosx 2sinx cosx 5tanx 1 2tanx 1 9 5 答案 9 5 5 原创题 若 cos2 cos 0 则 sin2 sin 解析 由 cos2 cos 0 得 2cos2 1 cos 0 所以 cos 1 或 cos 1 2 当 cos 1 时 有 sin 0 当 cos 1 2时 有 sin 3 2 于是 sin2 sin sin 2cos 1 0 或 3或 3 答案 0 或 3或 3 6 已知 sin cos 8 60 169 且 4 2 求 cos sin 的值 解 由题意 得 2sin cos 120 169 又 sin 2 cos2 1 得 sin cos 2 289 169 得 sin cos 2 49 169 又 4 2 sin cos 0 即 sin cos 0 sin cos 0 sin cos 17 13 sin cos 7 13 得 sin 12 13 得 cos 5 13 B 组组 1 已知 sinx 2cosx 则 sin2x 1 心中有梦 美丽就不再遥远 8 28 解析 由已知 得 tanx 2 所以 sin2x 1 2sin2x cos2x 2sin2x cos2x sin2x cos2x 2tan2x 1 tan2x 1 9 5 答案 9 5 2 2010 年南京调研 cos10 3 解析 cos10 3 cos4 3 cos 3 1 2 答案 1 2 3 2010 年西安调研 已知 sin 3 5 且 2 那么 sin2 cos2 的值等于 解析 cos 1 sin2 4 5 sin2 cos2 2sin cos cos2 2sin cos 2 3 5 4 5 3 2 答案 3 2 4 2010 年南昌质检 若 tan 2 则sin cos sin cos cos 2 解析 sin cos sin cos cos 2 sin cos sin cos cos2 sin2 cos2 tan 1 tan 1 1 tan2 1 16 5 答案 16 5 5 2010 年苏州调研 已知 tanx sin x 2 则 sinx 解析 tanx sin x 2 cosx sinx cos 2x sin2x sinx 1 0 解得 sinx 5 1 2 答案 5 1 2 6 若 0 且 cos sin cos 1 则 解析 由 cos sin cos 1 sin cos 1 cos2 sin2 sin sin cos 0 sin 0 或 sin cos 0 又 0 0 或 4 答案 0 或 4 7 已知 sin 12 1 3 则 cos 7 12 的值等于 解析 由已知 得 cos 7 12 cos 12 2 sin 12 1 3 答案 1 3 8 2008 年高考浙江卷改编 若 cos 2sin 5 则 tan 解析 由 cos 2sin 5 sin2 cos2 1 将 代入 得 5sin 2 2 0 sin 2 5 5 cos 5 5 tan 2 答案 2 9 已知 f sin cos 2 tan 3 2 cos 则 f 31 3 的值为 解析 f sin cos cot cos cos f 31 3 cos 3 1 2 答案 1 2 10 求 sin 2n 2 3 cos n 4 3 n Z 的值 心中有梦 美丽就不再遥远 9 28 解 1 当 n 为奇数时 sin 2n 2 3 cos n 4 3 sin2 3 cos n 1 3 sin 3 cos 3 sin 3 cos 3 3 2 1 2 3 4 2 当n为偶数时 sin 2n 2 3 cos n 4 3 sin2 3 cos4 3 sin 3 cos 3 sin 3 cos 3 3 2 1 2 3 4 11 在 ABC 中 若 sin 2 A 2sin B 3cosA 2cos B 求 ABC 的三 内角 解 由已知 得 sinA 2sinB 3cosA 2cosB 2 2得 2cos2A 1 即 cosA 2 2 1 当 cosA 2 2 时 cosB 3 2 又 A B 是三角形内角 A 4 B 6 C A B 7 12 2 当 cosA 2 2 时 cosB 3 2 又 A B 是三角形内角 A 3 4 B 5 6 不合 题意 综上知 A 4 B 6 C 7 12 12 已知向量 a 3 1 向量 b sin m cos 1 若 a b 且 0 2 将 m 表示为 的函数 并求 m 的最小值及相应的 值 2 若 a b 且 m 0 求 cos 2 sin 2 cos 的值 解 1 a b 3cos 1 sin m 0 m sin 3cos 2sin 3 又 0 2 当 sin 3 1 时 mmin 2 此时 3 3 2 即 11 6 2 a b 且 m 0 3sin cos 0 tan 3 3 cos 2 sin 2 cos sin sin2 cos tan 2sin cos tan 2sin cos sin2 cos2 tan 2tan 1 tan2 1 2 第三节第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质正弦函数与余弦函数的图像与性质 A 组组 1 2009 年高考四川卷改编 已知函数 f x sin x 2 x R 下面结论错误的是 函数 f x 的最小正周期为 2 函数 f x 在区间 0 2 上是增函数 函数 f x 的图象关于直线 x 0 对称 函数 f x 是奇函数 解析 y sin x 2 cosx y cosx 为偶函数 T 2 在 0 2 上是增函数 图象关于 y 轴对称 答案 心中有梦 美丽就不再遥远 10 28 2 2009 年高考广东卷改编 函数 y 2cos2 x 4 1 是 最小正周期为 的奇函数 最小正周期为 的偶函数 最小正周期为 2的奇函数 最小正周期为 2的偶函数 解析 y 2cos2 x 4 1 cos 2x 2 sin2x T 且为奇函数 答案 3 2009 年高考江西卷改编 若函数 f x 1 3tanx cosx 0 x 2 则 f x 的最大值为 解析 f x 1 3 sinx cosx cosx cosx 3sinx 2sin x 6 0 x 2 6 x 60 0 的图象关于直线 x 3对称 它的最小正周期是 则 f x 图象上的一个对称中心是 写出一个即可 解析 T 2 2 又 函数的图象关于直线 x 3对称 所以有 sin 2 3 1 k1 6 k1 Z 由 sin 2x k1 6 0 得 2x k1 6 k2 k2 Z x 12 k2 k1 2 当 k1 k2时 x 12 f x 图象的一个对称中心为 12 0 答案 12 0 6 2010 年宁波调研 设函数 f x 3cos2x sinxcosx 3 2 1 求函数 f x 的最小正周期 T 并求出函数 f x 的单调递增区间 2 求在 0 3 内使 f x 取到最大值的所有 x 的和 解 1 f x 3 2 cos2x 1 1 2sin2x 3 2 3 2 cos2x 1 2sin2x sin 2x 3 故 T 由 2k 2 2x 3 2k 2 k Z 得 k 5 12 x k 12 所以单调递增区间为 k 5 12 k 12 k Z 2 令 f x 1 即 sin 2x 3 1 则 2x 3 2k 2 k Z 于是 x k 12 k Z 0 x 3 且 k Z k 0 1 2 则 12 12 2 12 13 4 在 0 3 内使 f x 取到最大值的所有 x 的和为13 4 B 组组 1 函数 f x sin 2 3x 2 sin 2 3x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是 解析 f x cos2x 3 sin2x 3 2sin 2x 3 4 相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期 T 心中有梦 美丽就不再遥远 11 28 2 2 3 3 T 2 3 2 答案 3 2 2 2010 年天津河西区质检 给定性质 a 最小正周期为 b 图象关于直线 x 3对称 则下 列四个函数中 同时具有性质 ab 的是 y sin x 2 6 y sin 2x 6 y sin x y sin 2x 6 解析 中 T 2 2 又 2 3 6 2 所以 x 3为对称轴 答案 3 2009 年高考全国卷 改编 若 4 x 2 则函数 y tan2xtan 3x 的最大值为 解析 4 x1 令 tan 2x 1 t 0 则 y tan2xtan3x 2tan4x 1 tan2x 2 t 1 2 t 2 t 1 t 2 8 故填 8 答案 8 4 2010 年烟台质检 函数 f x sin2x 2cosx 在区间 2 3 上的最大值为 1 则 的值是 解析 因为 f x sin2x 2cosx cos2x 2cosx 1 cosx 1 2 2 又其在区间 2 3 上的最大值为 1 可知 只能取 2 答案 2 5 2010 年苏北四市调研 若函数 f x 2sin x 0 在 2 3 2 3 上单调递增 则 的最大 值为 解析 由题意 得2 4 2 3 00 y f x 的图象与直线 y 2 的两个相邻交点的距离等于 则 f x 的单调递增区间是 解析 y 3sin x cos x 2sin x 6 且由函数 y f x 与直线 y 2 的两个相邻交 点间的距离为 知 函数 y f x 的周期 T T 2 解得 2 f x 2sin 2x 6 令 2k 2 2x 6 2k 2 k Z 得 k 3 x k 6 k Z 答案 k 3 k 6 k Z 10 已知向量 a 2sin x cos2 x 向量 b cos x 2 3 其中 0 函数 f x a b 若 f x 图象的相邻两对称轴间的距离为 1 求 f x 的解析式 2 若对任意实数 x 6 3 恒有 f x m 2 成立 求实数 m 的取值范围 解 1 f x a b 2sin x cos2 x cos x 2 3 sin2 x 3 1 cos2 x 2sin 2 x 3 3 相邻两对称轴的距离为 2 2 2 1 2 f x 2sin x 3 3 2 x 6 3 x 3 2 2 3 2 3 f x 2 3 又 f x m 2 2 m f x 2 m 若对任意 x 6 3 恒有 f x m 0 的最小正周期为 3 且当 x 0 时 函 数 f x 的最小值为 0 1 求函数 f x 的表达式 2 在 ABC 中 若 f C 1 且 2sin2B cosB cos A C 求 sinA 的值 解 1 f x 3sin x cos x 1 m 2sin x 6 1 m 依题意 函数 f x 的最小正周期为 3 即2 3 解得 2 3 f x 2sin 2x 3 6 1 m 当 x 0 时 6 2x 3 6 5 6 1 2 sin 2x 3 6 1 f x 的最小值为 m 依题意 m 0 f x 2sin 2x 3 6 1 心中有梦 美丽就不再遥远 13 28 2 由题意 得 f C 2sin 2C 3 6 1 1 sin 2C 3 6 1 而 6 2C 3 6 5 6 2C 3 6 2 解得 C 2 A B 2 在 Rt ABC 中 A B 2 2sin 2B cosB cos A C 2cos2A sinA sinA 0 解得 sinA 1 5 2 0 sinA1 时 T 2 当 0 a 2 观察图 形中周期与振幅的关系 发现 不符合要求 答案 2 2009 年高考湖南卷改编 将函数 y sinx 的图象向左平移 0 0 个单位 所得图象对应的函数为奇函 数 则 的最小值为 解析 因为 f x 3sinx cosx 2sin x 6 f x 的图象向右平移 个单位所得图象对应 的函数为奇函数 则 的最小值为5 6 答案 5 6 4 如图是函数 f x Asin x A 0 0 x R 的部分图象 则下列命题中 正确命题的序号为 函数 f x 的最小正周期为 2 函数 f x 的振幅为 2 3 函数 f x 的一条对称轴方程为 x 7 12 函数 f x 的单调递增区间为 12 7 12 函数的解析式为 f x 3sin 2x 2 3 解析 据图象可得 A 3 T 2 5 6 3 T 故 2 又由 f 7 12 3 sin 2 7 12 心中有梦 美丽就不再遥远 14 28 1 解得 2k 2 3 k Z 又 0 在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 6 1 求 2 若将函数 f x 的图象向右平移 6个单位后 再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来 的 4 倍 纵坐标不变 得到函数 y g x 的图象 求函数 g x 的最大值及单调递减区间 解 1 f x 3 2 sin2 x 1 2cos2 x 3 2 sin 2 x 6 3 2 令 2 x 6 2 将 x 6代入可得 1 2 由 1 得 f x sin 2x 6 3 2 经过题设的变化得到的函数 g x sin 1 2x 6 3 2 当 x 4k 4 3 k Z 时 函数取得最大值 5 2 令 2k 2 1 2x 6 2k 3 2 k Z 4k 4 3 x 4k 10 3 k Z 即 x 4k 4 3 4k 10 3 k Z 为函数的单调递减区间 B 组组 1 2009 年高考宁夏 海南卷 已知函数 y sin x 0 的图象如图所示 则 解析 由图可知 T 2 2 3 4 T 5 2 2 5 2 4 5 y sin 4 5x 又 sin 4 5 3 4 1 sin 3 5 1 3 5 3 2 2k k Z 0 0 的最小正周期为 为了 得到函数 g x cos x 的图象 只要将 y f x 的图象 解析 f x sin x 4 x R 0 的最小正周期为 2 故 2 又 f x sin 2x 4 g x sin 2 x 8 4 sin 2x 2 cos2x 答案 向左平移 8个单位长度 4 2009 年高考辽宁卷改编 已知函数 f x Acos x 的图 象如图所示 f 2 2 3 则 f 0 解析 T 2 11 12 7 12 3 2 T 3 又 7 12 0 是函数的一个上升段的零点 3 7 12 3 2 2k k Z 得 4 2k k Z 代入 f 2 2 3 得 A 2 2 3 f 0 2 3 答案 2 3 5 将函数 y sin 2x 3 的图象向 平移 个单位长度后所得的图象关于点 12 0 中心对称 解析 由 y sin 2x 3 sin2 x 6 可知其函数图象关于点 6 0 对称 因此要使平移 后的图象关于 12 0 对称 只需向右平移 12即可 答案 右 12 6 2010 年深圳调研 定义行列式运算 a1 a2 a3 a4 a1a4 a2a3 将函数 f x 3 cosx 1 sinx 的 图象向左平移m个单位 m 0 若所得图象对应的函数为偶函数 则m的最小值是 解析 由题意 知 f x 3sinx cosx 2 3 2 sinx 1 2cosx 2sin x 6 其图象向左平移 m 个单位后变为 y 2sin x 6 m 平移后其对称轴为 x 6 m k 2 k Z 若为偶函数 则 x 0 所以 m k 2 3 k Z 故 m 的最小值为2 3 答案 2 3 7 2009 年高考全国卷 改编 若将函数 y tan x 4 0 的图象向右平移 6个单位长度后 与函数 y tan x 6 的图象重合 则 的最小值为 解析 y tan x 4 向右平移 6个单位长度后得到函数解析式 y tan x 6 4 即 y 心中有梦 美丽就不再遥远 16 28 tan x 4 6 显然当 4 6 6 k k Z 时 两图象重合 此时 1 2 6k k Z 0 k 0 时 的最小值为1 2 答案 1 2 8 给出三个命题 函数 y sin 2x 3 的最小正周期是 2 函数 y sin x 3 2 在区间 3 2 上单调递增 x 5 4 是函数 y sin 2x 5 6 的图象的一条对称轴 其中真命题的个数是 解析 由于函数 y sin 2x 3 的最小正周期是 故函数 y sin 2x 3 的最小正周期 是 2 正确 y sin x 3 2 cosx 该函数在 3 2 上单调递增 正确 当 x 5 4 时 y sin 2x 5 6 sin 5 2 5 6 sin 2 5 6 cos5 6 3 2 不等于函数的最值 故 x 5 4 不是 函数 y sin 2x 5 6 的图象的一条对称轴 不正确 答案 2 9 2009 年高考上海卷 当 0 x 1 时 不等式 sin x 2 kx 恒成立 则实数 k 的取值范围是 解析 当 0 x 1 时 y sin x 2 的图象如图所示 y kx 的图象在 0 1 之间的部分应位于此图象下方 当 k 0 时 y kx 在 0 1 上的图象恒在 x 轴下方 原不等式成立 当 k 0 kx sin x 2 时 在 x 0 1 上恒成立 k 1 即可 故 k 1 时 x 0 1 上恒有 sin x 2 kx 答案 k 1 10 2009 年高考重庆卷 设函数 f x sin x cos x 2 2cos2 x 0 的最小正周期为2 3 1 求 的值 2 若函数 y g x 的图象是由 y f x 的图象向右平移 2个单位长度得到 求 y g x 的单调增区间 解 1 f x sin2 x cos2 x 2sin x cos x 1 cos2 x sin2 x cos2 x 2 2 sin 2 x 4 2 依题意 得 2 2 2 3 故 3 2 2 依题意 得 g x 2sin 3 x 2 4 2 2sin 3x 5 4 2 由 2k 2 3x 5 4 2k 2 k Z 解得 2 3k 4 x 2 3k 7 12 k Z 故 g x 的单调增区间为 2 3k 4 2 3k 7 12 k Z 11 2009 年高考陕西卷 已知函数 f x Asin x x R 其中 A 0 0 0 0 2 1 若 cos 4cos sin 3 4 sin 0 求 的值 2 在 1 的条件下 若函数 f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 3 求函数 f x 的解析式 并求最小正实数 m 使得函数 f x 的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶 函数 解 法一 1 由 cos 4cos sin 3 4 sin 0 得 cos 4cos sin 4sin 0 即 cos 4 0 又 2 4 2 由 1 得 f x sin x 4 依题意 T 2 3 又 T 2 故 3 f x sin 3x 4 函数 f x 的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g x sin 3 x m 4 g x 是偶函数当且仅当 3m 4 k 2 k Z 即 m k 3 12 k Z 从而 最小正实数 m 12 法二 1 同法一 2 由 1 得 f x sin x 4 依题意 T 2 3 又 T 2 故 3 f x sin 3x 4 函数 f x 的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g x sin 3 x m 4 g x 是偶函数当且仅当 g x g x 对 x R 恒成立 亦即 sin 3x 3m 4 sin 3x 3m 4 对 x R 恒成立 sin 3x cos 3m 4 cos 3x sin 3m 4 sin3xcos 3m 4 cos3xsin 3m 4 即 2sin3xcos 3m 4 0 对 x R 恒成立 cos 3m 4 0 故 3m 4 k 2 k Z m k 3 12 k Z 从而 最小正实数 m 12 第六章第六章 三角恒等变形三角恒等变形 第一节第一节 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 A 组组 1 已知 sin 5 5 sin 10 10 均为锐角 则 等于 心中有梦 美丽就不再遥远 18 28 解析 均为锐角 2 2 cos 1 sin2 3 10 10 sin 5 5 cos 1 5 5 2 2 5 5 sin sin sin cos cos sin 2 2 0 2 4 答案 4 2 已知 0 2 cos 3 5 sin 3 5 则 cos 的值为 解析 0 2 2 2 3 2 sin 4 5 cos 4 5 cos cos cos cos sin sin 4 5 3 5 3 5 4 5 24 25 答 案 24 25 3 如果 tan tan 是方程 x2 3x 3 0 的两根 则sin cos 解析 tan tan 3 tan tan 3 则 sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin tan tan 1 tan tan 3 1 3 3 2 答案 3 2 4 2008 年高考山东卷改编 已知 cos 6 sin 4 5 3 则 sin 7 6 的值是 解析 由已知得 3 2 cos 1 2sin sin 4 5 3 即1 2cos 3 2 sin 4 5 得 sin 6 4 5 sin 7 6 sin 6 4 5 答案 4 5 5 原创题 定义运算 ab a2 ab b2 则 sin 12 12 解析 sin 12 12 sin 2 12 sin 12cos 12 cos 2 12 cos 2 12 sin 2 12 1 2 2sin 12cos 12 cos 6 1 2sin 6 1 2 3 4 答案 1 2 3 4 6 已知 2 且 sin 2 cos 2 6 2 1 求 cos 的值 2 若 sin 3 5 2 求 cos 的值 解 1 因为 sin 2 cos 2 6 2 两边同时平方得 sin 1 2 又 2 所以 cos 3 2 2 因为 2 2 所以 2 故 2 2 又 sin 3 5 得 cos 4 5 cos cos cos cos sin sin 3 2 4 5 1 2 3 5 4 3 3 10 B 组组 心中有梦 美丽就不再遥远 19 28 1 cos2 1 sin2 1 tan 1 tan 的值为 解析 cos2 1 sin2 1 tan 1 tan cos2 sin2 sin cos 2 1 tan 1 tan cos sin sin cos 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan 1 2 已知 cos 4 x 3 5 则 sin2x 2sin2x 1 tanx 的值为 解析 cos 4 x 3 5 cosx sinx 3 5 2 1 sin2x 18 25 sin2x 7 25 sin2x 2sin2x 1 tanx 2sinx cosx sinx cosx sinx cosx sin2x 7 25 3 已知 cos 3 sin 3 则 tan 解析 cos 3 cos cos 3 sin sin 3 1 2cos 3 2 sin sin 3 sin cos 3 cos sin 3 1 2sin 3 2 cos 由已知得 1 2 3 2 sin 1 2 3 2 cos tan 1 4 设 4 3 4 0 4 cos 4 3 5 sin 3 4 5 13 则 sin 解析 4 3 4 4 0 2 又 cos 4 3 5 sin 4 4 5 0 4 3 4 3 4 sin 3 4 5 13 cos 3 4 12 13 sin cos 4 3 4 cos 4 cos 3 4 sin 4 sin 3 4 3 5 12 13 4 5 5 13 56 65 即 sin 56 65 5 已知 cos 1 3 cos 1 3 且 0 2 则 cos 的值等于 解析 0 2 2 0 cos 1 3 cos2 2cos 2 1 7 9 sin2 1 cos22 4 2 9 而 0 2 0 sin 1 cos2 2 2 3 cos cos 2 cos2 cos sin2 sin 7 9 1 3 4 2 9 2 2 3 23 27 6 已知角 在第一象限 且 cos 3 5 则 1 2cos 2 4 sin 2 解 析 在 第 一 象 限 且cos 3 5 sin 4 5 则 1 2cos 2 4 sin 2 心中有梦 美丽就不再遥远 20 28 1 2 2 2 cos2 2 2 sin2 cos 2cos2 2sin cos cos 2 sin cos 2 4 5 3 5 14 5 7 已知 a cos2 sin b 1 2sin 1 2 若 a b 2 5 则 tan 4 的值为 解析 a b cos2 2sin2 sin 1 2sin2 2sin2 sin 1 sin 2 5 sin 3 5 又 2 cos 4 5 tan 3 4 tan 4 tan 1 1 tan 1 7 8 tan10 tan70 tan70 tan10 tan120 的值为 解析 由 tan 70 10 tan70 tan10 1 tan70 tan10 3 故 tan70 tan10 3 1 tan70 tan10 代入所求代数式得 tan70 tan10 3 1 tan70 tan10 tan120 tan70 tan10 3 1 tan70 tan10 3 tan70 tan10 3tan70 tan10 3 3 9 已知角 的终边经过点 A 1 15 则 sin 4 sin2 cos2 1的值等于 解析 sin cos 0 cos 1 4 sin 4 sin2 cos2 1 2 4cos 2 10 求值 cos20 sin20 cos10 3sin10 tan70 2cos40 解 原式 cos20 cos10 sin20 3sin10 sin70 cos70 2cos40 cos20 cos10 3sin10 cos20 sin20 2cos40 cos20 cos10 3sin10 sin20 2cos40 2cos20 cos10 sin30 sin10 cos30 sin20 2cos40 2cos20 sin40 2sin20 cos40 sin20 2 11 已知向量 m 2cosx 2 1 n sin x 2 1 x R 设函数 f x m n 1 1 求函数 f x 的值域 2 已知锐角 ABC 的三个内角分别为 A B C 若 f A 5 13 f B 3 5 求 f C 的值 解 1 f x m n 1 2cosx 2 1 sin x 2 1 1 2cos x 2sin x 2 1 1 sinx x R 函数 f x 的值域为 1 1 2 f A 5 13 f B 3 5 sinA 5 13 sinB 3 5 A B 都为锐角 cosA 1 sin2A 12 13 cosB 1 sin2B 4 5 f C sinC sin A B sin A B sinAcosB cosAsinB 心中有梦 美丽就不再遥远 21 28 5 13 4 5 12 13 3 5 56 65 f C 的值为 56 65 12 2010 年南京调研 已知 0 2 cos 4 1 3 sin 4 5 1 求 sin2 的值 2 求 cos 4 的值 解 1 法一 cos 4 cos 4cos sin 4sin 2 2 cos 2 2 sin 1 3 cos sin 2 3 1 sin2 2 9 sin2 7 9 法二 sin2 cos 2 2 2cos 2 4 1 7 9 2 0 2 4 4 3 4 2 0 cos 0 cos 4 1 3 sin 4 5 sin 4 2 2 3 cos 3 5 cos 4 cos 4 cos cos 4 sin sin 4 3 5 1 3 4 5 2 2 3 8 2 3 15 第二节第二节 两角和与差及二倍角的三角函数两角和与差及二倍角的三角函数 A 组组 1 若 sin 3 5 2 2 则 cos 5 4 解析 由于 2 2 sin 3 5得 cos 4 5 由两角和与差的余弦公式得 cos 5 4 2 2 cos sin 2 10 2 已知 3 2 则 1 2 1 2 1 2 1 2cos 解析 3 2 2 2 3 4 4 4 3 8 1 2 1 2 1 2 1 2cos 1 2 1 2 cos2 2 1 2 1 2cos 2 sin 4 3 2010 年南京市调研 计算 cos10 3sin10 1 cos80 解析 cos10 3sin10 1 cos80 2cos 10 60 2sin240 2cos50 2sin40 2 4 2009 年高考上海卷 函数 y 2cos2x sin2x 的最小值是 解析 y 2cos2x sin2x sin2x 1 cos2x sin2x cos2x 1 2sin 2x 4 1 1 2 5 原创题 函数 f x sin2x 1 2010sin2x cos 2x 1 2010cos2x 的最小值是 解析 f x 2010sin4x 1 2010cos4x 1 20102sin2xcos2x 心中有梦 美丽就不再遥远 22 28 20102sin4xcos4x 2010 sin4x cos4x 1 20102sin2xcos2x sin2xcos2x 2011 20102sin2xcos2x 2 2010 2 2010 2011 1 6 已知角 4 2 且 4cos 3sin 2cos 3sin 0 1 求 tan 4 的值 2 求 cos 3 2 的值 解 4cos 3sin 2cos 3sin 0 又 4 2 tan 4 3 sin 4 5 cos 3 5 1 tan 4 tan tan 4 1 tan tan 4 4 3 1 1 4 3 7 2 cos2 2cos2 1 7 25 sin2 2sin cos 24 25 cos 3 2 cos 3cos2 sin 3sin2 1 2 7 25 3 2 24 25 24 3 7 50 B 组组 1 若 tan 2 5 tan 4 1 4 则 tan 4 解析 tan 4 tan 4 tan tan 4 1 tan tan 4 2 5 1 4 1 2 5 1 4 3 22 2 2009 年高考陕西卷改编 若 3sin cos 0 则 1 cos2 sin2 的值为 解析 由 3sin cos 0 得 cos 3sin 则 1 cos2 sin2 sin2 cos2 cos2 2sin cos 9sin2 sin2 9sin2 6sin2 10 3 3 设 a sin14 cos14 b sin16 cos16 c 6 2 则 a b c 的大小关系是 解析 a 2sin59 c 2sin60 b 2sin61 a c b 或 a2 1 sin28 1 1 2 3 2 c 2 3 2 a c b 4 2 2cos8 2 1 sin8的化简结果是 解析 原式 4cos24 2 sin4 cos4 2 2cos4 2 sin4 cos4 2sin4 5 若 tan 1 tan 10 3 4 2 则 sin 2 4 的值为 解析 由题意知 tan 3 sin 2 4 2 2 sin2 cos2 而 sin2 2tan 1 tan2 3 5 cos2 1 tan2 1 tan2 4 5 sin 2 4 2 2 3 5 4 5 2 10 6 若函数 f x sin2x 2sin2x sin2x x R 则 f x 的最小正周期为 解析 f x sin2x 1 2sin2x sin2xcos2x 1 2sin4x 所以 T 2 4 2 心中有梦 美丽就不再遥远 23 28 7 2010 年无锡质检 2cos5 sin25 cos25 的值为 解析 由已知得 原式 2cos 30 25 sin25 cos25 3cos25 cos25 3 8 向量 a cos10 sin10 b cos70 sin70 a 2b 解 析 a 2b 2 cos10 2cos70 2 sin10 2sin70 2 5 4cos10 cos70 4sin10 sin70 5 4cos60 3 a 2b 3 9 2010 年江苏省南通市调研 已知1 cos2 sin cos 1 tan 1 3 则 tan 2 解析 因为 1 cos2 sin cos 1 即 1 1 tan2 1 tan2 1 2 2tan 1 tan2 所以 2tan 1 即 tan 1 2 所以 tan 2 tan tan tan 1 tan tan 1 3 1 2 1 1 6 1 10 已知 tan 2 求 1 tan 4 的值 2 sin2 cos2 1 cos2 的值 解 1 tan 4 1 tan 1 tan tan 2 tan 4 1 2 1 2 3 2 sin2 cos2 1 cos2 2sin cos cos2 2cos2 2sin cos 2cos tan 1 2 5 2 11 如图 点 A B 是单位圆上的两点 A B 两点分别在第一 二象限 点 C 是圆与 x 轴正半轴的交点 AOB 是正三角形 若点 A 的坐标为 3 5 4 5 记 COA 1 求1 sin2 1 cos2 的值 2 求 BC 2的值 解 1 A 的坐标为 3 5 4 5 根据三角函数的定义可知 sin 4 5 cos 3 5 1 sin2 1 cos2 1 2sin cos 2cos2 49 18 2 AOB 为正三角形 AOB 60 cos COB cos 60 cos cos60 sin sin60 3 5 1 2 4 5 3 2 3 4 3 10 BC 2 OC 2 OB 2 2 OC OB cos COB 1 1 2 3 4 3 10 7 4 3 5 12 2009 年高考江西卷 ABC 中 A B C 所对的边分别为 a b c tanC sinA sinB cosA cosB sin B A cosC 1 求角 A C 2 若 S ABC 3 3 求 a c 解 1 因为 tanC sinA sinB cosA cosB 即 sinC cosC sinA sinB cosA cosB 所以 sinCcosA sinCcosB cosCsinA cosCsinB 即 sinCcosA cosCsinA cosCsinB sinCcosB 心中有梦 美丽就不再遥远 24 28 得 sin C A sin B C 所以 C A B C 或 C A B C 不成立 即 2C A B 得 C 3 所以 B A 2 3 又因为 sin B A cosC 1 2 则 B A 6或 B A 5 6 舍去 得 A 4 B 5 12 故 A 4 C 3 2 S ABC 1 2acsinB 6 2 8 ac 3 3 又 a sinA c sinC 即 a 2 2 c 3 2 得 a 2 2 c 2 3 第七章第七章 解三角形解三角形 第一节第一节 正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理 1 2008 陕西理 陕西理 3 3 ABC 的