第四章 中值定理与导数的应用习题.doc

习题四1下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足就求出定理中的数值。（1） 1，1.5（2） 2，2（3） 0，3（4） 0，32下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足就求出定理中的数。（1） ，a a0（2） 1，2（3） 1，03函数与在区间1，2上是否满足柯西定理的所有条件？如满足就求出定理中的数值。4若4次方程有4个不同的实根，证明的所有根皆为实根。5用拉格朗日定理证明：若，且当x0时0，则当x0时，f（x）0。提示：对任给的x00，f（x）在0，x0上满足拉格朗日定理的条件。6证明不等式|sinx2sinx1|x2x1|提示：设f（x）sinx7证明：若函数f（x）在x0，x0+上连续，在（x0，x0+）内可导，且（A为常数），则f（x）在x0处的右导数存在且等于A。提示： （0x，x0x0x8利用罗彼塔法则求下列极限：（1） （2）（3） （4）（5） a0（6） a0，n为正整数（7） （8） m0（9） （10）（11） （12）9求下列函数的增减区间：（1） （2）（3） （4）（5） （6）10证明函数yxln（1x2）单调增加。12求下列函数的极值：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）13利用二阶导数，判断下列函数的极值：（1） （2）（3） （4）14求下列函数在给定区间上的最大值与最小值；（1） 2，2（2） 1，2（3） ，1（4） 0，415欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方形开口容器，怎么做法所用材料最省？16欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大的尺寸，才能使所有建筑材料最省？17欲做一个容积为300立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的两倍。问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低？18一工厂A与铁路的垂直距离为A公里，它的垂足B到火车站C的铁路长为B公里，工厂的产品必须经火车C才能转销外地，现已知汽车运费为M元/吨公里，火车运费为N元/公里（MN）。为使用运费最省，准备在铁路上另修一小站M作为转运站，问转运站应修在离火车站C多少公里外处，才能使运费最省（参看1.5的例1）？19在一条公路的一侧有某公社的A，B两个大队，其位置如图4-38所示。公社欲在公路旁边修建一个堆货场M，并从A、B两个大队各修一条直线大道通往堆货场M，欲使A、B到M的大道总长为最短，堆货场M应修在何处？20以汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物。已知每次拖4只小船一日能来回16次，每次拖7只则一日能来回10次，如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？21甲船以每小时20公里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北82公里处以每小时16公里的速度向南行驶，问经过多少时间两船最近？22对物体的长度进行了n次测量，得n个数x1，x2，xn现在要确定一个量x，使得它与测得的数值之差的平方和为最小，x应是多少？23某厂生产某种商品，其年销售量为100万件，每批生产需增加准备费1000元，而每件的库存费为0.05元。如果年销售率是均匀的，且上批销售完后，立即再生产下一批（此时商品库存数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费及库存费之和最小？24某商店每年销售某种商品a件，每次购进的手续费为b元，而每件的库存费c元年。若该商品均匀销售，且上批销售完后，立即进下一批货，问商应分几批购进此种商品，能使所用的手续费及库存费总和最少