导数的基本公式与运算法则.doc

壹方培训 全程个性化课外辅导2.2 导数的基本公式与运算法则利用定义 求函数 的导数是比较复杂的。自然希望有一些基本公式和运算法则来简化求导过程。（一） 常数的导数等于0. 故 .所以 （二） 幂函数的导数公式： 设 则 于是 . 因而 ，故有 .以后我们可以证明：对任意实数，都有 如 ，即 . 而 .（三） 若，都可导，则 证 当取自变量，则，分别取得相应的改变量 .于是 的改变量为 故 .此公式可以推广为 .例如，已知 ，则 .（四） 乘积的导数公式：.证 当取改变量，则,分别取改变量.而函数的改变量为（） 因而 .当 时，的值并不改变，又因为可导,所以连续，故有因此 故. 即 .当 时，则有 . 或写为 .如果计算 可以用如下步骤： 例如 求 的导数.解 （五）商的导数证 当给自变量一个改变量时,. 取得相应的改变量 .而函数 的改变量应为. 当 取极限时，因可导，连续，故有, 因此.即特别，当时，.而 .例如 已知 ，求 .解 (六) 对数的导数 .为证明此结论，先求. 因为即证明了 ，故有 这是因为 （七） 三角函数的导数（1）证 设，则 . 因而由的连续性，有.而 ，所以 即 类似可以证明(2) (3).故 .利用 可证明(4) 利用 ，可证明 例如 求 的导数。 （八） 复合函数的求导法则定理2.1 设函数 与 构成复合函数. 若 在点处有导数，且在对应点处有导数 ，则复合函数 在点处也有导数，且 或写为 .例如，把函数视为，的复合，则有.注意绝对不能简单地写为 （错！）.现在给出上述定理的证明。证 给以改变量.于是得到函数 的改变量（这里的可能是0）；同时，由又得到的改变量,其中.由定理条件， 对可导，得 再由极限的性质可知 ，其中. 当 时，上式化为（其中 ）。当时，显然 这时我们规定 即 ，于是不论是否为0，都有（其中 ）。以除上式两端，得 .令，因为可导，所以连续，于是有. 从而. 这样便得到 即，或 ，或 . （证毕）对于多层复合函数，有类似求导法则。例如，若对可导，对可导，对可导，对可导. 则 .例2.1 设，求.解 令 , 则 例2.2 设，求.解 令 ， 则 例2.3 求 解 令，则 200.10.31 1. 区别 2. 反函数的导数 3. 隐函数求导法则 4. 取对数求导法（是要点）例2.4 设 求.解 设,有两个中间变量，由复合函数求导法知 当我们比较熟练以后，中间变量可以不写出。例如， 例2.5 设 求.解 是一个分段函数： . 当时，当时， 是一个复合函数，令，因此 于是有 .请记住这个事实： 的导数与 的导数有相同的公式，都等于.例2.6 已知可导，求 和 解 首先要注意导数符号“”在不同的位置表示对不同变量求导，做题时应注意加以区分。表示对求导，而不是对 求导，但 则表示对求导，而不是对中间变量求导，所以 例2.7 设可导，试解下列各题(1) ，求 .解 .（2） 求. .（3） 求.解 （注意，其中(u )是指对中间变量u的导数，而不是对求导）(4) 求.解 .（九）反函数的导数设函数在点的某领域内连续，严格单调，在点处有不等于0的导数,则其反函数在相应点处可导，且 .证 当的反函数的自变量取得改变量时，因变量取得相应的改变量. 当时必有，(否则，若, 则有 ，但是一一对应 .故有，于是 此与矛盾，所以 因此，当 时 .又因为 在相应点连续，所以当 时，. 于是，当上式取极限，有.此表明当存在且，则其反函数的导数也存在，且 .换一个写法：若 ，则其反函数的导数 （当 ）.例2.8 证明导数公式证 令 它是函数 的反函数，由反函数的求导法则，有 =.例2.9 证明导数公式解 令 是的反函数，因此 例2.10 证明公式，其中 . 证 令 ，它是函数 的反函数，因此，由反函数的求导