对几个不等式问题进行推广.doc

对几个不等式问题进行推广作者简介：阳凌云（1947-），男，湖南湘潭人，湖南工业大学数学与计算机科学系教授，主要从事函数论与数学教育理论的教学与研究；刘伶（1985-），女，湖南湘乡人，湖南工业大学数学与应用数学本科专业2003级学生 阳凌云，刘伶（湖南工业大学 数学与计算机科学系， 湖南 株洲 412007）摘 要: 应用一个分式型双向不等式定理,探讨了国际数学竞赛和不同书刊中提及的有关不等式的证明,并对其进行了适当推广.关键词: 双向不等式；应用；推广1 引言阳凌云教授提出并证明了如下一般形式的分式型双向不等式定理：对任意,=1,2, 则当+11时,有 (1)当或1或、时，有 (2) 当=或=、=或=1、=时，(1)、(2)式均取“=”;当、,且=时,当且仅当（）,(1)、(2)式均取“=”;当、,且时,当且仅当,(1)、(2)式均取“=”.本文旨在利用(1)、(2)式潜在的应用功能,探讨国际数学竞赛和不同书刊中提及的有关不等式的证明，并对其进行适当推广.2 （1）、（2）式的应用为揭示(1)、(2)式的丰富内涵,充分挖掘其潜在的应用功能,我们将对（1）、（2）式的变元作适当的代换，同时对其指数作适当的变形，以提高解题技巧,拓宽命题范围.例1若， 求证 现将此问题推广成如下命题命题1 若，或，求证 （3）当时，当且仅当时，（3）式取“=”；当或时，当且仅当，时，（3）式取“=”证明 由条件，或(即或、)，应用（）式，则有即 根据（2）式等号成立的条件，易知：当时（即情形），当且仅当时，（3）式取“=”；当或时（即情形），当且仅当，时，（3）式取“=”例2（第36届国际奥林匹克数学竞赛题的推广） 设，且 N，求证 现将此问题推广成如下命题命题2 设，且且，求证 (4)当且仅当=1时，(4)式取“=”证明由条件，应用（）式，则有 根据（）式等号成立的条件，当即时，容易推出：当且仅当=1时，（4）式取“=”例3（数学通报1990年8月号问题668） 设， ，且，求证 现将此问题推广成如下命题命题3设， ，且，则 当且, 时，有 （5）当或、且,时，有 （6）当=、=且= 1, = 时 ，(5)式取“=”；当=、=且 1 , 时 ，当且仅当时，(5)式取“=”；当=1、=或=时，(5)、(6)式均取“=”；当、时，当且仅当时，(5)、(6)式均取“=”证明1、先证（5）式当且, 时，应用（）式，则有（只须注意：其中与）2、次证（6）式当或、且, 时，应用（）式，则有= （只须注意：其中与0）根据（）、（2）式等号成立的条件，不难知道：当=、=且= 1 , = 时 ，(5)式取“=”；当=、=且 1 , 时 ，当且仅当时，(5)式取“=”；当=1、 =或=时，(5)、(6)式均取“=”；当、时，当且仅当时，(5)、(6)式均取“=”参考文献：1 阳凌云等著数学素质教育导论M湖南科学技术出版社，2005年，第227页2 阳凌云两个分式型不等式的拓广与深化J株洲工学院学报，2004，（2），第41-43页3 黄生顺利用判别式解决一类不等式问题J数学通报，1998，（7），第14页4 蒋昌林也谈一类分式不等式的统一证明J数学通报，2005，（5），第62页 5 刘宝文证明不等式的一种方法J数学通报，1998，（2），第26-27页 Popularization Directed to Several Inequality QuestionsYANG Ling-yun ,LIU-Ling( Department of Mathematics & Computer Science, Hunan University of Technology Zhuzhou Hunan 412007,China )Abstract: This paper applies a fraction bi-directional inequality theorem, carries on the discussion on inequality proof mentioned in some international mathematics competitions, some different books and periodicals, and makes sui