高等数学微积分第4章 第4节 函数的极值与最值.ppt

第四节函数的极值与最值 一 函数的极值 定义 设函数 在点 的某邻域内有定义 如果对该邻域内的任意点 总有 则称 是函数 的极大值 点 称为函数 的极大值点 如果对该邻域内的任意点 总有 则称 是函数 点 称为函数 的极小值点 的极小值 1 极大值 极小值统称为极值 极大值点 极小值点统称为极值点 2 极值是函数值 极值点是自变量的值 3 极值是一个局部性概念 4 只有区间内部的点才有可能成为 极值点 点 是函数 的极值点的必要 条件为 或者 不存在 证 设 在 处可导 点 为函数 的极大值点 故 从而命题成立 定理4 7 不存在 驻点 注一般来说圈中的 点为有限多个 设函数 在点 的某个空心邻域 内可导 且在 处连续 如果在点 左邻域内有 在点 右邻域内有 则 是 的极大值点 如果在点 左邻域内有 在点 右邻域内有 则 是 的极小值点 如果在点 的某个空心邻域内 不变号 则 不是 的极值点 的 的 定理4 8 例1 求函数 的单调区间和极值 解 定义域为 令 得 另外 时 不存在 不存在 极大值 极小值 设函数 在点 的某个邻域 内可导 且 存在 若 则 在点 取得极大值 若 则 在点 取得极小值 证 因 则在点 的某个空心邻域内 在点 取得极大值 定理4 9 例2 求函数 的极值 解 令 得 定义域为 故 在 处取得极小值 建议 1 如果可能的极值点只有导数等于零的点 建议用定理4 9 2 如果可能的极值点既有导数等于零的点 又有导数不存在的点 建议用定理4 8 二 函数的最值 1 闭区间 上的连续函数 求最值 不存在 驻点 极值点 例3 求函数 上的最值 解 令 得 在 另外 时 不存在 故最大值 最小值 2 闭区间 上的单调函数 求最值 3 例4 要造一个容积为 的无盖圆柱形桶 其底用铝制造 侧面用铁制造 已知铝 与铁的单位面积价格比为 问桶的底半径 与高 各为多少时 才能使桶的造价最低 解 设桶的造价为 设每平方米铁皮的价格为 则每平方米铝皮的价格为 则 令 得 又 故 是唯一极值点且为极小值点 从而 是最小值点 此时 例5 某产品总成本 单位 万元 为年产量 单位 万元 的函数 其中 为待定系数 已知固定成本为4万元 且当年产量 百吨时 总成本 万元 问年产量多少时才能使平均单位成本 最低 解 由 及 知 令 得 又 故 是唯一极值点且为极小值点 从而是最小值点 所以年产量为4百吨时 平均单位成本最低 例6 某厂生产某种产品 年产量为 百台 总成本为 万元 其中固定成本为2万元 每生产1百台成本增加1万元 市场上每年 可销售此种商品4百台 其销售总收入 是 的函数 问每年生产多少台时总利润最大 值是多少 解 令 得 又 故 是唯一极值点且为极大值点 从而是最大值点 所以 解 每年分 则 某工厂生产过程中每年需要一种零件 8000个 分若干批进货 零件的消耗是均匀的 例7 每次进货费为 已知每个零件每年 的库存费为4元 如果 问零件分几批进货 能使库存费与进货费最省 批进货 总费用为 则 令 得 又 故 是唯一极值点且为极小值点 从而是最小值点 所以 利用最值证明不等式 例8设 且 证明 证 因 则 则 又 设 令 得唯一解 又 故 是唯一极值点且是极小