高中总复习数学基础知识归类及知识要点.pdf

厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555651 海金教育海金教育高中数学基础知识归类高中数学基础知识归类 姓名姓名 学校学校 日期日期 基础知识基础知识 一一 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 1 1 注意区分集合中元素的形式注意区分集合中元素的形式 如如 lg x yx 函数的定义域函数的定义域 lg y yx 函数的值域函数的值域 lg x yyx 函数图象上的点集函数图象上的点集 2 2 集合的性质 任何一个集合A是它本身的子集 记为 AA 空集是任何集合的子集 记为 A 空集是任何非空集合的真子集空集是任何非空集合的真子集 注意注意 条件为条件为 AB 在讨论的时候不要遗忘了在讨论的时候不要遗忘了A 的情况的情况 如如 012 2 xaxxA 如果如果 AR 求求a的取值的取值 答答 0a UUU CABC AC B UUU CABC AC B ABCABC ABCABC ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR AB 元素的个数 card ABcardAcardBcard AB 含含n个元素的集合的子集个数为个元素的集合的子集个数为2 n 真子集真子集 非空子集非空子集 个数为个数为2 1 n 非空真子集个数为非空真子集个数为2 2 n 3 3 补集思想补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题 如如 已知函数 12 2 24 22 ppxpxxf 在区间 1 1 上至少存在一个实数c 使 0 cf 求实数 p 的取值范围 答 3 2 3 4 4 原命题 pq 逆命题 qp 否命题 pq 逆否命题 qp 互为逆否的两 个命题是等价的 如 sinsin 是 的条件 答 充分非必要条件 5 5 若若 pq 且且q p 则则 p 是是q的充分非必要条件的充分非必要条件 或或q是是 p 的必要非充分条件或的必要非充分条件或q q的一个充分非必要条件是的一个充分非必要条件是p p或或p p的的 一个必要非充分条件是一个必要非充分条件是q q 6 6 注意命题 pq 的否定否定与它的否命题否命题的区别 命题 pq 的否定否定是 pq 否命题否命题是 pq 命题 p 或q 的否定是 p 且 q p 且q 的否定是 p 或 q 如如 若a和b都是偶数 则 ba 是偶数 的否命题是 若a和b不都是偶数 则 ba 是奇数 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555652 否定是 若a和b都是偶数 则 ba 是奇数 7 7 常见结论的否定形式 原命题中含有全称量词原命题中含有全称量词 或存在量词或存在量词 命题的否定必有存在量词命题的否定必有存在量词 或全称量词或全称量词 原结论否定原结论否定 是不是至少有一个一个也没有 都是不都是至多有一个至少有两个 大于不大于至少有n个 至多有 1n 个 小于不小于至多有n个 至少有 1n 个 对所有x 成立存在某x 不成立 p 或q p 且 q 对任何x 不成立存在某x 成立 p 且q p 或 q 二二 函数函数 1 1 映射 f A B 是 一对一或多对一 的对应 集合A中的元素必有象且A中不 同元素在B中可以有相同的象 集合B中的元素不一定有原象 即象集 B 一一映射 f A B 一对一 的对应 A中不同元素的象必不同 B中元素都有原象 2 2 函数 f AB 是特殊的映射 特殊在定义域A和值域B都是非空数集 据此可知函数图像与x轴 的垂线至多有一个公共点 但与 y 轴垂线的公共点可能没有 也可能有任意个 3 3 函数的三要素 定义域 值域 对应法则 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则 4 4 求定义域求定义域 使函数解析式有意义使函数解析式有意义 如如 分母分母 0 偶次根式被开方数非负偶次根式被开方数非负 对数真数对数真数 0 底数底数 0 且且 1 零指数幂的底数零指数幂的底数 0 实际问题有意义实际问题有意义 若若 f x 定义域为定义域为 a b 复合函数复合函数 f g x 定义定义 域由域由 ag xb 解出解出 若若 f g x 定义域为定义域为 a b 则则 f x 定义域相当于定义域相当于 xa b 时时 g x 的值域的值域 5 5 求值域常用方法 配方法 二次函数类 逆求法 反函数法 换元法 特别注意新元的范围 三角有界法 转化为只含正弦 余弦的函数 运用三角函数有界性来求值域 不等式法 单调性法 数形结合 根据函数的几何意义 利用数形结合的方法来求值域 判别式法 慎用 导数法 一般适用于高次多项式函数 6 6 求函数解析式的常用方法 待定系数法 已知所求函数的类型 代换 配凑 法 方程的思想 对已知等式进行赋值 从而得到关于 f x 及另外一个函数的方程组 7 7 函数的奇偶性和单调性函数的奇偶性和单调性 函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的 确定奇偶性方法有定义法确定奇偶性方法有定义法 图像法等图像法等 若若 f x 是偶函数是偶函数 那么那么 f xfxfx 定义域含零的奇函数必过原点定义域含零的奇函数必过原点 0 0f 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555653 判断函数奇偶性可用定义的等价形式判断函数奇偶性可用定义的等价形式 0f xfx 或或 1 0 fx f x f x 复合函数的奇偶性特点是 内偶则偶 内奇同外 注意注意 若判断较为复杂解析式函数的奇偶性 应先化简再判断 既奇又偶的函数有无数个 如 0f x 定义域关于原点对称即可 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性 偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性 确定函数单调性的方法有定义法确定函数单调性的方法有定义法 导数法导数法 图像法和特值法图像法和特值法 用于小题用于小题 等等 复合函数单调性由 同增异减 判定 提醒 求单调区间时注意定义域 如如 函数 1 2 2 log 2 yxx 的单调递增区间是 答 1 2 8 8 函数图象的几种常见变换 平移变换 左右平移 左加右减 注意是针对x而言 上下平移 上加下减 注意是针对 f x 而言 翻折变换 f xf x f xfx 对称变换 证明函数图像的对称性 即证图像上任意点关于对称中心 轴 的对称点仍在图像上 证明图像 1 C 与 2 C 的对称性 即证 1 C 上任意点关于对称中心 轴 的对称点仍在 2 C 上 反之亦然 函数 yf x 与 yfx 的图像关于直线 0 x y 轴 对称 函数 yf x 与函数 yfx 的图像关于直线 0y x轴 对称 若函数 yf x 对x R 时 f axf ax 或 2 f xfax 恒成立 则 yf x 图像关 于直线x a 对称 若 yf x 对x R 时 f axf bx 恒成立 则 yf x 图像关于直线 2 ab x 对称 函数 yf ax yf bx 的图像关于直线 2 ba x 对称 由a xbx 确定 函数 yf xa 与 yf bx 的图像关于直线 2 ab x 对称 函数 yf x yAf x 的图像关于直线 2 A y 对称 由 2 f xAf x y 确定 函数 yf x 与 yfx 的图像关于原点成中心对称 函数 yf x ynf mx 的图像关于点 22 m n 对称 函数 yf x 与函数 1 yfx 的图像关于直线 yx 对称 曲线 1 C 0f x y 关于 yxa yxa 的对称曲线 2 C 的方程为 0f ya xa 或 0fyaxa 曲线 1 C 0f x y 关于点 a b 的对称曲线 2 C 方程为 2 2 0faxby 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555654 9 9 函数的周期性 若 yf x 对x R 时 f xaf xa 恒成立 则 f x 的 周 期 为2 a 若 yf x 是偶函数 其图像又关于直线x a 对称 则 f x 的周期为2 a 若 yf x 奇函数 其图像又关于直线x a 对称 则 f x 的周期为 4 a 若 yf x 关于点 0 a 0 b 对称 则 f x 的周期为 2 ab yf x 的图象关于直线x a xb ab 对称 则函数 yf x 的周期为 2 ab yf x 对x R 时 f xaf x 或 1 f x f xa 则 yf x 的周期为 2 a 10 10 对数 loglog n n a a bb 0 1 0 aabnR 对数恒等式 log 0 1 0 aN aN aaN log loglog logloglog loglog n aaaaaaaa M N M NMNMNMnM 1 loglog n aa M n M 对数换底公式 log log log b b a N a N 0 1 0 1 aabb 推论 1211 23 logloglog1loglogloglog n abcaaanan bcaaaaa 以上 12 0 0 0 1 0 1 0 1 0 n MNaabbcca aa 且 12 n a aa 均不等于1 11 11 方程 kf x 有解 kD D为 f x 的值域 af x 恒成立 af x 最大值 af x 恒成立 af x 最小值 12 12 恒成立问题的处理方法恒成立问题的处理方法 分离参数法分离参数法 最值法最值法 转化为一元二次方程根的分布问题转化为一元二次方程根的分布问题 13 13 处理二次函数的问题勿忘数形结合处理二次函数的问题勿忘数形结合 二次函数在闭区间上必有最值二次函数在闭区间上必有最值 求最值问题用求最值问题用 两看法两看法 一看开口方向一看开口方向 二看对称轴与所给区间的相对位置关系二看对称轴与所给区间的相对位置关系 14 14 二次函数解析式的三种形式 一般式 2 0 f xaxbxc a 顶点式 2 0 f xa xhk a 零点式 12 0 f xa xxxxa 15 15 一元二次方程实根分布 先画图再研究 0 轴与区间关系 区间端点函数值符号 16 16 复合函数 复合函数定义域求法 若 f x 的定义域为 a b 其复合函数 f g x 的定义域可由 不等式 ag x b 解出 若 f g x 的定义域为 a b 求 f x 的定义域 相当于 xa b 时 求 g x 的值域 复合函数的单调性由 同增异减 判定 17 17 对于反函数 应掌握以下一些结论 定义域上的单调函数必有反函数 奇函数的反函数 也是奇函数 定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数 周期函数不存在反函数 互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性 yf x 与 1 yfx 互为 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555655 反函数 设 f x 的定义域为A 值域为B 则有 1 f fxx xB 1 ff xx xA 18 18 依据单调性依据单调性 利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题 0f ug x uh x 或或 0 aub 0 0 f a f b 或或 0 0 f a f b 19 19 函数 0 axb cxd ycadbc 的图像是双曲线 两渐近线分别直线 d c x 由分母为零确定 和 直线 a c y 由分子 分母中x的系数确定 对称中心是点 da cc 反函数为 bdx cxa y 20 20 函数 0 0 b x yaxab 增区间为 bb aa 减区间为 0 0 bb aa 如 已知函数 1 2 ax x f x 在区间 2 上为增函数 则实数a的取值范围是 答 1 2 三三 数列数列 1 1 由 n S 求 n a 1 1 1 2 n nn S n a SSnnN 注意验证 1 a 是否包含在后面 n a 的公式中 若不符合要 单独列出 如 数列 n a 满足 111 5 3 4 nnn aSSa 求 n a 答 1 4 1 3 4 2 n n n a n 2 2 等差数列 1 nnn aaad d为常数 11 2 2 nnn aaannN 2 11 22 nn dd aanb ad badSAnBn ABa 3 3 等差数列的性质等差数列的性质 nm aanm d mn aa mn d mnlk mnlkaaaa 反之不一定成立反之不一定成立 特别地特别地 当当 2mnp 时时 有有 2 mnp aaa 若 n a n b 是等差数列 则 nn katb k t是非零常数 是等差数列 等差数列的 间隔相等的连续等长片断和序列 即 232 mmmmm SSSSS 仍是等差数列 等差数列 n a 当项数为2n时 SSnd 偶奇 1 n n Sa Sa 奇 偶 项数为2 1n 时 n SSaa nN 偶中奇 21 21 nn Sna 且 1 Sn Sn 奇 偶 21 nn nn Aa Bb f nfn 首项为正 或为负 的递减 或递增 的等差数列前n项和的最大 或最小 问题 转化为解不等式 1 0 0 n n a a 或 1 0 0 n n a a 也可用 2 n SAnBn 的二次函数关系来分析 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555656 若 nm am an mn 则 0 m n a 若 nm Sm Sn mn 则 m n Smn 若 mn SSmn 则Sm n 0 S3m 3 S2m Sm m nmn SSSmnd 4 4 等比数列 1 21 111 0 2 n n n nnnnn a a aq qaaannNaa q 5 5 等比数列的性质 n m nm aa q n n m m a q a 若 n a n b 是等比数列 则 n ka nn a b 等也是等比数列 1111 11 1 1111 1 1 1 1 n n nnqq aaaaa qqqq naqna q S qqq mnlk mnlka aa a 反之不一定成反之不一定成 立立 mn m nmnnm SSq SSq S 等比数列中等比数列中 232 mmmmm SSSSS 注 注 各项均不为各项均不为0 0 仍是等比数列 等比数列 n a 当项数为2n时 S S q 偶 奇 项数为2 1n 时 1 Sa S q 奇 偶 6 6 如果数列 n a 是等差数列 则数列 n a A n a A 总有意义 是等比数列 如果数列 n a 是等比数列 则数列 log 0 1 an aaa 是等差数列 若 n a 既是等差数列又是等比数列 则 n a 是非零常数数列 如果两个等差数列有公共项 那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列 且新数列的公差 是原两个等差数列公差的最小公倍数 如果一个等差数列和一个等比数列有公共项 那么由他们的 公共项顺次组成的数列是等比数列 由特殊到一般的方法探求其通项 三个数成等差的设法 ad a ad 四个数成等差的设法 3 3ad ad ad ad 三个数成等比的设法 a q a aq 四个数成等比的错误设法 3 3 aa qq aq aq 为什么 7 7 数列的通项的求法数列的通项的求法 公式法公式法 等差数列通项公式等差数列通项公式 等比数列通项公式等比数列通项公式 已知已知 n S 即即 12 n aaaf n 求求 n a 用作差法用作差法 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 已知已知 12 n aaaf n 求求 n a 用作商法用作商法 1 1 1 2 n f n f n fn a n 若若 1 nn aaf n 求求 n a 用迭加法用迭加法 已知已知 1 n n a a f n 求求 n a 用迭乘法用迭乘法 已知数列递推式求已知数列递推式求 n a 用构造法用构造法 构造等差构造等差 等比数列等比数列 形如形如 1nn akab 1 n nn akab 1nn akaa nb k b为常数 为常数 的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后的等比数列后 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555657 再求再求 n a 形如形如 1 1 n n n a kab a 的递推数列都可以用的递推数列都可以用 取倒数法取倒数法 求通项求通项 8 数列求和的方法 公式法 等差数列 等比数列求和公式 分组求和法 倒序相加 错位 相减 分裂通项法 公式 1 2 123 1 nn n 2222 1 6 123 1 21 nn nn 33332 1 2 123 n n n 2 1 35nn 常见裂项公式 111 1 1n nnn 11 11 n nkknnk 1111 1 1 2 1 1 2 n nnn nnn 11 1 1 n nnn 常见放缩公式 212 11 11 2 2 nnnn nnnnn 9 9 分期付款 森林木材 型应用问题 这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题 但在求解过程中 务必 卡手指 细心计算 年限 对于 森林木材 既增长又砍伐的问题 则常选用常选用 统一法统一法 统一到统一到 最后最后 解决解决 利率问题 单利问题 如零存整取储蓄 单利 本利和计算模型 若每期存入本金 p 元 每期利 率为r 则n期后本利和为 1 2 1 12 1 n n n Sprprpnrp nr 等差数列问 题 复利问题 按揭贷款的分期等额还款 复利 模型 若贷款 向银行借款 p 元 采用分期等 额还款方式 从借款日算起 一期 如一年 后为第一次还款日 如此下去 分n期还清 如果每期利 率为r 按复利 那么每期等额还款x元应满足 12 1 1 1 1 nnn prxrxrxrx 等比数列问题 四四 三角函数三角函数 1 1 终边与 终边相同 2 kkZ 终边与 终边共线 kkZ 终边 与 终边关于x轴对称 kkZ 终边与 终边关于 y 轴对称 2 kkZ 终边与 终边关于原点对称 2 kkZ 终边与 终边关于角 终边对称 22 kkZ 2 2 弧长公式 lr 扇形面积公式 2 11 22 Slrr 扇形 1弧度 1rad 57 3 3 3 三角函数符号 正号 规律记忆口诀 一全二正弦一全二正弦 三切四余弦三切四余弦 注意 3tan15cot752 3tan75cot152 1 2 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555658 2 0 0 1 1 1 sincos 1 2 2 0 0 1 1 1 sincos 4 4 三角函数同角关系中 八块图 注意 正 余弦三兄妹 sincosxx sin cosxx 的关系 如 2 sincos 12sin cosxxxx 等 5 5 对于诱导公式 可用 奇变偶不变 符号看象限 概括 注意 公式中始终视 为锐角 6 6 角的变换 已知角与特殊角 已知角与目标角 已知角 与其倍角或半角 两角与其和差角等变换 如 2 2 2 2 222 等 1 的变换 22 1sincostancot2sin30tan45xxxx 7 7 重要结论 22 sincossin abaxbxx 其中其中 tan b a 重要公式重要公式 2 2cos1 sin2 2 cos 1cos2 2 1cossin1cos 21cos1cossin tan 2 1sin 2222 cossin cossin 万能公式 2 2tan 1tan sin2 2 2 1tan 1tan cos2 2 2tan 1tan tan2 8 8 正弦型曲线 sin yAx 的对称轴 2 k xkZ 对称中心 0 k kZ 余弦型曲线 cos yAx 的对称轴 k xkZ 对称中心 2 0 k kZ 9 9 熟知正弦熟知正弦 余弦余弦 正切的和正切的和 差差 倍公式倍公式 正正 余弦定理余弦定理 处理三角形内的三角函数问题勿忘三处理三角形内的三角函数问题勿忘三 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 8706555659 内角和等于内角和等于180 一般用正一般用正 余弦定理实施边角互化余弦定理实施边角互化 正弦定理正弦定理 sin sinsin 2 abc ABC R 余弦定理余弦定理 22222 222 22 2cos cos1 bcabca bcbc abcbcAA 正弦平方差公式 22 sinsinsin sin ABABAB 三角形的内切圆半径 2 ABC S abc r 面积公式 1 24 sin abc R SabC 射影定理 coscosabCcB 10 10 ABC 中 易得 A BC sin sin ABC cos cos ABC tantan ABC 22 sincos ABC 22 cossin ABC 22 tancot ABC sinsinabABAB 锐角 ABC 中 2 AB sin cos coscosABAB 222 abc 类比得钝角 ABC 结论 tan tantantantantanABCABC 11 11 角的范围角的范围 异面直线所成角异面直线所成角 2 0 直线与平面所成角直线与平面所成角 2 0 二面角和两向量的夹角二面角和两向量的夹角 0 直线直线 的倾斜角的倾斜角 0 1 l 到到 2 l 的角的角 0 1 l 与与 2 l 的夹角的夹角 2 0 注意术语注意术语 坡度坡度 仰角仰角 俯角俯角 方位角等方位角等 五五 平面向量平面向量 1 1 设设 11 ax y 22 bxy 1 1 1221 0abx yx y 2 2 1212 00aba bx xy y 2 2 平面向量基本定理 如果 1 e 和 2 e 是同一平面内的两个不共线的向量 那么对该平面内的任一向 量a 有且只有一对实数 1 2 使 1 122 aee 3 3 设设 11 ax y 22 bxy 则则 1212 cosa ba bx xy y 其几何意义是其几何意义是a b 等于等于a 的长度的长度 与与b 在在a 的方向上的投影的乘积的方向上的投影的乘积 a 在在b 的方向上的投影的方向上的投影 1212 22 22 cos x xy ya b a b xy 4 4 三点三点A B C共线共线 AB 与与AC 共线共线 与与AB 共线的单位向量共线的单位向量 AB AB 5 5 平面向量数量积性质平面向量数量积性质 设设 11 ax y 22 bxy 则则 1212 2222 1122 cos x xy ya b a b xyxy 注意注意 a b 为锐角为锐角 0a b a b 不同向不同向 a b 为直角为直角 0a b a b 为钝角为钝角 0a b a b 不反向不反向 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 87065556510 6 6 a b 同向或有 0 abababab a b 反向或有0 abababab a b 不共线 ababab 7 7 平面向量数量积的坐标表示 若 11 ax y 22 bxy 则 1212 a bx xy y 22 1212 ABxxyy 若 ax y 则 2 22 aa axy 8 8 熟记平移公式和定比分点公式 当点P在线段 21P P 上时 0 当点P在线段 21P P 或 12P P 延长线上时 1 或 10 分点坐标公式 若 12 PPPP 且 111 P x y P x y 222 P xy 则 12 12 1 1 1 xx yy x y 中点坐标公式 12 12 2 2 1 xx yy x y 1 P P 2 P 三点共线 存在实数 使得 12 OPOPOP 且 1 9 9 三角形中向量性质 AB AC 过BC边的中点 ABACABAC ABACABAC 1 3 0PGPAPBPCGAGBGCG 为 ABC 的重心 PA PB PB PCPA PCP 为 ABC 的垂心 0BC PACA PBAB PCP 为 ABC 的内心 0 ABAC ABAC 所在直线过 ABC 内心 设 1122 A x yB xy 1 2 AOBABBA Sx yx y 222 1 2 1 sin 2 ABC SABACAABACAB AC O为 ABC 内一点 则 0 BOCAOCAOB SOASOBSOC 10 ah k P x yP x y 按平移 有 xxh yyk PP a ah k yf xykf xh 按平移 六六 不等式不等式 1 1 掌握课本上的几个不等式性质 注意使用条件 另外需要特别注意 若 0ab b a 则 11 ab 即不等式两边同号时 不等式两边取倒数 不等号方向要改变 如果对不等式两边同时乘以一个代数式 要注意它的正负号 如果正负号未定 要注意分类讨论 2 2 掌握几类不等式 一元一次 二次 绝对值不等式 简单的指数 对数不等式 的解法 尤其注意 用分类讨论的思想解含参数的不等式 勿忘数轴标根法 零点分区间法 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 87065556511 3 3 掌握重要不等式掌握重要不等式 1 1 均值不等式均值不等式 若若 0 ba 则则 22 2 2211 abab ab ab 当且仅当当且仅当 ba 时时 取等号取等号 使用条件使用条件 一正二定三相等一正二定三相等 常用的方法为常用的方法为 拆拆 凑凑 平方等平方等 2 2 a b cR 222 abcabbcca 当且仅当当且仅当a bc 时时 取等号取等号 3 3 公式注意变形如公式注意变形如 22 2 22 abab 2 2 ab ab 4 4 若若 0 0abm 则则 bbm aam 真分数的性质真分数的性质 4 4 含绝对值不等式 a b 同号或有0 abababab a b异号或有0 abababab 5 5 证明不等式常用方法 比较法 作差比较 0ABAB 注意 若两个正数作差比较有困 难 可以通过它们的平方差来比较大小 综合法 由因导果 分析法 执果索因 基本步骤 要证 需证 只需证 反证法 正难则反 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的 放缩法的方法有 添加或舍去一些项 如 2 1 aa 1 n nn 将分子或分母放大 或缩小 利用基本不等式 如 1 1 2 nn n n 利用常用结论 0 1 11 1 21 kk kkk 0 2 2 1111111 1 1 1 1kkkkkkkkk 程度大 0 3 22 11111 1211 kkkk 程度小 换元法 换元的目的就是减少不等式中变量 以使问题化难为易 化繁为简 常用的换元有三角换元 代数换元 如 知 222 xya 可设 cos sinxaya 知 22 1xy 可设 cosxr sinyr 0 1r 知 22 22 1 xy ab 可设 cos sinxayb 已知 22 22 1 xy ab 可设 sec tanxayb O k 最值法 如 af x 最大值 则 af x 恒成立 af x 最小值 则 af x 恒成立 七七 直线和圆的方程直线和圆的方程 1 1 直线的倾斜角 的范围是 0 2 2 直线的倾斜角与斜率的变化关系 2 tan k 如右图 3 3 直线方程五种形式直线方程五种形式 点斜式点斜式 已知直线过点 00 xy 斜率为k 则直线 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 87065556512 方程为 00 yyk xx 它不包括垂直于x轴的直线 斜截式斜截式 已知直线在 y 轴上的截距为b 和斜率k 则直线方程为 ykxb 它不包括垂直于x轴的直线 两点式两点式 已知直线经过 111 P x y 222 P xy 两点 则直线方程为 11 2121 yyxx yyxx 它不包括垂直于坐标轴的直线 截距式截距式 已知直线在x轴和 y 轴上的截距为 a b 则直线方程为 1 xy ab 它不包括垂直于坐标 轴的直线和过原点的直线 一般式一般式 任何直线均可写成 0AxByC A B不同时为0 的形式 提醒提醒 直线方程的各种形式都有局限性 如点斜式不适用于斜率不存在的直线 还有截距式呢 直线在坐标轴上的截距可正 可负 也可为0 直线两截距相等 直线的斜率为 1 或直线过 原点 直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点 直线两截距绝对值相等 直线的斜率为 1 或直线过原点 截距不是距离 截距相等时不要忘了过原点的特殊情形 4 4 直线直线 1111 0lA xB yC 与直线与直线 2222 0lA xB yC 的位置关系的位置关系 平行平行 1221 0ABA B 斜率斜率 且且 1221 0BCB C 在在 y 轴上截距轴上截距 相交相交 1221 0ABA B 3 3 重合重合 1221 0ABA B 且且 1221 0BCB C 5 5 直线系方程 过两直线 1 l 111 0A xB yC 2 l 222 0A xB yC 交点的直线系方程可设 为 111222 0A xB yCA xB yC 与直线 0l AxByC 平行的直线系方程可设为 0 AxBymmc 与直线 0l AxByC 垂直的直线系方程可设为 0BxAyn 6 6 到角和夹角公式到角和夹角公式 1 l 到 2 l 的角是指直线 1 l 绕着交点按逆时针方向转到和直线 2 l 重合所转的角 0 且 21 1 2 12 1 tan 1 kk k k k k 1 l 与 2 l 的夹角是指不大于直角的角 2 0 且 21 1 2 12 1 tan 1 kk k k k k 7 7 点 00 P xy 到直线 0AxByC 的距离公式 00 22 AxByC d AB 两条平行线 1 0AxByC 与 2 0AxByC 的距离是 12 22 CC d AB 8 8 设三角形 ABC 三顶点 11 A x y 22 B xy 33 C x y 则重心 123123 33 xxxyyy G 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 87065556513 9 9 有关对称的一些结论 点 a b 关于x轴 y 轴 原点 直线 yx 的对称点分别是 ab a b ab b a 曲线 0f x y 关于下列点和直线对称的曲线方程为 点 a b 2 2 0faxby x轴 0f xy y 轴 0fx y 原点 0fxy 直线 yx 0f y x 直线 yx 0fyx 直线x a 2 0fax y 10 10 圆的标准方程 222 xaybr 圆的一般方程 2222 0 40 xyDxEyFDEF 特别提醒特别提醒 只有当 22 40DEF 时 方程 22 0 xyDxEyF 才表示圆心为 22 DE 半径为 22 1 4 2 DEF 的圆 二元二次方程 22 0AxBxyCyDxEyF 表示圆 0AC 且 22 0 40BDEAF 圆的参数方程 cos sin xar ybr 为参数 其中圆心为 a b 半径为r 圆的参数方程主要应用是 三角换元 222 cos sinxyrxryr 222 cos sin 0 xytxryrrt 以 11 A x y 22 B xy 为直径的圆的方程 1212 0 xxxxyyyy 11 11 点和圆的位置关系的判断通常用几何法 计算圆心到直线距离 点 00 P xy 及圆的方程 222 xaybr 222 00 xaybr 点P在圆外 222 00 xaybr 点P在圆内 222 00 xaybr 点P在圆上 12 12 圆上一点的切线方程 点 00 P xy 在圆 222 xyr 上 则过点P的切线方程为 2 00 x xy yr 过圆 222 xaybr 上一点 00 P xy 切线方程为 2 00 xa xayb ybr 13 13 过圆外一点作圆的切线过圆外一点作圆的切线 一定有两条一定有两条 如果只求出了一条如果只求出了一条 那么另外一条就是与那么另外一条就是与x轴垂直的直线轴垂直的直线 14 14 直线与圆的位置关系 通常转化为圆心距与半径的关系 或者利用垂径定理 构造直角三角形解 决弦长问题 d r 相离 d r 相切 d r 相交 15 15 圆与圆的位置关系 经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系 设两圆的圆心距为d 两圆的半径分别为 r R d Rr 两圆相离 dRr 两圆相外切 RrdRr 两 圆相交 dRr 两圆相内切 dRr 两圆内含 0d 两圆同心 16 16 过圆 1 C 22 111 0 xyD xE yF 2 C 22 222 0 xyD xE yF 交点的圆 相交弦 系方程 为 2222 111222 0 xyD xE yFxyD xE yF 1 时为两圆相交弦所在直线方程 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 87065556514 17 17 解决直线与圆的关系问题时解决直线与圆的关系问题时 要充分发挥圆的平面几何性质的作用要充分发挥圆的平面几何性质的作用 如半径如半径 半弦长半弦长 弦心距构成弦心距构成 直角三角形直角三角形 切线长定理切线长定理 割线定理割线定理 弦切角定理等等弦切角定理等等 18 18 求解线性规划问题的步骤是求解线性规划问题的步骤是 1 1 根据实际问题的约束条件列出不等式根据实际问题的约束条件列出不等式 2 2 作出可行域作出可行域 写出目标写出目标 函数函数 判断几何意义判断几何意义 3 3 确定目标函数的最优位置确定目标函数的最优位置 从而获得最优解从而获得最优解 八八 圆锥曲线方程圆锥曲线方程 1 1 椭圆焦半径公式 设 00 P xy 为椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上任一点 焦点为 1 0 Fc 2 0 F c 则 1020 PFaexPFaex 左加右减左加右减 2 2 双曲线焦半径 设 00 P xy 为双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 上任一点 焦点为 1 0 Fc 2 0 F c 则 当P点在右支上时 1020 PFaexPFaex 当P点在左支上时 10 PFaex 20 PFaex e为离心率 另 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的渐近线方程为 22 22 0 xy ab 3 3 抛物线焦半径公式 设 00 P xy 为抛物线 2 2 0 ypx p 上任意一点 F为焦点 则 0 2 p PFx 2 2 0 ypx p 上任意一点 F为焦点 则 0 2 p PFx 4 4 共渐近线 b a yx 的双曲线标准方程为 22 22 xy ab 为参数 0 5 5 两个常见的曲线系方程 过曲线 1 0f x y 2 0fx y 的交点的曲线系方程是 12 0f x yf x y 为参数 共焦点的有心圆锥曲线系方程 22 22 1 xy akbk 其中 22 max ka b 当 22 min ka b 时 表示椭圆 当 2222 min max a bka b 时 表示双曲线 6 6 直线与圆锥曲线相交的弦长公式直线与圆锥曲线相交的弦长公式 22 1212 ABxxyy 或或 2 12 1 ABkxx 22 12112 22 1 1 4 1 kxxx xyy k 弦端点弦端点 1122 A x yB xy 由方程由方程 0 ykxcb F x y 消去消去 y 得到得到 0 2 cbxax 0 k为斜率为斜率 这里体现了解几中这里体现了解几中 设而不求设而不求 的思想的思想 7 7 椭圆 双曲线的通径 最短弦 为 2 2b a 焦准距为 2 b c p 抛物线的通径为2p 焦准距为 p 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的焦点到渐近线的距离为b 8 8 中心在原点 坐标轴为对称轴的椭圆 双曲线方程可设为 22 1AxBy 对于椭圆 0 0AB 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 87065556515 9 9 抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点弦 过焦点的弦 为AB 11 A x y 22 B xy 则有如下结论 12 ABxxp 2 12 4 p x x 2 12 y yp 112 pAFBF 10 10 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 左焦点弦 12 2 ABae xx 右焦点弦 12 2 ABae xx 11 11 对于 2 2 0 ypx p 抛物线上的点的坐标可设为 2 0 0 2 y y p 以简化计算 12 12 圆锥曲线中点弦问题圆锥曲线中点弦问题 遇到中点弦问题常用 韦达定理韦达定理 或或 点差法点差法 求解 在椭圆 22 22 1 xy ab 中 以 00 P xy 为中点的弦所在直线斜率 2 0 2 0 b x k a y 在双曲线 22 22 1 xy ab 中 以 00 P xy 为中点的弦所 在直线斜率 2 0 2 0 b x k a y 在抛物线 2 2 0 ypx p 中 以 00 P xy 为中点的弦所在直线的斜率 0 p y k 13 13 求轨迹方程的常用方法 直接法 直接通过建立x y 之间的关系 构成 0F x y 是求轨迹的最基本的方法 待定系数法 可先根据条件设所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 代回所列的方程即可 代入法 相关点法或转移法 定义法 如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义 则可由曲线的定义直接写出方程 交轨法 参数法 当动点 P x y 坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点可用时 可考虑 将x y 均用一中间变量 参数 表示 得参数方程 再消去参数得普通方程 14 14 解析几何与向量综合的有关结论解析几何与向量综合的有关结论 给出直线的方向向量 1 uk 或 um n 等于已知直线的斜率k或 n m 给出 OBOA 与AB相交 等于已知 OBOA 过AB的中点 给出 0 PNPM 等于已知P是MN的中点 给出 APAQBPBQ 等于已知 QP 与AB的中点三点共线 给出以下情形之一 ACAB 存在实数 使AB AC 若存在实数 且 1 使OC OAOB 等于已知 CBA 三点共线 给出 1 OAOB OP 等于已知P是AB的定比分点 为定比 即 PBAP 给出 0 MBMA 等于已知 MBMA 即 AMB 是直角 给出 0 mMBMA 等于已 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 87065556516 知 AMB 是钝角或反向共线 给出 0 mMBMA 等于已知 AMB 是锐角或同向共线 给出 MAMB MAMB MP 等于已知MP是 AMB 的平分线 在平行四边形ABCD中 给出 0 ADABADAB 等于已知ABCD是菱形 在平行四边形ABCD中 给出 ABADABAD 等于已知ABCD是矩形 在 ABC 中 给出 222 OCOBOA 等于已知O是 ABC 的外心 三角形的外心是外接圆 的圆心 是三角形三边垂直平分线的交点 在 ABC 中 给出 0 OCOBOA 等于已知O是 ABC 的重心 三角形的重心是三角形 三条中线的交点 在 ABC 中 给出 OAOCOCOBOBOA 等于已知O是 ABC 的垂心 三角形的垂心 是三角形三条高的交点 在 ABC 中 给出 OAOP ABAC ABAC R 等于已知AP通过 ABC 的内心 在 ABC 中 给出 0 OCcOBbOAa 等于已知O是 ABC 的内心 三角形内切圆 的圆心 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 在 ABC 中 给出 1 2 ADABAC 等于已知AD是 ABC 中BC边的中线 九九 直线直线 平面平面 简单几何体简单几何体 1 1 从一点O出发的三条射线OA OB OC 若 AOBAOC 则点A在平面BOC上的射影在 BOC 的平分线上 2 2 立平斜三角余弦公式 图略 AB和平面所成的角是 1 AC在平面内 AC和AB的射影 1 AB 成 2 设 3 BAC 则 123 coscoscos 3 3 异面直线所成角的求法 平移法 在异面直线中的一条直线中选择一特殊点 作另一条的平行线 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 平行六面体 长方体等 其目的在 于容易发现两条异面直线间的关系 4 4 直线与平面所成角 过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段 是产生线面角的关键 5 5 二面角的求法 定义法 三垂线法 垂面法 射影法 利用面积射影公式 cosSS 射斜 其中 为平面角的大小 此方法不必在图形中画出平面角 6 6 空间距离的求法 两异面直线间的距离 高考要求是给出公垂线 所以一般先利用垂直作出公垂 线 然后再进行计算 求点到直线的距离 一般用三垂线定理作出垂线再求解 求点到平面的距离 一是用垂面法 借助面面垂直的性质来作 因此 确定已知面的垂面是关键 厦门海金教育 您身边的私人教育辅导专家 选择海金 选择放心 电话 0592 6014996QQ 87065556517 二是不作出公垂线 转化为求三棱锥的高 利用等体积法列方程求解 7 7 用向量方法求空间角和距离用向量方法求空间角和距离 求异面直线所成的角求异面直线所成的角 设a b 分别为异面直线a b的方向向量 则两异面直线所成的角 arccos a b ab 求线面角求线面角 设l 是斜线l的方向向量 n 是平面 的 法向量 则斜线l与平面 所成的角 arcsin l n ln 求二面角求二面角 法一 在 内a l 在 内 bl 其方向如图 略 则二面角 l 的平面角 arccos a b ab 法二 设 1 n 2 n 是二面角 l 的两个半平面的法向量 其方向一个指向内侧 另一个指向外侧 则二面角 l 的平面 角 12 12 arccos nn nn 4 4 求点面距离求点面距离 设n 是平面 的法向量 在 内取一点B 则A到 的距离 cos AB n dAB n 即AB 在n 方向上投影的绝对值 8 8 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等 记为 则 cosSS 侧底 9 9 正四面体正四面体 设棱长为设棱长为a 的性质的性质 全面积 2 3Sa 体积 3 2 12 Va 对棱间的距离 2 2 da 相邻面所成二面角 1 3 arccos 外接球半径 6 4 Ra 内切球半径 6 12 ra 正四面体内任一点到各面距离之和为定值 6 3 ha 10 10 直角四面体的性质直角四面体的性质 直角四面体 三条侧棱两两垂直的四面体 在直角四面体O ABC 中 OA OB OC 两两垂直 令 OAa OBb OCc