高等数学3.5函数的极值与最大值最小值.pdf

一 函数极值的求法一 函数极值的求法 5 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值 二 函数最值的求法 三 应用实例 一 函数极值的定义 二 函数最值的求法 三 应用实例 一 函数极值的定义 定义定义 使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点 00 xUbaxbaxf 如果内有定义在设如果内有定义在设 00 xUxxfxf o 0 的一个极大值是函数就称的一个极大值是函数就称xfxf 00 xUxxfxf o 0 的一个极小值是函数就称的一个极小值是函数就称xfxf 极 值极 值 问题 给定函数找极值点有何特征问题 给定函数找极值点有何特征 ox y a b xfy 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 函数的极值函数的极值0 U x 设设 f x在有定义 在有定义 x 如果如果 0 U x 0 f x f x 0 f x f x 或 或 0 f x f x 是 的极大值 或极小值 是 的极大值 或极小值 0 x为极值点 费尔玛引理设 为极值点 费尔玛引理设 f x 0 U x在有定义 在在有定义 在 0 x 可导可导 0 f x 0 f x f x 0 f x f x 或或则则 0 x x U 如果有如果有 0 一 函数极值的求法一 函数极值的求法 定理1 必要条件 定义 定理1 必要条件 定义 0 的驻点做函数 叫的实根即方程使导数为零的点 的驻点做函数 叫的实根即方程使导数为零的点 xf xf 设设 f x 0 U x在有定义在在有定义在 0 x 可导可导 0 f x 0 f x f x 0 f x f x 或或则 费尔玛引理 则 费尔玛引理 0 x x U 如果有如果有 0 设设 f x在在0 x 有导数 且在有导数 且在 0 x处 取得极值 则 处 取得极值 则 0 f x 0 一 函数极值的求法一 函数极值的求法 设设 xf在点在点 0 x处具有导数 且 在 处具有导数 且 在 0 x处取得极值 那末必定处取得极值 那末必定0 0 xf 定理1 必要条件 定义 定理1 必要条件 定义 0 的驻点做函数 叫的实根即方程使导数为零的点 的驻点做函数 叫的实根即方程使导数为零的点 xf xf 注意注意 例如例如 3 xy 0 x y 极值点极值点 驻点驻点 可导可导 yx 不可导点不可导点 可能可能 不是极值点不是极值点0 x 但但 0 x 是极值点是极值点 也是不可导点也是不可导点 如何判断和驻点 是否是极值点 如何判断和驻点 是否是极值点 0 不可导点不可导点 定理2 第一充分条件 定理2 第一充分条件 x y ox y o 0 x 0 x 是极值点情形 是极值点情形 一 函数极值的求法一 函数极值的求法 00 xxx fx 00 xxx fx 如果有 而有 如果有 而有 xf 则则 0 x 在取得在取得 00 xxx fx 00 xxx fx 如果有 而有 如果有 而有 xf 则则 0 x 在取得 设 在取得 设 f x 0 o U x在在在在 0 x 连续 内可导连续 内可导 1 2 0 0 极大值极大值 极小值极小值 0 0 一 函数极值的求法一 函数极值的求法 x y ox y o 0 x 0 x 定理2 第一充分条件 定理2 第一充分条件 1 如果 1 如果 00 xxx 有有 0 xf而而 00 xxx 有 有0 xf 则 则 xf在在 0 x 处取得极大值 处取得极大值 2 如果 2 如果 00 xxx 有有 0 xf而而 00 xxx 有 有0 xf 则 则 xf在在 0 x处取得极小值 处取得极小值 内可导 处连续 在在设内可导 处连续 在在设 00 xUxxf o 00 xxx 00 xxx 3 及及 fx 符号相同符号相同 无极值无极值 xf则则 0 x 在 时 如果当 在 时 如果当 如果函数在所讨论的区间内连续 如果函数在所讨论的区间内连续 一 函数极值的求法一 函数极值的求法 求驻点求驻点 fx 及及 1 求导数求导数 2 不可导点不可导点 3 检查检查 fx 在驻点或不可导点左右 的正负号 判断极值点 在驻点或不可导点左右 的正负号 判断极值点 4 求极值 除个别点外 可采用下面 求极值 除个别点外 可采用下面求极值的步骤 求极值的步骤 处处可导 处处可导 例1例1 解解 593 23 的极值求出函数的极值求出函数 xxxxf fx 0fx 令令 12 1 3 xx 列表讨论列表讨论 x 1 3 3 1 1 3 x f xf 00 极大值极大值 极小值极小值 3 f极小值极小值 22 1 f 极大值极大值 10 3 1 3 xx 一 函数极值的求法一 函数极值的求法 2 369xx 得驻点得驻点 593 23 xxxxf M 图形如下图形如下 一 函数极值的求法一 函数极值的求法 3 f极小值极小值 22 1 f 极大值极大值 10 一 函数极值的求法一 函数极值的求法 定理2 第一充分条件 定理2 第一充分条件 3 如果当 3 如果当 00 xxx 及及 00 xxx时 时 xf 符号相同 则 符号相同 则 xf在在 0 x处无极值 处无极值 1 如果 1 如果 00 xxx 有有 0 xf而而 00 xxx 有 有0 xf 则 则 xf在在 0 x 处取得极大值 处取得极大值 2 如果 2 如果 00 xxx 有有 0 xf而而 00 xxx 有 有0 xf 则 则 xf在在 0 x处取得极小值 处取得极小值 注意 注意 内可导 处连续 在在设内可导 处连续 在在设 00 xUxxf o 函数的不可导点 也可能是函数的极值点 函数的不可导点 也可能是函数的极值点 yx 0 x 是极值点是极值点 也是不可导点也是不可导点 例2例2 解解 2 1 3 2 的极值求出函数 的极值求出函数 xxf fx 2 x 时 当时 当2 x fx 时 当时 当2 x fx 2 f f x但在但在 注意 注意 函数的不可导点 也可能是函数的极值点 函数的不可导点 也可能是函数的极值点 M 一 函数极值的求法一 函数极值的求法 1 3 2 2 2 3 xx 0 0 1 f x是是 不存在不存在 2x 连续连续 的极大值的极大值 fx 32 2f xxx 求其极值 求其极值 fx 3 3 2 31 3 x x 27 1 x 0 x 例3例3 为驻点为驻点 3 3 62 3 x x max min 设设 xf在点在点 0 x处具有导数 且 在 处具有导数 且 在 0 x处取得极值 那末必定处取得极值 那末必定0 0 xf 注意 注意 函数的不可导点 也可能是函数的极值点 函数的不可导点 也可能是函数的极值点 定理1 必要条件 定理1 必要条件 一 函数极值的求法一 函数极值的求法 0 为不可导点为不可导点 0 1 27 一 函数极值的求法一 函数极值的求法 定理3 第二充分条件 定理3 第二充分条件 极值点极值点 驻点驻点 可导可导 不可导点不可导点 可能可能 定理2 第一充分条件 定理3 第二充分条件 定理2 第一充分条件 定理3 第二充分条件 0 fx 0 fx 0 fx 0 fx xf 设设 0 x 在 具有 在 具有 1 当当 xf 0 x在在 2 当 取得极小值 当 取得极小值 那末 取得极大值 那末 取得极大值 xf 0 x在在 0 0 0 0 二阶导数二阶导数 设 设 xf在在 0 x处具有二阶导数 且 处具有二阶导数 且0 0 xf 0 0 xf 那末 1 当 那末 1 当0 0 xf时 函数时 函数 xf在在 0 x处取得极大值 2 当 处取得极大值 2 当0 0 xf时 函数时 函数 xf在在 0 x处取得极小值 处取得极小值 定理3 第二充分条件 定理3 第二充分条件 证证 1 0 0 0 同理可证 2 同理可证 2 由极限的局部保号性由极限的局部保号性 0 fx 0 fxfx 0 xx 0 fxfx 有 0 xx 0 fxfx 有 一 函数极值的求法一 函数极值的求法 0 0 0 lim xx fxfx xx 0 xx 与异号与异号 xf 0 x所以在 取得极大值 所以在取得极大值 例3例3 解解 20243 23 的极值求出函数的极值求出函数 xxxxf fx 0fx 令令 12 4 2 xx 2 4 3 xx fx 4 f 18 4 f 60 2 f18 2 f 48 20243 23 xxxxf 图形如下图形如下 设 设 xf在在 0 x处具有二阶导数 且 处具有二阶导数 且0 0 xf 0 0 xf 那末 1 当 那末 1 当0 0 xf时 函数时 函数 xf在在 0 x处取得极大值 2 当 处取得极大值 2 当0 0 xf时 函数时 函数 xf在在 0 x处取得极小值 处取得极小值 第二充分条件 第二充分条件 2 3624xx 66 x 0 0 得驻点 极大值 极小值 得驻点 极大值 极小值 M m 注意 注意 0 0fx 一 函数极值的求法一 函数极值的求法 20243 23 的极值求出函数的极值求出函数 xxxxf P158例例2 4 f 故极大值故极大值 60 2 f故极小值故极小值 48 xf 0 x在不一定取极值 仍用定理 在不一定取极值 仍用定理2 时时 设 设 xf在在 0 x处具有二阶导数 且 处具有二阶导数 且0 0 xf 0 0 xf 那末 1 当 那末 1 当0 0 xf时 函数时 函数 xf在在 0 x处取得极大值 2 当 处取得极大值 2 当0 0 xf时 函数时 函数 xf在在 0 x处取得极小值 处取得极小值 定理3 第二充分条件 定理3 第二充分条件 极值点极值点 驻点驻点 可导可导 不可导点不可导点 可能可能定理2 第一充分条件 定理3 第二充分条件 定理2 第一充分条件 定理3 第二充分条件 定理2 第一充分条件 定理2 第一充分条件 3 如果当 3 如果当 00 xxx 及及 00 xxx时 时 xf 符号相同 则 符号相同 则 xf在在 0 x处无极值 处无极值 1 如果 1 如果 00 xxx 有有 0 xf而而 00 xxx 有 有0 xf 则 则 xf在在 0 x 处取得极大值 处取得极大值 2 如果 2 如果 00 xxx 有有 0 xf而而 00 xxx 有 有0 xf 则 则 xf在在 0 x处取得极小值 处取得极小值 内可导 处连续 在在设内可导 处连续 在在设 00 xUxxf o 二 最值的求法二 最值的求法 o x y o x y b ao x y a b a b 一 函数极值的求法一 函数极值的求法 一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值 在上连续 在上连续 f x a b 设函数 则 设函数 则 f x在上在上 a b 设除个别点外处处可导 并且至多有有限个导数为零的点 如何求最大最小值 设除个别点外处处可导 并且至多有有限个导数为零的点 如何求最大最小值 步骤 步骤 求驻点和不可导点 求区间端点及驻点和不可导点的函数值 求驻点和不可导点 求区间端点及驻点和不可导点的函数值 注意 注意 二 最值的求法二 最值的求法 o x y o x y b ao x y a b a b 比较大小 最大的就是最大值 最小的就是最小值 比较大小 最大的就是最大值 最小的就是最小值 1 2 如果区间内只有一个极值 则这个极值就是最值 最大值或最小值 如果区间内只有一个极值 则这个极值就是最值 最大值或最小值 三 应用举例三 应用举例 例1例1 解解 fx 32 231214 3 4 yxxx 求在上的最大与最小值 求在上的最大与最小值 0 fx 解方程得解方程得 1 2 21 xx 计算计算 3 f 23 2 f 34 1 f 7 142 4 f 最大值最大值比较得比较得最小值最小值 6 2 1 xx 求驻点和不可导点 求区间端点及驻点和不可导点的函数值 比较大小 最大的就是最大值 最小的就是最小值 求驻点和不可导点 求区间端点及驻点和不可导点的函数值 比较大小 最大的就是最大值 最小的就是最小值 1 2 4 142f 1 7 f 141232 23 xxxy 4 142f 最大值最大值 1 7 f 最小值最小值 max min 0 fx 解方程得 解方程得 1 2 21 xx 例1例1 32 231214 3 4 yxxx 求在上的最大与最小值 求在上的最大与最小值 实际问题求最值应注意 实际问题求最值应注意 1 1 建立目标函数建立目标函数 2 求最值 求最值 三 应用举例三 应用举例 步骤 步骤 1 求驻点和不可导点 求驻点和不可导点 2 求区间端点及驻点和不可导点的函数值 比 较大小 哪个大哪个就是最大值 哪个小哪个 就是最小值 求区间端点及驻点和不可导点的函数值 比 较大小 哪个大哪个就是最大值 哪个小哪个 就是最小值 注意 如果区间内只有一个极值 则这个极值 就是最值 最大值或最小值 注意 如果区间内只有一个极值 则这个极值 就是最值 最大值或最小值 若目标函数只有唯一驻点 则该点的函数值 为所求的最值 若目标函数只有唯一驻点 则该点的函数值 为所求的最值 点击图片任意处播放点击图片任意处播放 暂停暂停 例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米 分钟 的速度向正北逃窜 同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击 速度为2千米 分钟 问我军摩托车何 时射击最好 相 距最近射击最好 例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米 分钟 的速度向正北逃窜 同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击 速度为2千米 分钟 问我军摩托车何 时射击最好 相 距最近射击最好 三 应用举例三 应用举例 解解 公里公里5 0 1 建立敌我相距函数关系 敌我相距函数 建立敌我相距函数关系 敌我相距函数 s t 公里公里4 B A ts ts 2 ss t 求求 ts 24 5 0 5 75 22 tt t s t 令令 得唯一驻点得唯一驻点 5 1 t 敌人从河 的北岸A处以1 千米 分钟的 速度向正北逃 窜 同时我军 从河的南岸B 处向正东追 击 速度为2 千米 分 钟 我军何时 射击最好 相 距最近射击最 好 敌人从河 的北岸A处以1 千米 分钟的 速度向正北逃 窜 同时我军 从河的南岸B 处向正东追 击 速度为2 千米 分 钟 我军何时 射击最好 相 距最近射击最 好 三 应用举例三 应用举例 22 0 5 42 tt 故我军从故我军从B处发起追击后处发起追击后 1 5分钟射击最好 的最小值 分钟射击最好 的最小值 0 设设t为 至射击的时间 我军从为 至射击的时间 我军从B处发起追击处发起追击 例3例3 某房地产公司有50套公寓要出租 当租金定 为每月180元时 公寓会全部租出去 当租 金每月增加10元时 就有一套公寓租不出去 而租出去的房子每月需花费20元的整修维 护费 试问房租定为多少可获得最大收入 某房地产公司有50套公寓要出租 当租金定 为每月180元时 公寓会全部租出去 当租 金每月增加10元时 就有一套公寓租不出去 而租出去的房子每月需花费20元的整修维 护费 试问房租定为多少可获得最大收入 解解 设房租为每月 元 设房租为每月 元 x 租出去的房子有 套 租出去的房子有 套 10 180 50 x 每月总收入为每月总收入为 xR 20 x 10 180 50 x 目标函数 目标函数 三 应用举例三 应用举例 10 68 20 x xxR R x 5 70 x 0 x R350 x 唯一驻点 唯一驻点 故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高元时收入最高 最大收入为最大收入为 R x 10890 元元 某房地产公司有50套公寓要出租 当租金定为每月180 元时 公寓会全部租出去 当租金每月增加10元时 就 有一套公寓租不出去 而租出去的房子每月需花费20元 的整修维护费 试问房租定为多少可获得最大收入 某房地产公司有50套公寓要出租 当租金定为每月180 元时 公寓会全部租出去 当租金每月增加10元时 就 有一套公寓租不出去 而租出去的房子每月需花费20元 的整修维护费 试问房租定为多少可获得最大收入 1 68 20 1010 x x 350 35020 68 10 设房租为每月 元设房租为每月 元 x 每月总收入为每月总收入为 点击图片任意处播放点击图片任意处播放 暂停暂停 例4例4 三 应用举例 由直线及抛物线 围成一个曲边 在曲边上求一点 使曲线在该点处的 所围成的三角形面积最大 三 应用举例 由直线及抛物线 围成一个曲边 在曲边上求一点 使曲线在该点处的 所围成的三角形面积最大 2 yx 08yx 2 08yxyx 三角形 三角形 2 yx 切线与直线切线与直线 08yx 解解 如图如图 00 P xy 0 yy 2 00 xy A BC T x y o P A B C ABC S 80 0 x 大 所围成的三角形面积最 及与直线使曲线在该点处的切线 上求一点 曲边成一个曲边三角形 在 围及抛物线 由直线 大 所围成的三角形面积最 及与直线使曲线在该点处的切线 上求一点 曲边成一个曲边三角形 在 围及抛物线 由直线 80 80 2 2 xy xy xyxy 2 000 11 8 16 22 xxx pt K 0 2x 2 00 yx 0 2x 0 xx 0 1 0 2 x 2 00 8 16 xx 8 0 2 CA BC 设所求切点为 斜率为 切线 的方程为 设所求切点为 斜率为 切线 的方程为 S 令 解得解得 0 16 3 x 16 3 s 0 16 3 s 4096 27 s 故 故是三角形S最大者 16 2 1 8 2 1 2 000 xxxS ABC 0 8 大 所围成的三角形面积最 及与直线使曲线在该点处的切线 上求一点 曲边成一个曲边三角形 在 围及抛物线 由直线 大 所围成的