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计算结构力学第1章前言 1 第1章前言 1 1工程结构分析1 2有限元法概述1 3弹性力学的基本方程1 4最小势能原理与弹性结构近似解1 5加权残数法构1 6结构数值分析的工程应用和未来发展 计算结构力学第1章前言 2 有限元方法第1章前言 2 1 1工程结构分析structuralanalysis 目的和意义 从力学的观点 对工程结构进行分析计算 从而充分地了解结构的力学性态 定量化 保证结构能够完成预先的功能 并使得结构形式尽可能的合理 甚至最优 计算结构力学第1章前言 3 有限元方法第1章前言 3 结构分析 一组控制方程 比如 梁 板的方程 解析解答半解析 数值解 差分解 对微分方程进行离散 有限元法或边界元 对结构域进行离散 结构分析示意 计算结构力学第1章前言 4 解析法 问题的求解可以得到具体的数学表达式 可以计算任意位置的问题的精确解答 如悬臂梁求挠度等 数值法 得不到具体表达式 只能得到某些离散点处的近似值 该方法包括 有限差分 有限元法 边界元法 变分法等 本课程重点介绍有限元方法 计算结构力学第1章前言 5 有限元方法第1章前言 5 结构分析的内容 应力分布 位移分布结构的屈曲和稳定性结构动力学 频率与动力响应热变形与热应力应力集中疲劳与断裂结构优化分析流体与结构的相互作用 计算结构力学第1章前言 6 1 2有限元方法概述 有限元方法的实质Finiteelementmethod FEM 将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体 化无限自由度问题为有限自由度问题 将连续场函数的 偏 微分方程的求解问题转化成有限个参数的代数方程组的求解问题 计算结构力学第1章前言 7 左图所示 为分析齿轮上一个齿内的应力分布 可分析图中所示的一个平面截面内位移分布 作为近似解 可以先求出图中各三角形顶点的位移 这里的三角形就是单元 其顶点就是节点 从物理角度理解 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接 由单元组合而成的结构近似代替原连续结构 在一定的约束条件下 在给定的载荷作用下 就可以求出各节点的位移 进而求出应力 从数学角度理解 把这个求解区域剖分成许多三角形子域 子域内的位移可用相应各节点的待定位移合理插值来表示 例如 计算结构力学第1章前言 8 有限元法的基本步骤 1 结构的离散 将整个结构分为若干个小的单元 单元的形状 三角形 四边形等 2 确定单元节点力和节点位移的关系 单元位移和节点位移的关系 单元平衡方程 3 形成整体结构分析方程 4 引入边界条件 求解方程 5 进行后处理分析 计算结构力学第1章前言 9 有限元方法第1章前言 9 有限元方法实际上是一种数值方法 因此也离不开计算机的发展 此外作为一种数值方法 在数学表示上 采用矩阵的方式 计算结构力学第1章前言 10 10 静力与动力staticanddynamic线性与非线性linearandnonlinear确定性与概率与随机determineproblemandrandom 有限元方法进行求解 计算结构力学第1章前言 11 有限元分类基本未知量分类 位移法 力法 混合法位移法应用最广 最早是位移协调单元 后来逐步提出非协调元 拟协调元 广义协调元等 混合法有杂交元 此外分区混合元在断裂力学中得到了广泛应用 计算结构力学第1章前言 12 有限元方程的推导分类 直接法 只适用于简单问题 变分法 有限元有了坚实的数学基础 加权残数 直接从方程出发 对于不存在变分泛函的问题可也建立有限元方程 扩大了有限元的应用范围 计算结构力学第1章前言 13 有限元的发展历史1956年M J Turner R W Clough H C Martin L J Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法 将矩阵位移法推广到求解平面应力问题 他们把结构划分成一个个三角形和矩形的 单元 利用单元中近似位移函数 求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵 计算结构力学第1章前言 14 1954 1955年 J H Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文1960年 Clough在他的名为 Thefiniteelementinplanestressanalysis 的论文中首次提出了有限元 finiteelement 这一术语 计算结构力学第1章前言 15 在1963年前后 经过J F Besseling R J Melosh R E Jones R H Gallaher T H H Pian 卞学磺 等许多人的工作 认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形 发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式 1965年O C Zienkiewicz和Y K Cheung 张佑启 发现只要能写成变分形式的所有场问题 都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解 1969年B A Szabo和G C Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法 导出标准的有限元过程来求解非结构问题 计算结构力学第1章前言 16 我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献 其中比较著名的有 陈伯屏 结构矩阵方法 钱令希 余能原理 钱伟长 广义变分原理 胡海昌 广义变分原理 冯康 有限单元法理论 计算结构力学第1章前言 17 有限元法已经成功地应用在以下一些领域 固体力学 包括强度 稳定性 震动和瞬态问题的分析 传热学 电磁场 流体力学与声学 土木结构 船舶结构 海洋结构 汽车 航天与航空 医学等等 计算结构力学第1章前言 18 目前发展了很多商用程序 计算结构力学第1章前言 19 现代计算机的发展为FEM的发展提供了物质基础 计算规模越来越大 最大有上千万自由度计算 甚至还有在超级计算机上进行的并行计算 模型的输入 输出 即有限元的前后处理 实现了图形化 典型的有限元前后处理软件如 MSC PATRAN 计算结构力学第1章前言 20 结构 杆系 板壳 一般的固体在弹性范围内研究分析方法 材料力学 板壳力学 船舶结构力学 更一般的弹性力学 1 3弹性力学问题基本方程Basicgoverningequation 1 3 1弹性力学的基本变量 计算结构力学第1章前言 21 1 3 1一点的应力状态 计算结构力学第1章前言 22 有9个应力分量或 计算结构力学第1章前言 23 1 3 2平衡方程equilibriumequation 计算结构力学第1章前言 24 计算结构力学第1章前言 25 上述结果极易推广到三微微元体的平衡 计算结构力学第1章前言 26 由对原点的弯矩为领 导致 称之为剪应力互等定理 由此进一步得到 微元体独立的应力变量为6个 计算结构力学第1章前言 27 1 3 3几何方程Geometricalequation 计算结构力学第1章前言 28 图 a 计算结构力学第1章前言 29 图 b 计算结构力学第1章前言 30 最后叠加 并将其定义为应变其中 更一般的三微微元体 计算结构力学第1章前言 31 给出了位移 displacement 和应变 strain 的关系 称之为几何方程 注意它和结构是否为弹性体并不相关 计算结构力学第1章前言 32 32 弹性力学的基本变量 15个应力位移应变 计算结构力学第1章前言 33 1 3 4应力应变关系 剪切弹性模量Shearelasticmodulus 广义虎克定律Hooke sLaw 计算结构力学第1章前言 34 计算结构力学第1章前言 35 1 3 5边界条件 位移边界 计算结构力学第1章前言 36 力边界 力边界 计算结构力学第1章前言 37 或针对一般的三维问题 计算结构力学第1章前言 38 整个弹性力学三维问题归结上述15个微分方程的求解 并由此给出15个变量 适当的边界条件 位移边界 给定位移力边界 给定边界力解析解答 弹性力学课程 数值解答 其中之一就是有限元方法 1 3 6弹性力学边值问题的提法 计算结构力学第1章前言 39 1 4最小势能原理与弹性结构近似解Theprincipleforminimumpotentialenergyandritzmethod 计算结构力学第1章前言 40 意义 1 势能取极小值时 对应的是真实解 2 将解方程的问题转化为求极小值问题 3 通过尽可能使得势能极小 可以得到近似解 此即所谓的RITZ方法 计算结构力学第1章前言 41 最小势能原理的证明 计算结构力学第1章前言 42 注意到 计算结构力学第1章前言 43 上式右边第一个积分可以进一步写为 计算结构力学第1章前言 44 计算结构力学第1章前言 45 由于 必然有上述的平衡方程和力边界条件得以满足 所以 1 满足位移边界的势能极小等价于平衡方程和力边界条件 2 解微分方程的问题转化为极小问题 对于的极小 计算结构力学第1章前言 46 经典弹性力学的近似解 RITZ方法 计算结构力学第1章前言 47 举例1简支梁的计算一旦假定了位移的形式 则极小化问题变为对待定参数的极小化只是对所选定位移函数形式 导致的极小化 不是所有的满足位移边界条件的位移函数 因此是近似 整个位移函数是在整个结构区域选取的 计算结构力学第1章前言 48 部分满足位移边界的势能极小 必然不是满足全部位移边界位移势能极小 于是得到近似解 求弹性力学的微分方程组可以转化为求极值问题 所有满足位移边界的势能极小真实解不是极小近似解 计算结构力学第1章前言 49 特别说明 从解微分方程的角度讲 完全的求解 找到满足边界条件的全部位移 很困难但找到一组满足位移边界的位移还是可以的 于是得到近似解 计算结构力学第1章前言 50 讨论 计算结构力学第1章前言 51 位移的界限 计算结构力学第1章前言 52 1 5加权残数法 计算结构力学第1章前言 53 计算结构力学第1章前言 54 应满足位移边界条件 计算结构力学第1章前言 55 1 配点法 相当于简单地强迫在域内若干点微分方程的残差值为零 计算结构力学第1章前言 56 2 子域法 在若干个子域内权为单位1 之外为零 计算结构力学第1章前言 57 3 最小二乘 于是 权函数为 计算结构力学第1章前言 58 4 力矩法 计算结构力学第1章前言 59 5 伽辽金法 计算结构力学第1章前言 60 关于加权残数法的简单讨论 以后只针对最小势能原理介绍有限元 计算结构力学第1章前言 61 1 6结构数值分析的工程应用和未来发展 海洋平台 1 6 1各类工程问题的应用 计算结构力学第1章前言 62 卫星结构 计算结构力学第1章前言 63 CCD照相机 计算结构力学第1章前言 64 GlobalHullStructureanalysis TheglobalFEMmodelbasedPATRONPRO PROCESS SJTU 计算结构力学第1章前言 65 GlobalHullStructureanalysis Vibationanalysis SJTU 计算结构力学第1章前言 66 Soundpredictionbasednastranandsysnoise sjtu DynamicresponseisobtainedfromNASTRANandsoundfieldisgottenfromSYSNOISE 计算结构力学第1章前言 67 FatigueandLifePrediction Localmeshtestresult 计算结构力学第1章前言 68 Theresultsincludes Damageresidualdeformation FractureandtearingCollisionforcehistoryEnergyabsorption 计算结构力学第1章前言 69 69 UltimateStrength lll 1 PROGRESSIVEHULLCOLLAPSE BetweenTrans frames BetweenTrans bulkheads Undercombinedhullgirderactions 计算结构力学第1章前言 70 1 6 2有限元分析的优越性 1 对复杂几何构件的适应性 计算结构力学第1章前言 71 2 对各种复杂材料细观结构的分析 计算结构力学第1章前言 72 单元脱层过程的模拟 脱层断裂准则网格重划分技术 计算结构力学第1章前言 73 复杂复合材料的损伤模拟 计算结构力学第1章前言 74 解析单元嵌入有限元中 跨尺度计算或称多尺度计算 计算结构力学第1章前言 75 3 对于各种物理问题的可应用性 有限元法求解的是物理问题的控制方程 对结构的线弹性 弹塑性问题 粘弹塑性问题 动力问题 屈曲问题 热传导问题 电磁场 计算结构力学第1章前言 76 4 建立于严格理论基础的可靠性 计算结构力学第1章前言 77 5 适合计算机实现的高效性 单元 形函数等的规范化求解方程矩阵形式的规范化 有限元法 适合计算机程序的编制和执行 计算机软 硬件的飞速发展 计算结构力学第1章前言