第二章 单自由度系统.ppt

自由振动微分方程 单自由系统 无阻尼自由振动方程 方程解 固有圆频率 固有频率 例 求倒摆的振动微分方程和固有频率 mg Mg 系统运动方程 化简上式 得振动微分方程 固有频率 弹簧等效 并联 以静平衡位置为原点 列运动微分方程 单自由度有阻尼自由振动 固有圆频率 阻尼比 单自由度有阻尼自由振动 运动方程的解 常系数线性齐次微分方程通解 特征方程 解得其特征根为 单自由度有阻尼自由振动 解的讨论 单自由度有阻尼自由振动 共轭复根 单自由度有阻尼自由振动 单自由度有阻尼自由振动 对数衰减率 对数衰减率 单自由度有阻尼自由振动 利用对数衰减率求阻尼比 简谐激励下的强迫振动 振动微分方程F 激振力幅值 激振力频率通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 单自由度系统 简谐激励下的强迫振动 振动微分方程齐次方程通解A 振幅 阻尼比 有阻尼固有圆频率 相位角 简谐激励下的强迫振动 振动微分方程用复指数法求特解设激振力 简谐激励下的强迫振动 假定方程的特解为式中为复振幅 代入振动微分方程有从而得到式中X为振幅 是复振幅的模 即为相角 是复振幅的幅角 有 简谐激励下的强迫振动 因此 方程的特解方程的通解为由初始条件可以确定待定参数A和 简谐激励下的强迫振动 随着时间的增加 xh t 将趋于消失 所以将有式中 等效静位移频率比振幅放大因子 简谐激励下的强迫振动 等效静位移 简谐激励下的强迫振动 共振条件 旋转不平衡质量引起的强迫振动 系统的振动微分方程为即方程稳态响应可表示为 式中 单自由系统 系统的放大因子为 r 基础运动引起的强迫振动 系统的振动微分方程为即用复指数法求解 用Yej t代换Ysin t 并假定方程的解为代入上述方程得 单自由系统 基础运动引起的强迫振动 式中X为振幅 为响应与激励之间的相位差稳态响应为 虚部 位移放大因子 基础运动引起的强迫振动 X Y和以为参数 随r变化的曲线如下图所示 当和时 与无关 当时 但阻尼小位移响应反而大 报告内容 基本概念 隔振 吸振 减振 隔冲 应用举例 隔振 隔振 积极隔振 把振源与地基隔离开来以减少它对周围的影响而采取的隔振措施 消极隔振 为了减少外界振动对设备的影响而采取的隔振措施 积极隔振 经隔振装置传递到地基的力有两部分 弹簧传给地基的力阻尼传给地基的力和频率相同相位差传给地基的力的最大值 积极隔振 由于在作用下 系统稳态响应的振幅为则评价积极隔振效果的指标是力的传递系数 消极隔振 左图是消极隔振的理论模型图 与基础运动的理论模型相同 因此 隔振后系统稳态响应的振幅为评价消极隔振效果的指标为位移传递系数 位移传递系数和力传递系数的表达式是完全相同的 令 叫做传递系数 随和的变化曲线如下图 隔振 隔振 由图可得到两点结论 1 无论阻尼比为多少 只有在时才有隔振效果 2 对于某个给定的值 当阻尼比减小时 传递系数也减小 非简谐激励作用下的系统响应 各种非简谐激励 一 周期激励作用下的强迫振动 其中 n 1 2 t0可以任意选取 2 T为周期激励的基频 一 周期激励作用下的强迫振动 对于线性系统 应用叠加原理 各激励力共同作用所引起的系统稳态响应等于各激励力单独作用时引起的系统各稳态响应的和 于是 稳态响应为 1 由频率为与的两个简谐运动所组成的运动是周期为的非简谐周期运动 2 频率为 的运动响应为高次谐波 频率为的项为基波 一 周期激励作用下的强迫振动 总结与说明 二 任意激励作用下的振动响应 非简谐非周期任意激励举例 二 任意激励作用下的振动响应 系统在时刻突然受到冲击 脉冲冲量为 很短 过后 物体来不及发生位移 但获得了初速度 由冲量定理 有 冲击激励下振动系统的响应 解得 二 任意激励作用下的振动响应 有阻尼系统自由振动解 二 任意激励作用下的振动响应 有阻尼系统自由振动解 二 任意激励作用下的振动响应 任意激励下振动系统的响应 原理 把任意激励分解为许多脉冲 线性系统满足叠加原理 可积分得到系统对任意激振力的响应 自由衰减振动 Duhamel积分 二 任意激励作用下的振动响应 例 求 无阻尼系统对如左图激励的响应 解 F t