高三一轮不等式部分.doc

高三一轮不等式一、不等式的解法1.一元二次不等式的解法需要充分理解三个二次之间的关系，记住技巧，二次项系数总可以化为正数，口诀是：“大于取两边，小于取中间。”2.含参数的一元二次不等式要注意分类讨论（1）基本的方法和步骤：要确定讨论对象以及所要讨论对象的全体的范围；确定分类便准，正确进行合理分类；对分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；进行总结归纳，综合得出结论。（2）讨论的一般顺序：讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式；当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；判断二次不等式两根的大小。3.不等式恒成立问题（1）根的分布（2）最值法（3）分离参数法4.典型例题例1.解不等式（1）x2+（1-a）x-a0；（2）ax2-（2a+1）x+20例2.已知f(x)=x2-2ax+2，当x-1，+)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围.例3.（2010安徽）设为实数，函数。 ()求的单调区间与极值；()求证：当且时，。（2011浙江）设函数，R（）若为的极值点，求实数；（）求实数的取值范围，使得对任意的（0,3，恒有4成立二、线性规划只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x0 , y0)，从的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，这种方法称为代点法概括为： “直线定界，特殊点定域”特别地，当时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域”1.转化为在y轴上的截距例1.在约束条件下，如何求目标函数的最大值？首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为 ，如图（1）所示其次，将目标函数变形为的形式，它表示一条直线，斜率为，且在轴上的截距为平移直线，当它经过两直线与的交点时，直线在轴上的截距最大，如图（2）所示因此，当时，目标函数取得最大值，即当甲、乙两种产品分别生产和时，可获得最大利润万元这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为 问题其中使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的 对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决说明：平移直线时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）例2.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元 【答案】C.【解析】设生产桶甲产品，桶乙产品，总利润为Z，则约束条件为，目标函数为，可行域为，当目标函数直线经过点M时有最大值，联立方程组得，代入目标函数得，故选C.例3.【2012高考真题山东理5】已知变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】做出不等式所表示的区域如图，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大为，当直线经过点时，直线截距最大，此时最小，由，解得，此时，所以的取值范围是，选A.2.转化为直线的斜率3.转化为亮点间的距离4.含参数的问题例4.【2012高考真题福建理9】若函数y=2x图像上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为A B.1 C. D.2【答案】 【解析】如图当直线经过函数的图像与直线的交点时，函数的图像仅有一个点在可行域内，有方程组得，所以，故选三、均值不等式均值定理：若a0 b0，（当且仅当a=b时，等号成立）1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；（积定和最小）当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值；（和定积最大）注意：在运用均值不等式求最值时，要注意使用条件，即一正，二定，三相等，而在寻找定值时，有时条件不够明显，常通过恰当的拆项，添项，变形等配凑的技巧，化隐为显，使问题快速解决，常见变形应用：以下不等式中的均是正实数1、2、3、4、请熟记以上公式，以后经常用到。1. 凑系数例1. 当时，求的最大值。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3. 分离例3. 求的值域。评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。4。整体代换例4. 已知x0,y0，且+=1，求x+y的最小值.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：+2,即1,6.x+y226=12.x+y的最小值是12.产生不同结果的原因是不等式等号成立的条件是=，不等式等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.5.换元例5. 求函数的最大值。评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。变式训练：1.若，则=_时,有最小值，最小值为_.2.（1）已知0x，求函数y=x(1-3x)的最大值;（2）求函数y=x+的值域.3.求函数y=的最小值.4.已知，求的最小值。5.已知x0，y0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值 例6：（2010福建）某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？变式：(2010年高考吉林卷)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)解析:搞清楚购地总费用和建筑总面积.例6：解析：年维修费用成等差数列,年维修费用加上其他费用是汽车的消费总费用.解:设使用年的年平均费用为万元 则使用年的维修总费用为 万元 依题得 当且仅当 即时取等号 时取得最小值3 万元. 答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小，最小值是3 万元.例6变式：解：设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为.每平方米的平均综合费用,y56048x56048(x)当x取最小值时，y有最小值x0，x230，当且仅当x，即x15时，上式等号成立所以当x15时，y有最小值2000元因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小7.解法一: 由a、bR+，由重要不等式得a+b2，则ab=a+b+32+3，即3， ab9 解法二: a、b为正数， ab=a+b+30，两边立方得 a3b334aba2b234，ab0，ab9 解法三: 原条件式变为ab-3=a+b， a、b均为正数，故式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab， a2+b22ab， a2b2-6ab+94ab，即a2b2-10ab+90，(ab-1)(ab-9)0，由式可知ab3， ab9 解法四: 把a、bR+看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0，则=(3-ab)2-4ab0，即 (ab)2-10ab+90， (ab-9)(ab-1)0，ab-1=a+b+20成立， ab9 解法五: 由已知得a(b-1)=b+3，显然a1， ，即ab9 2012高考题1.【2012高考真题重庆理2】不等式的解集为 A. B. C. D. 对 【答案】A【2012高考真题辽宁理8】设变量x，y满足则的最大值为(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55【答案】D11.【2012高考真题山东理13】若不等式的解集为，则实数_.【答案】【解析】由可得，所以，所以，故。12.【2012高考真题安徽理11】若满足约束条件：；则的取值范围为【答案】【命题