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第二章导数与微分 第二节函数的求导法则 学习要求 掌握函数的四则运算求导法则及复合运算求导法则能够熟练的应用函数的求导法则求给定函数的导数 并且求某个指定点的导数值 重点难点 导数的四则运算法则与复合运算法则能熟练的求出给定函数的导数 重点难点 函数的四则运算法则和复合运算法则 一 导数的四则运算法则 1 函数的和 差的求导法则 两个可导的函数和 差 可导 它们的和 差 导数等于这两个函数的导数的和 差 即 可以推广到有限个可导函数的代数和的情形 如 解 2 函数乘积的求导法则 两个可导的函数的积可导 乘积的导数等于这两个函数中每一个函数的导数分别乘于另一函数后的和 即 推论常数与可导函数的积的导数等于常数乘于该可导函数的导数 即 也就是说常数因子可以直接提到求导记号外面去 例2 解 解 解 3 函数商的求导法则 法则4两个可导的函数的商当除数函数 或分母 不为 时可导 它们商的导数等于被除函数 分子 的导数乘于除数 分母 减去被除函数 分子 乘于除数 分母 的导数后 再除于除数函数 分母 的平方 即 例5 解 同理可得 例6 解 同理可得 解 1 2 通常为了便于计算 把商的形式转化成和差或积的形式 再进行求导 即因变量对自变量求导 等于因变量对中间变量求导 乘以中间变量对自变量求导 链式法则 二 复合函数的导数 推广 例8 解 例9 解1 解2 解 解法 用链式法则 解法 逐层求导 通过以上例子 我们可以发现运用复合函数的求导法则的关键在于把复合函数分解成为若干个基本初等函数和常数的复合或者是它们的四则运算 然后运用法则和适当的导数公式进行计算 在计算函数的导数时 有时必须注意化简后求导 以及需要综合地运用导数的四则运算求导法则和复合函数的求导法则 例12 解 例13 解 三 基本求导法则和求导公式 1 常数和基本初等函数的导数公式 2 函数的和 差 积 商的求导法则 设都可导 则 3 复合函数的求导法则 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决 注意 初等函数的导数仍为初等函数 五 小结 注意 分段函数求导时 分界点导数用左右导数求 反函数的求导法则 注意成立条件 复合函数的求导法则 注意函数的复合过程 合理分解正确使用链导法 已能求导的函数 可分解成基本初等函数 或常数与基本初等函数的和 差 积 商 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出 关键 正确分解初等函数的复合结构 思考题一 求曲线上与轴平行的切线方程 思考题
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